2018高考数学（文）大一轮复习习题 冲刺985 压轴题命题区间（六） 圆锥曲线问题 Word版含答案.doc

压轴题命题区间压轴题命题区间( (六六) )圆锥曲线问题圆锥曲线问题 第一课时第一课时 简化解析几何运算的简化解析几何运算的 5 5 个技巧个技巧 中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中，用方程的观点来研究曲线，体现了用中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中，用方程的观点来研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题的优越性，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响代数的方法解决几何问题的优越性，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题的速度，甚至会中止解题的过程，达到解题的速度，甚至会中止解题的过程，达到“望题兴叹望题兴叹”的地步特别是高考过程中，在的地步特别是高考过程中，在规定的时间内，保质保量完成解题的任务，计算能力是一个重要的方面为此，从以下几规定的时间内，保质保量完成解题的任务，计算能力是一个重要的方面为此，从以下几个方面探索减轻运算量的方法和技巧，合理简化解题过程，优化思维过程个方面探索减轻运算量的方法和技巧，合理简化解题过程，优化思维过程 巧用定义，揭示本质巧用定义，揭示本质 定义是导出其性质的定义是导出其性质的“发源地发源地”，解题时，应善于运用圆锥曲线的定义，以数形结合，解题时，应善于运用圆锥曲线的定义，以数形结合思想为指导，把定量的分析有机结合起来，则可使解题计算量大为简化，使解题构筑在较思想为指导，把定量的分析有机结合起来，则可使解题计算量大为简化，使解题构筑在较高的水平上高的水平上 如图，如图，F F1 1，F F2 2是椭圆是椭圆C C1 1：x x2 24 4y y2 21 1 与双曲线与双曲线C C2 2的公共焦点，的公共焦点，A A，B B分别是分别是C C1 1，C C2 2在第在第二、四象限的公共点若四边形二、四象限的公共点若四边形AFAF1 1BFBF2 2为矩形，则为矩形，则C C2 2的离心率是的离心率是( ( ) ) A A 2 2 B B 3 3 C C3 32 2 D D6 62 2 由已知，得由已知，得F F1 1( ( 3 3，0)0)，F F2 2( ( 3 3，0)0)， 设双曲线设双曲线C C2 2的实半轴长为的实半轴长为a a，由椭圆及双曲线的定义和已知，由椭圆及双曲线的定义和已知， 可得可得 | |AFAF1 1| | |AFAF2 2| |4 4，| |AFAF2 2| | |AFAF1 1| |2 2a a，| |AFAF1 1| |2 2| |AFAF2 2| |2 21212，解得解得a a2 22 2， 故故a a 2 2所以双曲线所以双曲线C C2 2的离心率的离心率e e3 32 26 62 2 D D 本题可巧妙运用椭圆和双曲线的定义建立本题可巧妙运用椭圆和双曲线的定义建立| |AFAF1 1| |，| |AFAF2 2| |的等量关系，从而快速求出双曲的等量关系，从而快速求出双曲线实半轴长线实半轴长a a的值，进而求出双曲线的离心率，大大降低了运算量的值，进而求出双曲线的离心率，大大降低了运算量 抛物线抛物线y y2 24 4mxmx( (m m0)0)的焦点为的焦点为F F，点，点P P为该抛物线上的动点，若点为该抛物线上的动点，若点A A( (m,m,0)0)，则，则| |PFPF| | |PAPA| |的最小值为的最小值为_ 解析：设点解析：设点P P的坐标为的坐标为( (x xP P，y yP P) )，由抛物线的定义，知，由抛物线的定义，知| |PFPF| |x xP Pm m，又，又| |PAPA| |2 2( (x xP Pm m) )2 2y y2 2P P( (x xP Pm m) )2 24 4mxmxP P，则，则 | |PFPF| | |PAPA| |2 2x xP Pm m2 2x xP Pm m2 24 4mxmxP P1 11 14 4mxmxP Px xP Pm m2 21 11 14 4mxmxP Px xP Pm m2 21 12 2( (当且仅当当且仅当x xP Pm m时取等号时取等号) )，所以，所以| |PFPF| | |PAPA| |2 22 2，所以，所以| |PFPF| | |PAPA| |的最小值为的最小值为2 22 2 答案：答案：2 22 2 设而不求，整体代换设而不求，整体代换 对于直线与圆锥曲线相交所产生的中点弦问题，涉及求中点弦所在直线的方程，或弦对于直线与圆锥曲线相交所产生的中点弦问题，涉及求中点弦所在直线的方程，或弦的中点的轨迹方程的问题时，常常可以用代点法求解的中点的轨迹方程的问题时，常常可以用代点法求解 已知椭圆已知椭圆E E：x x2 2a a2 2y y2 2b b2 21(1(a ab b0)0)的右焦点为的右焦点为F F(3(3，0)0)，过点，过点F F的直线交的直线交E E于于A A，B B两两点若点若ABAB的中点坐标为的中点坐标为(1(1，1)1)，则，则E E的标准方程为的标准方程为( ( ) ) A Ax x2 24545y y2 236361 1 B Bx x2 23636y y2 227271 1 C Cx x2 22727y y2 218181 1 D Dx x2 21818y y2 29 91 1 设设A A( (x x1 1，y y1 1) )，B B( (x x2 2，y y2 2) )， 则则x x1 1x x2 22 2，y y1 1y y2 22 2， x x2 21 1a a2 2y y2 21 1b b2 21 1，x x2 22 2a a2 2y y2 22 2b b2 21 1， 得得x x1 1x x2 2x x1 1x x2 2a a2 2y y1 1y y2 2y y1 1y y2 2b b2 20 0， 所以所以k kABABy y1 1y y2 2x x1 1x x2 2b b2 2x x1 1x x2 2a a2 2y y1 1y y2 2b b2 2a a2 2 又又k kABAB0 01 13 31 11 12 2，所以，所以b b2 2a a2 21 12 2 又又 9 9c c2 2a a2 2b b2 2， 解得解得b b2 29 9，a a2 21818， 所以椭圆所以椭圆E E的方程为的方程为x x2 21818y y2 29 91 1 D D 本题设出本题设出A A，B B两点的坐标，却不需求出两点的坐标，却不需求出A A，B B两点的坐标，巧妙地表达出直线两点的坐标，巧妙地表达出直线ABAB的斜的斜率，通过将直线率，通过将直线ABAB的斜率的斜率“算两次算两次”建立几何量之间的关系，从而快速解决问题建立几何量之间的关系，从而快速解决问题 过点过点M M(1,1)(1,1)作斜率为作斜率为1 12 2的直线与椭圆的直线与椭圆C C：x x2 2a a2 2y y2 2b b2 21(1(a ab b0)0)相交于相交于A A，B B两点，若两点，若M M是线段是线段ABAB的中点，则椭圆的中点，则椭圆C C的离心率等于的离心率等于_ 解析：设解析：设A A( (x x1 1，y y1 1) )，B B( (x x2 2，y y2 2) )，则，则 x x2 21 1a a2 2y y2 21 1b b2 21 1，x x2 22 2a a2 2y y2 22 2b b2 21 1， x x1 1x x2 2x x1 1x x2 2a a2 2y y1 1y y2 2y y1 1y y2 2b b2 20 0， y y1 1y y2 2x x1 1x x2 2b b2 2a a2 2x x1 1x x2 2y y1 1y y2 2 y y1 1y y2 2x x1 1x x2 21 12 2，x x1 1x x2 22 2，y y1 1y y2 22 2， b b2 2a a2 21 12 2，a a2 22 2b b2 2 又又b b2 2a a2 2c c2 2， a a2 22(2(a a2 2c c2 2) )，a a2 22 2c c2 2，c ca a2 22 2 即椭圆即椭圆C C的离心率的离心率e e2 22 2 答案：答案：2 22 2 巧用巧用“根与系数的关系根与系数的关系”， 化繁为简， 化繁为简 某些涉及线段长度关系的问题可以通过解某些涉及线段长度关系的问题可以通过解方程、求坐标，用距离公式计算长度的方法方程、求坐标，用距离公式计算长度的方法来解；但也可以利用一元二次方程，使相关的点的同名坐标为方程的根，由根与系数的关来解；但也可以利用一元二次方程，使相关的点的同名坐标为方程的根，由根与系数的关系求出两根间的关系或有关线段长度间的关系后者往往计算量小，解题过程简捷系求出两根间的关系或有关线段长度间的关系后者往往计算量小，解题过程简捷 (2016(2016全国甲卷全国甲卷) )已知椭圆已知椭圆E E：x x2 2t ty y2 23 31 1 的焦点在的焦点在x x轴上，轴上，A A是是E E的左顶点，斜率为的左顶点，斜率为k k( (k k0)0)的直线交的直线交E E于于A A，M M两点，点两点，点N N在在E E上，上，MAMANANA (1)(1)当当t t4 4，| |AMAM| | |ANAN| |时，求时，求AMNAMN的面积；的面积； (2)(2)当当 2|2|AMAM| | |ANAN| |时，求时，求k k的取值范围的取值范围 设设M M( (x x1 1，y y1 1) )，则由题意知，则由题意知y y1 100 (1)(1)当当t t4 4 时，时，E E的方程为的方程为x x2 24 4y y2 23 31 1，A A( (2,0)2,0) 由已知及椭圆的对称性知，直线由已知及椭圆的对称性知，直线AMAM的倾斜角为的倾斜角为4 4 因此直线因此直线AMAM的方程为的方程为y yx x2 2 将将x xy y2 2 代入代入x x2 24 4y y2 23 31 1，得，得 7 7y y2 21212y y0 0 解得解得y y0 0 或或y y12127 7，所以，所以y y1 112127 7 因此因此AMNAMN的面积的面积S SAMNAMN221 12 212127 712127 71441444949 (2)(2)由题意知由题意知t t33，k k00，A A( (t t，0)0) 将直线将直线AMAM的方程的方程y yk k( (x xt t) )代入代入x x2 2t ty y2 23 31 1， 得得(3(3tktk2 2) )x x2 22 2t ttktk2 2x xt t2 2k k2 23 3t t0 0 由由x x1 1(t t) )t t2 2k k2 23 3t t3 3tktk2 2，得，得x x1 1t ttktk2 23 3tktk2 2， 故故| |AMAM| | |x x1 1t t| | 1 1k k2 26 6t tk k2 23 3tktk2 2 由题设，直线由题设，直线ANAN的方程为的方程为y y1 1k k( (x xt t) )， 故同理可得故同理可得| |ANAN| |6 6k k t tk k2 23 3k k2 2t t 由由 2|2|AMAM| | |ANAN| |，得，得2 23 3tktk2 2k k3 3k k2 2t t， 即即( (k k3 32)2)t t3 3k k(2(2k k1)1) 当当k k3 32 2时上式不成立，因此时上式不成立，因此t t3 3k kk kk k3 32 2 t t33 等价于等价于k k3 32 2k k2 2k k2 2k k3 32 2k kk k2 2k k3 32 200， 即即k k2 2k k3 32 20020，k k3 32020或或 k k202020，解得解得3 32 2 k k20)0)相切于点相切于点M M，且，且M M为线段为线段ABAB的中点若这样的直线的中点若这样的直线l l恰有恰有 4 4 条，则条，则r r的取值范围是的取值范围是( ( ) ) A A(1,3) (1,3) B B(1,4)(1,4) C C(2,3) (2,3) D D(2,4)(2,4) 解析：选解析：选 D D 设设A A y y2 21 14 4，y y1 1，B B y y2 22 24 4，y y2 2，M M y y2 21 1y y2 22 28 8，y y1 1y y2 22 2，C C(5,0)(5,0)为圆心，当为圆心，当y y1 1y y2 2时，时，k kABAB4 4y y1 1y y2 2，k kCMCMy y1 1y y2 2y y2 21 1y y2 22 24040，由，由k kABABk kCMCM1 1y y2 21 1y y2 22 22424，所以，所以M M 3 3，y y1 1y y2 22 2，又，又r r2 2| |CMCM| |2 24 4 y y1 1y y2 22 22 210101 12 2y y1 1y y2 2，所以，所以(2(2r r2 220)20)2 2y y2 21 1y y2 22 2，所以，所以y y2 21 1，y y2 22 2是方程是方程t t2 22424t t(2(2r r2 220)20)2 20 0 的两的两个不同的正根，由个不同的正根，由0 0 得得 2 2r r4 4综上，综上，r r的取值范围是的取值范围是(2,4)(2,4) 6 6中心为原点，一个焦点为中心为原点，一个焦点为F F(0,5(0,5 2 2) )的椭圆，截直线的椭圆，截直线y y3 3x x2 2 所得弦中点的横坐标所得弦中点的横坐标为为1 12 2，则该椭圆方程为，则该椭圆方程为( ( ) ) A A2 2x x2 275752 2y y2 225251 1 B Bx x2 27575y y2 225251 1 C Cx x2 22525y y2 275751 1 D D2 2x x2 225252 2y y2 275751 1 解析解析：选：选 C C 由已知得由已知得c c5 5 2 2， 设椭圆的方程为设椭圆的方程为x x2 2a a2 25050y y2 2a a2 21 1， 联立联立 x x2 2a a2 25050y y2 2a a2 21 1，y y3 3x x2 2， 消去消去y y得得(10(10a a2 2450)450)x x2 212(12(a a2 250)50)x x4(4(a a2 250)50)a a2 2( (a a2 250)50)0 0，设直线，设直线y y3 3x x2 2与椭圆的交点坐标分别为与椭圆的交点坐标分别为( (x x1 1，y y1 1) )，( (x x2 2，y y2 2) )， 由根与系数关系得由根与系数关系得x x1 1x x2 2a a2 21010a a2 2450450， 由题意知由题意知x x1 1x x2 21 1， 即即a a2 21010a a2 24504501 1， 解得解得a a2 27575， 所以该椭圆方程为所以该椭圆方程为y y2 27575x x2 225251 1 7 7已知双曲线已知双曲线C C：x x2 22 2y y2 21 1，点，点M M的坐标为的坐标为(0,1)(0,1)设设P P是双曲线是双曲线C C上的点，上的点，Q Q是点是点P P关于原点的对称点记关于原点的对称点记MPMP MQMQ ，则，则的取值范围是的取值范围是_ 解析：设解析：设P P( (x x0 0，y y0 0) )，则，则Q Q( (x x0 0，y y0 0) )， MPMP MQMQ ( (x x0 0，y y0 01)(1)(x x0 0，y y0 01)1) x x2 20 0y y2 20 01 1 3 32 2x x2 20 02 2 因为因为| |x x0 0| 2 2， 所以所以的取值范围是的取值范围是( (，11 答案：答案：( (，11 8 8(2017(2017长春质检长春质检) )已知已知ABAB为圆为圆x x2 2y y2 21 1 的一条直径，点的一条直径，点P P为直线为直线x xy y2 20 0 上上任意一点，则任意一点，则PAPA PBPB 的最小值为的最小值为_ 解析：由题意，设解析：由题意，设A A(cos (cos ，sin sin ) )，P P( (x x，x x2)2)， 则则B B( (cos cos ，sin sin ) )， PAPA (cos (cos x x，sin sin x x2)2)， PBPB ( (cos cos x x，sin sin x x2)2)， PAPA PBPB (cos (cos x x)()(cos cos x x) )(sin (sin x x2)(2)(sin sin x x2)2) x x2 2( (x x2)2)2 2coscos2 2sinsin2 2 2 2x x2 24 4x x3 3 2(2(x x1)1)2 21 1， 当且仅当当且仅当x x1 1， 即即P P( (1 1，1)1)时，时，PAPA PBPB 取最小值取最小值 1 1 答案：答案：1 1 9 9设抛物线设抛物线 x x2 2ptpt2 2，y y2 2ptpt( (t t为参数，为参数，p p0)0)的焦点为的焦点为F F，准线为，准线为l l过抛物线上一点过抛物线上一点A A作作l l的垂线，垂足为的垂线，垂足为B B设设C C 7 72 2p p，0 0 ，AFAF与与BCBC相交于点相交于点E E若若| |CFCF| |2|2|AFAF| |，且，且ACEACE的面的面积为积为 3 3 2 2，则，则p p的值为的值为_ 解析：解析：由由 x x2 2ptpt2 2，y y2 2ptpt( (p p0)0)消去消去t t可得抛物线方程为可得抛物线方程为y y2 22 2pxpx( (p p0)0)，F F p p2 2，0 0 ，| |ABAB| | |AFAF| |1 12 2| |CFCF| |3 32 2p p，可得，可得A A( (p p， 2 2p p) ) 易知易知AEBAEBFECFEC， | |AEAE| | |FEFE| | |ABAB| | |FCFC| |1 12 2， 故故S SACEACE1 13 3S SACFACF1 13 333p p 2 2p p1 12 22 22 2p p2 23 3 2 2， p p2 26 6p p0 0，p p 6 6 答案：答案： 6 6 1010(2016(2016河北三市二联河北三市二联) )已知离心率为已知离心率为6 63 3的椭圆的椭圆x x2 2a a2 2y y2 2b b2 21(1(a ab b0)0)的一个焦点为的一个焦点为F F，过，过F F且与且与x x轴垂直的直线与椭圆交于轴垂直的直线与椭圆交于A A，B B两点，两点，| |ABAB| |2 2 3 33 3 (1)(1)求此椭圆的方程；求此椭圆的方程； (2)(2)已知直线已知直线y ykxkx2 2 与椭圆交于与椭圆交于C C，D D两点，若以线段两点，若以线段CDCD为直径的圆过点为直径的圆过点E E( (1,0)1,0)，求求k k的值的值 解：解：(1)(1)设焦距为设焦距为 2 2c c， e ec ca a6 63 3，a a2 2b b2 2c c2 2， b ba a3 33 3，由题意可知由题意可知b b2 2a a3 33 3， b b1 1，a a 3 3， 椭圆的方程为椭圆的方程为x x2 23 3y y2 21 1 (2)(2)将将y ykxkx2 2 代入椭圆方程，代入椭圆方程， 得得(1(13 3k k2 2) )x x2 21212kxkx9 90 0， 又直线与椭圆有两个交点，又直线与椭圆有两个交点， 所以所以(12(12k k) )2 236(136(13 3k k2 2) )0 0， 解得解得k k2 21 1 设设C C( (x x1 1，y y1 1) )，D D( (x x2 2，y y2 2) )， 则则x x1 1x x2 21212k k1 13 3k k2 2，x x1 1x x2 29 91 13 3k k2 2， 若以若以CDCD为直径的圆过为直径的圆过E E点，点， 则则PBPB EDED 0 0， 即即( (x x1 11)(1)(x x2 21)1)y y1 1y y2 20 0， 而而y y1 1y y2 2( (kxkx1 12)(2)(kxkx2 22)2)k k2 2x x1 1x x2 22 2k k( (x x1 1x x2 2) )4 4， 则则( (x x1 11)(1)(x x2 21)1)y y1 1y y2 2 ( (k k2 21)1)x x1 1x x2 2(2(2k k1)(1)(x x1 1x x2 2) )5 5 k k2 21 13 3k k2 21212k kk k1 13 3k k2 25 50 0， 解得解得k k7 76 6，满足，满足k k2 21 1 1 11 1(2016(2016山东高考节选山东高考节选) )平面直角坐标系平面直角坐标系xOyxOy中， 椭圆中， 椭圆C C：x x2 2a a2 2y y2 2b b2 21(1(a ab b0)0)的离心率是的离心率是3 32 2，抛物线，抛物线E E：x x2 22 2y y的焦点的焦点F F是是C C的一个顶点的一个顶点 (1)(1)求椭圆求椭圆C C的方程的方程 (2)(2)设设P P是是E E上的动点，且位于第一象限，上的动点，且位于第一象限，E E在点在点P P处的切线处的切线l l与与C C交于不同的两点交于不同的两点A A，B B，线段，线段ABAB的中点为的中点为D D直线直线ODOD与过与过P P且垂直于且垂直于x x轴的直线交于点轴的直线交于点M M求证：点求证：点M M在定直在定直线上线上 解：解：(1)(1)由题意知由题意知a a2 2b b2 2a a3 32 2， 可得可得a a2 24 4b b2 2 因为抛物线因为抛物线E E的焦点为的焦点为F F 0 0，1 12 2， 所以所以b b1 12 2，a a1 1 所以椭圆所以椭圆C C的方程为的方程为x x2 24 4y y2 21 1 (2)(2)证明：设证明：设P P m m，m m2 22 2( (m m0)0) 由由x x2 22 2y y，可得，可得y yx x， 所以直线所以直线l l的斜率为的斜率为m m 因此直线因此直线l l的方程为的方程为y ym m2 22 2m m( (x xm m) )， 即即y ymxmxm m2 22 2 设设A A( (x x1 1，y y1 1) )，B B( (x x2 2，y y2 2) )，D D( (x x0 0，y y0 0) )， 联立方程联立方程 x x2 24 4y y2 21 1，y ymxmxm m2 22 2， 得得(4(4m m2 21)1)x x2 24 4m m3 3x xm m4 41 10 0 由由0 0， 得得 0 0m m2 22 2 5 5(*)(*) 由根与系数的关系得由根与系数的关系得x x1 1x x2 24 4m m3 34 4m m2 21 1， 因此因此x x0 02 2m m3 34 4m m2 21 1 将其代入将其代入y ymxmxm m2 22 2， 得得y y0 0m m2 2m m2 2 因为因为y y0 0 x x0 01 14 4m m， 所以直线所以直线ODOD的方程为的方程为y y1 14 4m mx x 联立方程联立方程 y y1 14 4m mx x，x xm m， 得点得点M M的纵坐标的纵坐标y yM M1 14 4， 所以点所以点M M在定直线在定直线y y1 14 4上上 1212(2016(2016合肥质检合肥质检) )已知中心在原点，焦点在已知中心在原点，焦点在y y轴上的椭圆轴上的椭圆C C，其上一点，其上一点P P到两个焦到两个焦点点F F1 1，F F2 2的距离之和为的距离之和为 4 4，离心率为，离心率为3 32 2 (1)(1)求椭圆求椭圆C C的方程；的方程； (2(2) )若直线若直线y ykxkx1 1 与曲线与曲线C C交于交于A A，B B两点，求两点，求OABOAB面积的取值范围面积的取值范围 解：解：(1)(1)设椭圆的标准方程为设椭圆的标准方程为y y2 2a a2 2x x2 2b b2 21(1(a ab b0)0)， 由题意可知由题意可知 2 2a a4 4，c ca a3 32 2，又，又a a2 2b b2 2c c2 2， 解得解得a a2 2，c c 3 3，b b1 1， 故椭圆故椭圆C C的方程为的方程为y y2 24 4x x2 21 1 (2)(2)设设A A( (x x1 1，y y1 1) )，B B( (x x2 2，y y2 2) )， 由由 x x2 2y y2 24 41 1，y ykxkx1 1得得( (k k2 24)4)x x2 22 2kxkx3 30 0， 故故x x1 1x x2 22 2k kk k2 24 4，x x1 1x x2 23 3k k2 24 4， 设设OABOAB的面积为的面积为S S， 由由x x1 1x x2 23 3k k2 24 40 0， 知知S S1 12 2(|(|x x1 1| | |x x2 2|)|)1 12 2| |x x1 1x x2 2| | 1 12 2x x1 1x x2 22 24 4x x1 1x x2 22 2k k2 23 3k k2 22 2， 令令k k2 23 3t t，知，知t t33， S S2 21 1t t1 1t t2 2 对函数对函数y yt t1 1t t( (t t3)3)，知，知y y1 11 1t t2 2t t2 21 1t t2 20 0， y yt t1 1t t在在t t 已知抛物线已知抛物线C C：y y2 22 2pxpx( (p p0)0)的焦点的焦点F F(1,0)(1,0)，O O为坐标原点，为坐标原点，A A，B B是抛物线是抛物线C C上异于上异于O O的两点的两点 (1)(1)求抛物线求抛物线C C的方程；的方程； (2)(2)若直线若直线OAOA，OBOB的斜率之积为的斜率之积为1 12 2，求证：直线，求证：直线ABAB过过x x轴上一定点轴上一定点 (1)(1)因为抛物线因为抛物线y y2 22 2pxpx( (p p0)0)的焦点坐标为的焦点坐标为(1,0)(1,0)， 所所以以p p2 21 1，即，即p p2 2 所以抛物线所以抛物线C C的方程为的方程为y y2 24 4x x (2)(2)证明：证明：当直线当直线ABAB的斜率不存在时，的斜率不存在时， 设设A A t t2 24 4，t t，B B t t2 24 4，t t 因为直线因为直线OAOA，OBOB的斜率之积为的斜率之积为1 12 2， 所以所以t tt t2 24 4t tt t2 24 41 12 2，化简得，化简得t t2 23232 所以所以A A( (8 8，t t) )，B B(8(8，t t) )，此时直线，此时直线ABAB的方程为的方程为x x8 8 当直线当直线ABAB的斜率存在时，的斜率存在时， 设其方程为设其方程为y ykxkxb b，A A( (x xA A，y yA A) )，B B( (x xB B，y yB B) )， 联立方程组联立方程组 y y2 24 4x x，y ykxkxb b，消去消去x x得得kyky2 24 4y y4 4b b0 0 由根与系数的关系得由根与系数的关系得y yA Ay yB B4 4b bk k， 因为直线因为直线OAOA，OBOB的斜率之积为的斜率之积为1 12 2， 所以所以y yA Ax xA Ay yB Bx xB B1 12 2，即，即x xA Ax xB B2 2y yA Ay yB B0 0 即即y y2 2A A4 4y y2 2B B4 42 2y yA Ay yB B0 0， 解得解得y yA Ay yB B0(0(舍去舍去) )或或y yA Ay yB B3232 所以所以y yA Ay yB B4 4b bk k3232，即，即b b8 8k k， 所以所以y ykxkx8 8k k，即，即y yk k( (x x8)8) 综合综合可知，直线可知，直线ABAB过定点过定点(8,0)(8,0) 圆锥曲线中定点问题的两种解法圆锥曲线中定点问题的两种解法 (1)(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点参数何时没有关系，找到定点 (2)(2)特殊到一般法： 根据动点或动线的特殊情况探索出特殊到一般法： 根据动点或动线的特殊情况探索出定点， 再证明该定点与变量无关定点， 再证明该定点与变量无关 已知椭圆已知椭圆x x2 2a a2 2y y2 2b b2 21(1(a ab b0)0)过点过点(0,1)(0,1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列直线数列直线l l与与x x轴正半轴和轴正半轴和y y轴分别交于轴分别交于Q Q，P P，与椭圆分别交于点，与椭圆分别交于点M M，N N，各点均不重合，各点均不重合且满足且满足PMPM 1 1MQMQ ，PNPN 2 2NQNQ (1)(1)求椭圆的标准方程；求椭圆的标准方程； (2)(2)若若1 12 23 3，试证明，试证明：直线：直线l l过定点并求此定点过定点并求此定点 解：解：(1)(1)设椭圆的焦距为设椭圆的焦距为 2 2c c，由题意知，由题意知b b1 1， 且且(2(2a a) )2 2(2(2b b) )2 22(22(2c c) )2 2， 又又a a2 2b b2 2c c2 2，所以，所以a a2 23 3 所以椭圆的方程为所以椭圆的方程为x x2 23 3y y2 21 1 (2)(2)由题意设由题意设P P(0(0，m m) )，Q Q( (x x0,0,0)0)，M M( (x x1 1，y y1 1) )，N N( (x x2 2，y y2 2) )，直线，直线l l的方程为的方程为x xt t( (y ym m) )， 由由PMPM 1 1MQMQ ，知，知( (x x1 1，y y1 1m m) )1 1( (x x0 0 x x1 1，y y1 1) )， y y1 1m my y1 11 1，由题意，由题意y y1 10 0， 1 1m my y1 11 1 同理由同理由PNPN 2 2NQNQ 知知2 2m my y2 21 1 1 12 23 3，m my y1 11 1m my y2 21 13 3， y y1 1y y2 2m m( (y y1 1y y2 2) )0 0， 联立联立 x x2 23 3y y2 23 3，x xt ty ym m， 得得( (t t2 23)3)y y2 22 2mtmt2 2y yt t2 2m m2 23 30 0， 由题意知由题意知4 4m m2 2t t4 44(4(t t2 23)(3)(t t2 2m m2 23)3)0 0， 且有且有y y1 1y y2 22 2mtmt2 2t t2 23 3，y y1 1y y2 2t t2 2m m2 23 3t t2 23 3， 代入代入得得t t2 2m m2 23 32 2m m2 2t t2 20 0， ( (mtmt) )2 21 1， 由题意由题意mtmt0 0，mtmt1 1，满足，满足， 故直线故直线l l的方程为的方程为x xtyty1 1，过定点，过定点(1,0)(1,0)， 即即Q Q为定点为定点 定值问题定值问题 (2017(2017张掖诊断张掖诊断) )如图，椭圆如图，椭圆E E：x x2 2a a2 2y y2 2b b2 21(1(a ab b0)0)经过点经过点A A( (0 0，1)1)，且离心率为，且离心率为2 22 2 (1)(1)求椭圆求椭圆E E的方程；的方程； (2)(2)经过点经过点(1,1)(1,1)，且斜率为，且斜率为k k的直线与椭圆的直线与椭圆E E交于不同两点交于不同两点P P，Q Q( (均异于点均异于点A A) )，证明：，证明：直线直线APAP与与AQAQ的斜率之和为定值的斜率之和为定值 (1)(1)由题意知由题意知c ca a2 22 2，b b1 1， 由由a a2 2b b2 2c c2 2，得，得a a 2 2， 所以椭圆所以椭圆E E的方程为的方程为x x2 22 2y y2 21 1 (2)(2)证明：设直线证明：设直线PQPQ的方程为的方程为y yk k( (x x1)1)1(1(k k2)2)， 代入代入x x2 22 2y y2 21 1， 得得(1(12 2k k2 2) )x x2 24 4k k( (k k1)1)x x2 2k k( (k k2)2)0 0， 由题意知由题意知0 0， 设设P P( (x x1 1，y y1 1) )，Q Q( (x x2 2，y y2 2) )，且，且x x1 1x x2 200， 则则x x1 1x x2 24 4k kk k1 12 2k k2 2，x x1 1x x2 22 2k kk k1 12 2k k2 2， 所以直线所以直线APAP与与AQAQ的斜率之和的斜率之和 k kAPAPk kAQAQy y1 11 1x x1 1y y2 21 1x x2 2 kxkx1 12 2k kx x1 1kxkx2 22 2k kx x2 2 2 2k k(2(2k k) ) 1 1x x1 11 1x x2 2 2 2k k(2(2k k) )x x1 1x x2 2x x1 1x x2 2 2 2k k(2(2k k) )4 4k kk k2 2k kk k 2 2k k2(2(k k1)1) 2 2 故直线故直线APAP与与AQAQ的斜率为定值的斜率为定值 2 2 定值问题常见的定值问题常见的 2 2 种求法种求法 (1)(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关 (2)(2)引进变量法：其解题流程为引进变量法：其解题流程为 已知椭圆已知椭圆x x2 2a a2 2y y2 2b b2 21(1(a ab b0)0)的左焦点的左焦点F F1 1( (1,0)1,0)，长轴长与短轴长的比是，长轴长与短轴长的比是 2 2 3 3 (1)(1)求椭圆的方程；求椭圆的方程； (2)(2)过过F F1 1作两直线作两直线m m，n n交椭圆于交椭圆于A A，B B，C C，D D四点，若四点，若m mn n，求证：，求证：1 1| |ABAB| |1 1| |CDCD| |为定为定值值 解：解：(1)(1)由已知得由已知得 2 2a a2 2b b2 2 3 3，c c1 1，a a2 2b b2 2c c2 2. . 解得解得a a2 2，b b 3 3 故所求椭圆的方程为故所求椭圆的方程为x x2 24 4y y2 23 31 1 (2)(2)证明： 由已知证明： 由已知F F1 1( (1,0)1,0)， 当直线， 当直线m m不垂直于坐标轴时， 可设直线不垂直于坐标轴时， 可设直线m m的的方程为方程为y yk k( (x x1)(1)(k k0)0) 由由 y yk kx x，x x2 24 4y y2 23 31 1， 得得(3(34 4k k2 2) )x x2 28 8k k2 2x x4 4k k2 212120 0 由于由于0