2018高考数学（理）大一轮复习习题：第九章 解析几何 课时达标检测（四十七） 抛物线 Word版含答案.doc
课时达标检测（四十七）课时达标检测（四十七） 抛抛 物物 线线 1 1若点若点P P到直线到直线x x1 1 的距离比它到点的距离比它到点(2,0)(2,0)的距离小的距离小 1 1，则点，则点P P的轨迹为的轨迹为( ( ) ) A A圆圆 B B椭圆椭圆 C C双曲线双曲线 D D抛物线抛物线 解析：选解析：选 D D 依题意，点依题意，点P P到直线到直线x x2 2 的距离等于它到点的距离等于它到点(2,0)(2,0)的距离，故点的距离，故点P P的轨的轨迹是抛物线迹是抛物线 2 2设抛物线设抛物线y y2 21212x x上一点上一点P P到到y y轴的距离是轴的距离是 1 1，则点，则点P P到该抛物线焦点的距离是到该抛物线焦点的距离是( ( ) ) A A3 3 B B4 C4 C7 7 D D1313 解析：选解析：选 B B 依题意，点依题意，点P P到该抛物线的焦点的距离等于点到该抛物线的焦点的距离等于点P P到其准线到其准线x x3 3 的距离，的距离，即等于即等于 3 31 14.4. 3 3若抛物若抛物线线y y2 22 2x x上一点上一点M M到它的焦点到它的焦点F F的距离为的距离为3 32 2，O O为坐标原点，则为坐标原点，则MFOMFO的面积的面积为为( ( ) ) A.A.2 22 2 B.B.2 24 4 C.C.1 12 2 D.D.1 14 4 解析：选解析：选 B B 由题意知，抛物线的准线方程为由题意知，抛物线的准线方程为x x1 12 2. .设设M M( (a a，b b) )，由抛物线的定义可，由抛物线的定义可知，点知，点M M到准线的距离为到准线的距离为3 32 2，所以，所以a a1 1，代入抛物线方程，代入抛物线方程y y2 22 2x x，解得，解得b b 2 2，所以，所以S SMFOMFO1 12 21 12 2 2 22 24 4. . 4 4设设F F为抛物线为抛物线y y2 22 2x x的焦点，的焦点，A A，B B，C C为抛物线上三点，若为抛物线上三点，若F F为为ABCABC的重心，则的重心，则| |FA| | |FB| | |FC| |的值为的值为( ( ) ) A A1 1 B B2 2 C C3 3 D D4 4 解析解析：选选 C C 依题意依题意，设点设点A A( (x x1 1，y y1 1) )，B B( (x x2 2，y y2 2) )，C C( (x x3 3，y y3 3) )，又焦点又焦点F F 1 12 2，0 0 ，所以所以x x1 1x x2 2x x3 3331 12 23 32 2，则则| |FA| | |FB| | |FC| | x x1 11 12 2 x x2 21 12 2x x3 31 12 2( (x x1 1x x2 2x x3 3) )3 32 23 32 23 32 23.3. 5 5直线直线l l过抛物线过抛物线x x2 22 2pypy( (p p0)0)的焦点，且与抛物线交于的焦点，且与抛物线交于A A，B B两点，若线段两点，若线段ABAB的长的长是是 6 6，ABAB的中点到的中点到x x轴的距离是轴的距离是 1 1，则此抛物线方程是，则此抛物线方程是_ 解析：设解析：设A A( (x x1 1，y y1 1) )，B B( (x x2 2，y y2 2) )，则，则| |ABAB| |y y1 1y y2 2p p2 2p p6 6，p p4.4.即抛物线方程即抛物线方程为为x x2 28 8y y. . 答案：答案：x x2 28 8y y 一、选择题一、选择题 1 1抛物线抛物线y y2 22 2pxpx( (p p0)0)的准线截圆的准线截圆x x2 2y y2 22 2y y1 10 0 所得弦长为所得弦长为 2 2，则，则p p( ( ) ) A A1 1 B B2 2 C C4 4 D D6 6 解析解析：选选 B B 抛物线抛物线y y2 22 2pxpx( (p p0)0)的准线为的准线为x xp p2 2，而圆化成标准方程为而圆化成标准方程为x x2 2( (y y1)1)2 22 2，圆心圆心M M(0,1)(0,1)，半径半径r r 2 2，圆心到准线的距离为圆心到准线的距离为p p2 2，所以所以 p p2 22 2 2 22 22 2( ( 2 2) )2 2，解得解得p p2.2. 2 2已知抛物线已知抛物线C C：y y2 2x x的焦点为的焦点为F F，A A( (x x0 0，y y0 0) )是是C C上一点，上一点，| |AFAF| |5 54 4x x0 0，则，则x x0 0( ( ) ) A A1 1 B B2 2 C C4 4 D D8 8 解析：选解析：选 A A 由题意知抛物线的准线为由题意知抛物线的准线为x x1 14 4. .因为因为| |AFAF| |5 54 4x x0 0，根据抛物线的定义可得，根据抛物线的定义可得x x0 01 14 4| |AFAF| |5 54 4x x0 0，解得，解得x x0 01 1，故选，故选 A.A. 3 3 已知抛物线 已知抛物线y y2 28 8x x的焦点为的焦点为F F， 直线， 直线y yk k( (x x2)2)与此与此抛物线相交于抛物线相交于P P，Q Q两点， 则两点， 则1 1| |FPFP| |1 1| |FQFQ| |( ( ) ) A.A.1 12 2 B B1 1 C C2 2 D D4 4 解析：选解析：选 A A 设设P P( (x x1 1，y y1 1) )，Q Q( (x x2 2，y y2 2) )，由题意可知直线，由题意可知直线y yk k( (x x2)2)过抛物线焦点过抛物线焦点(2,0)(2,0)，所以所以| |PFPF| |x x1 12 2，| |QFQF| |x x2 22 2，则，则1 1| |FPFP| |1 1| |FQFQ| |1 1x x1 12 21 1x x2 22 2x x1 1x x2 24 4x x1 1x x2 2x x1 1x x2 24 4. .联立联立直线与抛物线方程消去直线与抛物线方程消去y y，得，得k k2 2x x2 2(4(4k k2 28)8)x x4 4k k2 20 0，可知，可知x x1 1x x2 24 4，故，故1 1| |FPFP| |1 1| |FQFQ| |x x1 1x x2 24 4x x1 1x x2 2x x1 1x x2 24 4x x1 1x x2 24 4x x1 1x x2 28 81 12 2. . 4 4设抛物线设抛物线C C：y y2 22 2pxpx( (p p0)0)的焦点为的焦点为F F，点，点M M在在C C上，上，| |MFMF| |5.5.若以若以MFMF为直径的圆为直径的圆过点过点(0,2)(0,2)，则抛物线，则抛物线C C的方程为的方程为( ( ) ) A Ay y2 24 4x x或或y y2 28 8x x B By y2 22 2x x或或y y2 28 8x x C Cy y2 24 4x x或或y y2 21616x x D Dy y2 22 2x x或或y y2 21616x x 解析：选解析：选 C C 由已知得抛物线的焦点由已知得抛物线的焦点F F p p2 2，0 0 ，设点，设点A A(0,2)(0,2)，抛物线上点，抛物线上点M M( (x x0 0，y y0 0) )，则则AF p p2 2，2 2 ，AM y y2 20 02 2p p，y y0 02 2 . .由已知得，由已知得，AFAM0 0，即，即y y2 20 08 8y y0 016160 0，因而因而y y0 04 4，M M 8 8p p，4 4 . .由由| |MFMF| |5 5 得，得，8 8p pp p2 25 5，又，又p p0 0，解得，解得p p2 2 或或p p8 8，所以抛物线，所以抛物线C C的方程为的方程为y y2 24 4x x或或y y2 21616x x. . 5 5(2017(2017长春模拟长春模拟) )过抛物线过抛物线y y2 22 2pxpx( (p p0)0)的焦点的焦点F F且倾斜角为且倾斜角为 120120的直线的直线l l与抛与抛物线在第一、四象限分别交于物线在第一、四象限分别交于A A，B B两点，则两点，则| |AFAF| | |BFBF| |的值等于的值等于( ( ) ) A.A.1 13 3 B.B.2 23 3 C.C.3 34 4 D.D.4 43 3 解析：选解析：选 A A 记抛物线记抛物线y y2 22 2pxpx的准线为的准线为l l，如图，作，如图，作AAAA1 1l l，BBBB1 1l l，ACACBBBB1 1，垂足分别是，垂足分别是A A1 1，B B1 1，C C，则有，则有 coscosABBABB1 1| |BCBC| | |ABAB| | |BBBB1 1| | |AAAA1 1| | |AFAF| | |BFBF| | |BFBF| | |AFAF| | |AFAF| | |BFBF| |， 即， 即 cos 60cos 60| |BFBF| | |AFAF| | |AFAF| | |BFBF| |1 12 2， 由此得， 由此得| |AFAF| | |BFBF| |1 13 3. . 6 6 已知抛物线 已知抛物线y y2 22 2pxpx( (p p0)0)与圆与圆( (x xa a) )2 2y y2 2r r2 2( (a a0)0)有且只有一个公共点， 则有且只有一个公共点， 则( ( ) ) A Ar ra ap p B Br ra ap p C Cr r a ap p D Dr r a ap p 解析：选解析：选 B B 当当r r 0)0)与抛与抛物线物线y y2 22 2pxpx( (p p0)0)要么没有公共点，要么有两个或四个公共点，与题意不符；当要么没有公共点，要么有两个或四个公共点，与题意不符；当r r a a时，时，易知圆与抛物线有两个公共点，与题意不符；当易知圆与抛物线有两个公共点，与题意不符；当r ra a时，圆与抛物线交于原点，要使圆与时，圆与抛物线交于原点，要使圆与抛物线有且只有一个公共点， 必须使方程抛物线有且只有一个公共点， 必须使方程( (x xa a) )2 22 2pxpxr r2 2( (x x0)0)有且仅有一个解有且仅有一个解x x0 0， 可， 可得得a ap p. . 二、填空题二、填空题 7 7抛物线抛物线y y2 22 2pxpx( (p p0)0)上横坐标为上横坐标为 6 6 的点到此抛物线焦点的距离为的点到此抛物线焦点的距离为 1010，则该抛物线的，则该抛物线的焦点到准线的距离为焦点到准线的距离为_ 解析：设抛物线的准线方程为解析：设抛物线的准线方程为x xp p2 2( (p p0)0)，则根据抛物线的性质有，则根据抛物线的性质有p p2 26 61010，解得，解得p p8 8，所以抛物线的焦点到准线的距离为，所以抛物线的焦点到准线的距离为 8.8. 答案：答案：8 8 8 8(2017(2017邢台模拟邢台模拟) )已知抛物线已知抛物线x x2 24 4y y上有一条长为上有一条长为 6 6 的动弦的动弦ABAB，则，则ABAB的中点到的中点到x x轴的最短距离为轴的最短距离为_ 解析：解析：由题意知，抛物线的准线由题意知，抛物线的准线l l：y y1 1，过，过A A作作AAAA1 1l l于于A A1 1，过，过B B作作BBBB1 1l l于于B B1 1，设 弦设 弦ABAB的 中 点 为的 中 点 为M M， 过， 过M M作作MMMM1 1l l于于M M1 1. . 则则 | |MMMM1 1| | | |AAAA1 1| | |BBBB1 1| |2 2.|.|ABAB|AFAF| | |BFBF|(|(F F为抛物线的焦点为抛物线的焦点) )，即，即| |AFAF| | |B BF F|6|6，则，则| |AAAA1 1| | |BBBB1 1|6|6，即，即 2|2|MMMM1 1|6|6，所以，所以| |MMMM1 1|3|3，故，故M M到到x x轴的最短距离为轴的最短距离为 3 31 12.2. 答案：答案：2 2 9 9(2015(2015荆门质检荆门质检) )已知已知F F是抛物线是抛物线y y2 24 4x x的焦点，的焦点，A A，B B是抛物线上两点，若是抛物线上两点，若AFBAFB是正三角形，则是正三角形，则AFBAFB的边长为的边长为_ 解析：由题意可知解析：由题意可知A A，B B两点一定关于两点一定关于x x轴对称，且轴对称，且AFAF，BFBF与与x x轴夹角均为轴夹角均为 3030，由，由于于y y2 24 4x x的焦点为的焦点为(1,0)(1,0)， 由， 由 y y3 33 3x x，y y2 24 4x x，化简得化简得y y2 24 4 3 3y y4 40 0， 解得， 解得y y2 2 3 34 4 或或y y2 2 3 34 4，所以，所以AFBAFB的边长为的边长为 8 84 4 3 3或或 8 84 4 3 3. . 答案答案：8 84 4 3 3或或 8 84 4 3 3 1010经过抛物线经过抛物线C C的焦点的焦点F F作直线作直线l l与抛物线与抛物线C C交于交于A A，B B两点，如果两点，如果A A，B B在抛物线在抛物线C C的准线上的射影分别为的准线上的射影分别为A A1 1，B B1 1，那么，那么A A1 1FBFB1 1为为_ 解析： 由抛物线定义可知解析： 由抛物线定义可知| |BFBF| | |BBBB1 1| |， | |AFAF| | |AAAA1 1| |， 故， 故BFBBFB1 1BBBB1 1F F， AFAAFA1 1AAAA1 1F F. .又又OFBOFB1 1BBBB1 1F F，OFAOFA1 1AAAA1 1F F，故，故BFBBFB1 1OFBOFB1 1，AFAAFA1 1OFAOFA1 1，所以，所以OFAOFA1 1OFBOFB1 11 12 22 2，即，即A A1 1FBFB1 12 2. . 答案：答案：2 2 三、解答题三、解答题 1111已知抛物线已知抛物线y y2 22 2pxpx( (p p0)0)的焦点为的焦点为F F，A A是抛物线上横坐标为是抛物线上横坐标为 4 4，且位于，且位于x x轴上方轴上方的点，的点，A A到抛物线准线的距离等于到抛物线准线的距离等于 5 5，过，过A A作作ABAB垂直于垂直于y y轴，垂足为轴，垂足为B B，OBOB的中点为的中点为M M. . (1)(1)求抛物线的方程；求抛物线的方程； (2)(2)若过若过M M作作MNMNFAFA，垂足为，垂足为N N，求点，求点N N的坐标的坐标 解：解：(1)(1)抛物线抛物线y y2 22 2pxpx的准线为的准线为x xp p2 2，于是，于是 4 4p p2 25 5，p p2 2，抛物线方程为抛物线方程为y y2 24 4x x. . (2)(2)由由(1)(1)知点知点A A的坐标是的坐标是(4,4)(4,4)， 由题意得由题意得B B(0,4)(0,4)，M M(0,2)(0,2) 又又F F(1,0)(1,0)，k kFAFA4 43 3. .MNMNFAFA，k kMNMN3 34 4. . FAFA的方程为的方程为y y4 43 3( (x x1)1)，MNMN的方程为的方程为y y3 34 4x x2 2， 联立联立 y y4 43 3x x，y y3 34 4x x2 2，解方程组得解方程组得x x8 85 5，y y4 45 5， 点点N N的坐标为的坐标为 8 85 5，4 45 5. . 12.12.如图，已知抛物线如图，已知抛物线C C：y y2 22 2pxpx( (p p0)0)，焦点为，焦点为F F，过点，过点G G( (p,p,0)0)作直线作直线l l交抛物线交抛物线C C于于A A，M M两点，设两点，设A A( (x x1 1，y y1 1) )，M M( (x x2 2，y y2 2) ) (1)(1)若若y y1 1y y2 28 8，求抛物线，求抛物线C C的方程；的方程； (2)(2)若直线若直线AFAF与与x x轴不垂直，直线轴不垂直，直线AFAF交抛物线交抛物线C C于另一点于另一点B B，直，直线线BGBG交抛物线交抛物线C C于另一点于另一点N N. .求证：直线求证：直线ABAB与直线与直线MNMN斜率之比为定值斜率之比为定值 解：解：(1)(1)设直线设直线AMAM的方程为的方程为x xmymyp p，代入，代入y y2 22 2pxpx得得y y2 22 2mpympy2 2p p2 20 0， 则则y y1 1y y2 22 2p p2 28 8，得，得p p2.2. 抛物线抛物线C C的方程为的方程为y y2 24 4x x. . (2)(2)证明：设证明：设B B( (x x3 3，y y3 3) )，N N( (x x4 4，y y4 4) ) 由由(1)(1)可知可知y y3 3y y4 42 2p p2 2，y y1 1y y3 3p p2 2. . 又直线又直线ABAB的斜率的斜率k kABABy y3 3y y1 1x x3 3x x1 12 2p py y1 1y y3 3， 直线直线MNMN的斜率的斜率k kMNMNy y4 4y y2 2x x4 4x x2 22 2p py y2 2y y4 4， k kABABk kMNMNy y2 2y y4 4y y1 1y y3 32 2p p2 2y y1 12 2p p2 2y y3 3y y1 1y y3 32 2p p2 2y y1 1y y3 3y y1 1y y3 3y y1 1y y3 32.2. 故直线故直线ABAB与直线与直线MNMN斜率之比为定值斜率之比为定值
