2018高考数学（理）大一轮复习习题：第十二章 推理与证明、算法、复数 课时达标检测（六十一） 直接证明与间接证明、数学归纳法 Word版含答案.doc

课时达标检测课时达标检测( (六十一六十一) ) 直接证明与间接证明、数学归纳法直接证明与间接证明、数学归纳法 1 1用反证法证明命题：用反证法证明命题：“若若a a，b b，c c，d dR R，a ab b1 1，c cd d1 1，且，且acacbdbd11，则，则a a，b b，c c，d d中至少有一个负数中至少有一个负数”的假设为的假设为( ( ) ) A Aa a，b b，c c，d d中至少有一个正数中至少有一个正数 B Ba a，b b，c c，d d全都为正数全都为正数 C Ca a，b b，c c，d d全都为非负数全都为非负数 D Da a，b b，c c，d d中至多有一个负数中至多有一个负数 解析：选解析：选 C C 用反证法证明命题时，应先假设结论的否定成立，而用反证法证明命题时，应先假设结论的否定成立，而“a a，b b，c c，d d中至中至少有一个负数少有一个负数”的否定是的否定是“a a，b b，c c，d d全都为非负数全都为非负数” 2 2用数学归纳法证明用数学归纳法证明 2 2n n2 2n n1 1，n n的第的第一个取值应是一个取值应是( ( ) ) A A1 1 B B2 2 C C3 3 D D4 4 解析：选解析：选 C C n n1 1 时，时，2 21 12,212,211 13,23,2n n2 2n n1 1 不成立；不成立； n n2 2 时，时，2 22 24,224,221 15,25,2n n2 2n n1 1 不成立；不成立； n n3 3 时，时，2 23 38,238,231 17,27,2n n2 2n n1 1 成立成立 n n的第一个取值应是的第一个取值应是 3.3. 3 3已知已知f f( (n n) )1 1n n1 1n n1 11 1n n2 21 1n n2 2，则，则( ( ) ) A Af f( (n n) )中共有中共有n n项，当项，当n n2 2 时，时，f f(2)(2)1 12 21 13 3 B Bf f( (n n) )中共有中共有n n1 1 项，当项，当n n2 2 时，时，f f(2)(2)1 12 21 13 31 14 4 C Cf f( (n n) )中共有中共有n n2 2n n项，当项，当n n2 2 时，时，f f(2)(2)1 12 21 13 3 D Df f( (n n) )中共有中共有n n2 2n n1 1 项，当项，当n n2 2 时，时，f f(2)(2)1 12 21 13 31 14 4 解析：选解析：选 D D 由由f f( (n n) )可知，共有可知，共有n n2 2n n1 1 项，且项，且n n2 2 时，时，f f(2)(2)1 12 21 13 31 14 4. . 4 4设设a a，b b，c c均为正实数，则三个数均为正实数，则三个数a a1 1b b，b b1 1c c，c c1 1a a( ( ) ) A A都大于都大于 2 2 B B都小于都小于 2 2 C C至少有一个不大于至少有一个不大于 2 2 D D至少有一个不小于至少有一个不小于 2 2 解析：选解析：选 D D a a0 0，b b0 0，c c0 0， a a1 1b b b b1 1c c c c1 1a a a a1 1a a b b1 1b b c c1 1c c66，当且仅当，当且仅当a ab bc c1 1 时，等号成立，故三者不能都小于时，等号成立，故三者不能都小于 2 2，即至少有一个，即至少有一个不小于不小于 2.2. 5 5设设a a 3 3 2 2，b b 6 6 5 5，c c 7 7 6 6，则，则a a，b b，c c的大小顺序是的大小顺序是( ( ) ) A Aa a b b c c B Bb b c c a a C Cc c a a b b D Da a c c b b 解析： 选解析： 选 A A a a 3 3 2 21 13 3 2 2，b b 6 6 5 51 16 6 5 5，c c 7 7 6 61 17 7 6 6，且且 7 7 6 6 6 6 5 5 3 3 2 200，a a b b c c. . 一、选择题一、选择题 1 1已知函数已知函数f f( (x x) ) 1 12 2x x，a a，b b为正实数，为正实数，A Af f a ab b2 2，B Bf f( (abab) )，C Cf f 2 2ababa ab b，则，则A A，B B，C C的大小关系为的大小关系为( ( ) ) A AA AB BC C B BA AC CB B C CB BC CA A D DC CB BA A 解析：选解析：选 A A 因为因为a ab b2 2abab2 2ababa ab b，又，又f f( (x x) ) 1 12 2x x在在 R R 上是单调减函数，故上是单调减函数，故f f a ab b2 2f f( (abab)f f 2 2ababa ab b，即，即A AB BC C. . 2 2 设 设f f( (x x) )是定义在是定义在 R R 上的奇函数， 且当上的奇函数， 且当x x00 时，时，f f( (x x) )单调递减， 若单调递减， 若x x1 1x x2 200， 则， 则f f( (x x1 1) )f f( (x x2 2) )的值的值( ( ) ) A A恒为负值恒为负值 B B恒等于零恒等于零 C C恒为正值恒为正值 D D无法确定正负无法确定正负 解析：选解析：选 A A 由由f f( (x x) )是定义在是定义在 R R 上的奇函数，且当上的奇函数，且当x x00 时，时，f f( (x x) )单调递减，可知单调递减，可知f f( (x x) )是是 R R 上的单调递减函数，由上的单调递减函数，由x x1 1x x2 200，可知，可知x x1 1 x x2 2，f f( (x x1 1)f f( (x x2 2) )f f( (x x2 2) )，则，则f f( (x x1 1) )f f( (x x2 2)0.) a a B Ba a c cb b C Cc c b b a a D Da a c c b b 解析解析：选选 A A c cb b4 44 4a aa a2 2(2(2a a) )2 200，c cb b. .已知两式作差得已知两式作差得 2 2b b2 22 2a a2 2，即即b b1 1a a2 2. .1 1a a2 2a a a a1 12 22 23 34 400，1 1a a2 2 a a. .b b1 1a a2 2 a a. .c cb b a a，故选故选 A.A. 4 4平面内有平面内有n n条直线，最多可将平面分成条直线，最多可将平面分成f f( (n n) )个区域，则个区域，则f f( (n n) )的表达式为的表达式为( ( ) ) A An n1 1 B B2 2n n C.C.n n2 2n n2 22 2 D Dn n2 2n n1 1 解析：选解析：选 C C 1 1 条直线将平面分成条直线将平面分成 1 11 1 个区域；个区域；2 2 条直线最多可将平面分成条直线最多可将平面分成 1 1(1(12)2)4 4 个区域；个区域；3 3 条直线最多可将平面分成条直线最多可将平面分成 1 1(1(12 23)3)7 7 个区域；个区域；n n条直线最多可将条直线最多可将平面分成平面分成 1 1(1(12 23 3n n) )1 1n nn n2 2n n2 2n n2 22 2个区域个区域 5 5已知已知a a，b bR R，m m6 6a a3636a a1 11 1，n n1 13 3b b2 2b b5 56 6，则下列结论正确的是，则下列结论正确的是( ( ) ) A Am mn n B Bm mn n C Cm m n n D Dm m )b b，则，则f f( (f f( (b b)f f( (b b)b b，与题意不符，与题意不符， 若若f f( (b b)b b，则，则f f( (f f( (b b)f f( (b b)b b，与题意也不符，与题意也不符， 故故f f( (b b) )b b， 即即f f( (x x) )x x在上有解在上有解 所以所以 e ex xx xa ax x，a ae ex xx x2 2x x， 令令g g( (x x) )e ex xx x2 2x x，g g(x x) )e ex x2 2x x1 1(e(ex x1)1)2 2x x， 当当x x时，时，e ex x12,212,2x x22， 所以所以g g(x x)0)0， 所以所以g g( (x x) )在上是增函数，在上是增函数， 所以所以g g(0)(0)g g( (x x)g g(1)(1)， 所以所以 11g g( (x x)e)e， 即即 11a aee，故选，故选 A.A. 二、填空题二、填空题 7 7用数学归纳法证明用数学归纳法证明 1 12 23 3n n2 2n n4 4 n n2 22 2，则当，则当n nk k1 1 时左端应在时左端应在n nk k的基的基础上加上的项为础上加上的项为_ 解析：当解析：当n nk k时左端为时左端为 1 12 23 3k k( (k k1)1)( (k k2)2)k k2 2， 则当则当n nk k1 1 时，左端为时，左端为 1 12 23 3k k2 2( (k k2 21)1)( (k k2 22)2)( (k k1)1)2 2， 故增加的项为故增加的项为( (k k2 21)1)( (k k2 22)2)( (k k1)1)2 2. . 答案：答案：( (k k2 21)1)( (k k2 22)2)( (k k1)1)2 2 8 8已知点已知点A An n( (n n，a an n) )为函数为函数y yx x2 21 1图象上的点，图象上的点，B Bn n( (n n，b bn n) )为函数为函数y yx x图象上的点，图象上的点，其中其中n nN N* *，设，设c cn na an nb bn n，则，则c cn n与与c cn n1 1的大小关系为的大小关系为_ 解析：由条件得解析：由条件得c cn na an nb bn nn n2 21 1n n1 1n n2 21 1n n， c cn n随随n n的增大而减小，的增大而减小，c cn n1 1 c cn n. . 答案：答案：c cn n1 1 00 的解集为的解集为( (1,2)1,2)，解关于，解关于x x的不的不等式等式axax2 2bxbxc c0”0”，给出如下一种解法：，给出如下一种解法： 解：由解：由axax2 2bxbxc c00 的解集为的解集为( (1,2)1,2)，得，得a a( (x x) )2 2b b( (x x) )c c00 的解集为的解集为( (2,1)2,1)，即关于即关于x x的不等式的不等式axax2 2bxbxc c00 的解集为的解集为( (2,1)2,1) 参考上述解法，若关于参考上述解法，若关于x x的不等式的不等式k kx xa ax xb bx xc c00 的解集为的解集为 1 1，1 13 3 1 12 2，1 1 ，则关，则关于于x x的不等式的不等式kxkxaxax1 1bxbx1 1cxcx1 100 的解集为的解集为_ 解析：不等式解析：不等式kxkxaxax1 1bxbx1 1cxcx1 100，可化为，可化为k ka a1 1x xb b1 1x xc c1 1x x00， 故得故得111 1x x 1 13 3或或1 12 2 1 1x x11， 解得解得33x x 1 1 或或 11x x22， 故故kxkxaxax1 1bxbx1 1cxcx1 100)0，则实数，则实数p p的取值范围是的取值范围是_ 解析：依题意有解析：依题意有f f( (1)01)0 或或f f(1)0(1)0， 所以所以2 2p p2 2p p1010 或或2 2p p2 23 3p p9090， 即即 2 2p p2 2p p1010 或或 2 2p p2 23 3p p9090， 得得1 12 2 p p11 或或33p p 0)0)的图象与的图象与x x轴有两个不同的交点，若轴有两个不同的交点，若f f( (c c) )0 0，且，且 00 x x 0.)0. (1)(1)证明：证明：1 1a a是是f f( (x x) )0 0 的一个根；的一个根； (2)(2)试比较试比较1 1a a与与c c的大小；的大小； (3)(3)证明：证明：22b b 1.1. 解：解：(1)(1)证明：证明：f f( (x x) )的图象与的图象与x x轴有两个不同的交点，轴有两个不同的交点， f f( (x x) )0 0 有两个不等实根有两个不等实根x x1 1，x x2 2， f f( (c c) )0 0， x x1 1c c是是f f( (x x) )0 0 的根，的根， 又又x x1 1x x2 2c ca a， x x2 21 1a a 1 1a ac c， 1 1a a是是f f( (x x) )0 0 的一个根的一个根 (2)(2)假设假设1 1a a 00， 由由 00 x x 0)0， 知知f f 1 1a a00 与与f f 1 1a a0 0 矛盾，矛盾， 1 1a ac c， 又又1 1a ac c，1 1a a c c. . (3)(3)证明：由证明：由f f( (c c) )0 0，得，得acac2 2bcbcc c0 0， 即即acacb b1 10 0， b b1 1acac. . 又又a a00，c c00，b b 1.1. 二次函数二次函数f f( (x x) )的图象的对称轴方程为的图象的对称轴方程为 x xb b2 2a ax x1 1x x2 22 2 x x2 2x x2 22 2x x2 21 1a a， 即即b b2 2a a 00，b b 2 2，22b b 1.1. 1212已知已知f f( (n n) )1 11 12 23 31 13 33 31 14 43 31 1n n3 3，g g( (n n) )3 32 21 12 2n n2 2，n nN N* *. . (1)(1)当当n n1,2,31,2,3 时，试比较时，试比较f f( (n n) )与与g g( (n n) )的大小关系；的大小关系； (2)(2)猜猜想想f f( (n n) )与与g g( (n n) )的大小关系，并给出证明的大小关系，并给出证明 解：解：(1)(1)当当n n1 1 时，时，f f(1)(1)1 1，g g(1)(1)3 32 21 121212 21 1，所以，所以f f(1)(1)g g(1)(1)； 当当n n2 2 时，时，f f(2)(2)1 11 12 23 39 98 8，g g(2)(2)3 32 21 122222 211118 8，所以，所以f f(2)(2)g g(2)(2)； 当当n n3 3 时，时，f f(3)(3)1 11 12 23 31 13 33 3251251216216，g g(3)(3)3 32 21 123232 213139 9，所以，所以f f(3)(3)g g(3)(3) (2)(2)由由(1)(1)猜想猜想f f( (n n)g g( (n n) )，下面用数学归纳法给出证明，下面用数学归纳法给出证明 当当n n1 1 时，不等式显然成立时，不等式显然成立 假设当假设当n nk k( (k kN N* *) )时不等式成立时不等式成立 即即 1 11 12 23 31 13 33 31 14 43 31 1k k3 3 3 32 21 12 2k k2 2， 那么，当那么，当n nk k1 1 时，时， f f( (k k1)1)f f( (k k) )1 1k k3 3 3 32 21 12 2k k2 21 1k k3 3， 因为因为1 1k k2 2 1 12 2k k2 21 1k k3 3 k k3 3k k3 31 12 2k k2 23 3k k1 1k k3 3k k2 200， 所以所以f f( (k k1)1)3 32 21 1k k2 2g g( (k k1)1) 由由可知，对一切可知，对一切n nN N* *，都有，都有f f( (n n)g g( (n n) )成立成立