小学奥数平面直线型几何知识汇总.pdf

平面直线型几何专题by 吴哲孙雪艳平面直线型几何专题吴哲孙雪艳2016 年 3 月平面直线型几何专题by 吴哲孙雪艳第 1 讲第 2 讲第 3 讲第 4 讲第 5 讲第 6 讲第 7 讲第 8 讲目录目录等积变形一半模型等高(等底)模型鸟头模型风筝模型蝴蝶模型沙漏模型和金字塔模型燕尾模型平面直线型几何专题by 吴哲孙雪艳第 1 讲 等积变形【知识点分析知识点分析】1 1、定义定义：图形形状发生变化，面积保持不变。比如：对称、平移、旋转等都是保持图形面积。2 2、常见类型：常见类型：（1）同底等高 两平行线间的等积变形（平行线间距离处处相等）平行线间距离处处相等）平行线“拉点“法（平行线“拉点“法（A A1 1可以在可以在 L L1 1上随便拉到任何地方）上随便拉到任何地方）A AA A1 1L L1 1B BC CL L2 2若L1/L2，则SABC=SA1BC技巧：平行线的来源技巧：平行线的来源A、平行四边形(包括长方形和正方形)和梯形B、已知平行C、并排摆放的正方形的同方向对角线（2）等底同高A AB BD DC C若D为BC中点，则SABD=SACD平面直线型几何专题by 吴哲孙雪艳（3）等高等底A AE Eh h1 1B BC CF Fh h2 2G G若BC=FG、h1=h2，则SABC=SEFG3 3、本质：本质：将三角形的面积关系转化成三角形底和高等对应的线段长度关系【典型例题典型例题】例例 1 1：将任意一的三角形分割为四个面积相等的小三角形，可以怎么分？你能想到多少种？【解题点拨解题点拨】图中的点为中点、三等分点或四等分点平面直线型几何专题by 吴哲孙雪艳例例 2 2：如图，在梯形 A B C D中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？MMQ QP P【解题点拨解题点拨】考察平行线间的等积变形，梯形上下两个底平行以 MP 为底：MPN=MPO以 NO 为底：NOM=NOP等量减等量，差相等：MNQ=POQ例例 3 3：正方形 A B C D和正方形 C E F G，且正方形 A B C D边长为 20 厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？N NO OA AG GD DF FH HB BC CE E【解题点拨解题点拨】考察平行线间的等积变形，并排摆放的正方形的同方向对角线平行。如图，连接 CF，则 BD/CF,以 CF 为底，CFD 与CFB 面积相等，同时减去CFH，得到BCH 与DFH 面积相等，所以阴影部分面积就等于BCD 的面积，等于 20202=200 平方厘米A AG GD DF FH HB BC CE E平面直线型几何专题by 吴哲孙雪艳本题直接求阴影面积比较麻烦，利用等积变形巧妙转化方便解题。例例 4 4：在梯形 A B C D 中，O E 平行于 A D。如果三角形 A O B 的面积是 7 平方厘米，则三角形 D E C 的面积是_ 平方厘米。A AE EO OB BD DC C【解题点拨解题点拨】题中有多条平行线，注意使用平行线间的等积变形。AD/EO/BCSEOA=SEOD，SEOB=SEOC，SAOB=SCODSDEC=SCOD+SEOD+SEOC=SAOB+SEOA+SEOB=7+7=14例例 5 5：如图，已知三角形 ABC 面积为 1，延长 AB 至 D，使 BD AB；延长 BC 至E，使 CE BC；延长 CA 至 F，使 AF 2AC，求三角形 DEF 的面积。F FA AD DB BC CE E【解题点拨解题点拨】题中有多个中点、三等分点，如图连接：F FF F2 22 22 2B BA A1 11 11 11 1C CB BD DA AC CE ED DE E平面直线型几何专题by 吴哲孙雪艳SABC=1，AB=BDSDBC=SABC=1又 BC=CESACE=SABC=1，SDBC=SEDC=1又 AF=2AC SAFE=2SACE=2，SAFB=2SACB=2又 AB=DB SAFB=SDFB=2所以三角形 DEF 的面积为=1+1+1+1+2+2+2=10例例 6 6：如图，D 是三角形 ABC 一边上的中点，两个长方形分别以 B、D 为顶点，并且有一个公共顶点 E，已知两块阴影部分的面积分别是 100 和 120，则三角形BDE 的面积是多少？A AD DE EB BD 为 AC 中点SADB=SCDB又 ED 和 EB 分别将两个长方形平分面积所以阴影部分差的面积就是三角形 BDE 的 2 倍（解题关键解题关键）所以三角形 BDE 的面积为（120-100）2=10C C【解题点拨解题点拨】题中已知阴影部分的面积，要求面积，想办法转化。平面直线型几何专题by 吴哲孙雪艳第 2 讲 一半模型【知识点分析知识点分析】1、平行四边形的一半模型平行四边形的一半模型（适用于长方形和正方形）基础模型：S阴=S平行四边形12证明：S阴=底高2，S平行四边形=底高，所以S阴=S平行四边形拓展拓展 1 1：12或或（1 1）（2 2）12（3 3）图（1）中为平行四边形内部的一条平行线，S阴=S平行四边形图（2）为内部任意一点，相等于把图（1）中两个点变为一个点，1S上+S下=S+S=S下左平行四边形2图（3）中为平行四边形内部一平行线，S阴=S平行四边形12平面直线型几何专题by 吴哲孙雪艳拓展拓展 2 2：（1 1）（2 2）（3 3）图（1）为平行四边形到长方形的变化图（2）S正=S长=2S阴图（3）S正=S长=2S阴,图（3）是图（2）的变形2、梯形的一半模型：梯形的一半模型：S阴=S梯形（取梯形腰上中点中点连接三角形）12证明：证明：A AE EF FB BD DC C延长 DE 交 CB 的延长线于 F，得到SADE=SFBE，S梯形=SCDF,因为 E 为 AB的中点，显然 E 也为 DF 的中点，容易得到S阴=SCDF=S梯形12121S=S梯形拓展：在梯形中位线上任意选择一点，拓展：在梯形中位线上任意选择一点，阴2平面直线型几何专题by 吴哲孙雪艳证明：证明：如图，将 K 点移动到 L 点G GL LK KH HJ JI I1SGJK=SGJL，SHIK=SHIL，由梯形的一半模型得证：S阴=S梯形23 3、任意四边形的一半模型：任意四边形的一半模型：基础模型基础模型:任意四边形，取上下两个边的中点连接，则S阴=S四边形证明：证明：12S S1 1S S2 2S S3 3S S4 4连按照如图连接，则根据中点可以知道，S1=S2，S3=S4，所以S阴=S四边形拓展拓展 1 1：将中点变为三等分点：将中点变为三等分点12证明证明平面直线型几何专题by 吴哲孙雪艳2S阴=S四边形，证明方法同上，连接对角线即可（略）3拓展拓展 2 2：取三等分点连接：取三等分点连接A A证明证明B BC CD D12S阴=S四边形,证明方法如图，根据拓展 1 的结论可得：S四ABCD=S四边形，33根据基础模型知道：S阴=S四ABCD，所以S阴=S四边形拓展拓展 3 3：上面一条边三段长度比例为 3:2:1，下面一条边三段长度比例为 1:2:3，则S阴=S四边形121313证明证明D DA AB B C C证明：证明：如图连接，证法同拓展 2，根据基础模型结论可得：S四ABCD=S四边形，根12据拓展 1 的结论可得S阴=S四ABCD，所以S阴=S四边形2313平面直线型几何专题by 吴哲孙雪艳拓展拓展 4 4：取各边三等分点，连接得中心阴影，则：取各边三等分点，连接得中心阴影，则S阴=S四边形19A A证明证明E EF FB B13L LK KD DJ JK K1 1L L1 1N N1 1MM1 1G GH HI IC C证明：证明：如图，由拓展 2 知S四GHKL=S四边形，只需要证明 K1、N1和 L1、M1、分别是 GL和 KH 的三等分点就可以。如图连接，（需要用到相似），根据三等分点容易得到EL/BD/GJ,而且EL=BD，GJ=BD，所以EL=GJ，所以LK1=K1G，得到 K1是 GL 的三等分点，同理可以证明另外三个点也是三等分点，所以132312121S阴=S，四GHKL3所以S阴=S四边形19【典型例题典型例题】例例 1 1：（1 1）平行四边形草场分成了 A、B、C、D 四个三角形，草匀速生长，A 草场的草可供 40 头牛吃，B 草场的草可供 30 头牛吃，C 草场的草可供 100 头牛吃，那么 D 草场呢？A AD DB BC C【解题点拨解题点拨】由平行四边形一半模型可以知道：A+C=B+D，所以，D=40+100-30=110头注意：草地面积和牛数使一一对应的。平面直线型几何专题by 吴哲孙雪艳（2）（20082008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛六年级）年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛六年级）已知 EF 为梯形的中位线，三角形 ADG 的面积为 15 平方厘米，三角形 BCG 的面积占梯形总面积的7，求梯形 ABCD 的面积？20A AE EB B15G GD DF FC C【解题点拨】解题点拨】由梯形的一半模型知道，SADG+SBCG=S梯ABCD，所以梯形 ABCD12（-的面积=1517)100cm22 20例例 2 2：（三帆中学（三帆中学20062006年考题）年考题）如图，P 为平行四边形 ABCD 外一点，已知三角形PAB 的面积等于 7 平方厘米，三角形 PCD 的面积是 3 平方厘米，求平行四边形ABCD 的面积。P PD DC CA AB B【解题点拨解题点拨】过 P 做平行线构造平行四边形，利用一半模型解题F FD DP PC CE EA ASABEFB B=2SPAB，SDCEFABCD=2SPCD，S=SABEF-SDCEF=2（7-3）=8cm2平面直线型几何专题by 吴哲孙雪艳例例 3 3：O 为长方形 ABCD 内一点，SOBC=5，SOAB=2，求SOBD=？A AO OP PD DB BC C【解题点拨解题点拨】考察任意一点的一半模型和对角线的一半模型1SOBC+SOAD=SOAB+SOAD+SOBD=S2ABCD，得SOBD=SOBC SOAB=5-2=3例例 4 4：O 为平行四边形 ABCD 内一点，过点 O 做边的平行线，已知SOBD=8，求SOHCFSAEOG=？A AE EB BH HO OG GF FC CD D【解题点拨解题点拨】如图，连接 OA 与 OC，根据例 3 中的结论可以知道：SOBD=SOBC SOAB=8，又SSOHCFBCFE=2SOBC，SABHG=2SAOB，所 以，SAEOG=SBCFESABHG=2（SOBC SOAB）=16A AE EB BG GO OF FC CD DH H平面直线型几何专题by 吴哲孙雪艳例例 5 5：（1 1）（20082008仁华考题）仁华考题）正方形边长为 10，四边形EFGH 的面积为 5，求阴影部分的面积是多少？A AH HE EB BF FG GD DC C【解题点拨解题点拨】一半模型的变形，正方形中的两个三角形有重叠部分，如果没有重叠，两个三角形面积和应为 10102=50，重叠部分面积是 5，所以阴影部分的面积为 50-52=40（2 2）四边形 ABCD 中，E、F、G、H 是各边中点，求阴影部分面积与四边形 PQRS的面积之比是多少？H HA AE EB BS SR RF FP PD DG GQ QC C1S四BGDE=S四AFCH=S四ABCD2【解题点拨解题点拨】由任意四边形一半模型可知：所 以S四B G D E四+S四A F四C H=S，根 据 重 叠 等 于 未 覆 盖，可 以 知 道S四P Q R S阴=S，所以S：S=1P Q阴 R1S:平面直线型几何专题by 吴哲孙雪艳例例 6 6：（20082008走美六年级初赛）走美六年级初赛）长方形 ABCD 中，阴影部分面积为 70，AB=8，AD=15，求四边形 EFGO 的面积？A AO OE EB BF FG GD DC C【解题点拨解题点拨】解法一解法一：一半模型三角形 BDF 和三角形 ACF 如果没有重叠的话，面积和应该是长方形面积的一半：8152=60，实际面积是 50，所以四边形 EFGO 的面积是 60-50=10解法二解法二：梯形蝴蝶模型（学习过蝴蝶模型的同学可以理解下）在梯形ABFD中，根据蝴蝶模型可以知道：SABE SDEF,所以S四EFGO=701582=10平面直线型几何专题by 吴哲孙雪艳第 3 讲 等高（等底）模型【知识点分析知识点分析】1 1、基础知识：基础知识：三角形面积底高2所以：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积若底不变，高越大(小)，面积越大(小)；若高不变，底越大(小)，面积越大(小)；2 2、模型结论：模型结论：两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；如图S1:S2 a:b 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；特殊特殊：等底等高的两个三角形面积相等；（注意平行线）ABS1a其他常用结论：其他常用结论：S2bCD（1）夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图SACD SBCD；反之，如果SACD SBCD，则可知直线AB平行于CD（2）等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；（3）三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；（4）两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比平面直线型几何专题by 吴哲孙雪艳3 3、拓展结论：拓展结论：拓展拓展 1 1：图（图（1 1）：四边形 ABCD 为正方形，E、F、G 是各边中点，H 是是 AD 上任意一点，则S阴=S正证明证明：连接 BH、CH，根据等高等底知：S=S，S=S，S=S，所以S阴=S正图（图（2 2）：四边形 ABCD 为正方形，E、F、G 是各边三等分点，H 是是 AD 上任意一点，则S阴=S正（证明方法同上）图（图（3 3）：四边形 ABCD 为长方形，E、F、G 是各边中点，H 是是 AD 上任意一点，则S阴=S长（证明方法同上）A AH HD DA AH HD DG GA AE EB BH HD DG GC C12121312E EB BG GC CE EB BF F（2）F F（1）C CF F（3）拓展拓展 2 2：A AB BA AC CB BC CC CB BA AA AF FD DC C（3）D D（4）E EB B（1）D D（2）D D图（图（1 1）：S阴=S小正，证明：根据平行，A 可以移动到 D，S阴=SBCD=S小正12121212图（图（2 2）：S阴=S小正，证明同上（辅助线如图）图（图（3 3）：S阴=S大正，证明同上（辅助线如图）平面直线型几何专题by 吴哲孙雪艳图（图（4 4）：S阴=S中正，证明：辅助线如图，根据平行SBFA=SBFE，SBFC=SBFD，12所以，S阴=S中正【典型例题典型例题】例例 1 1：如右图，E 在 AD 上，AD 垂直 BC，AD 12厘米，DE 3厘米求三角形 ABC 的面积是三角形 EBC 面积的几倍？A12EBDC【解题点拨解题点拨】DEB与DAB等高，DEC与DAC等高，面积比等于对应的底边之比,SBDE：SBDA=1:4，SCDE：SCDA=1:4，所以(SBDE+SCDE):SBDA+SCDA1:4即SEBC：SABC=1:4，故三角形 ABC 的面积是三角形 EBC 面积的 4 倍例例 2 2：长方形 ABCD 的面积为 36，E、F、G 为各边中点，H 为 AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？AHDEGBFC【解题点拨解题点拨】（法（法 1 1）特殊点法特殊点法由于 H 为 AD 边上任意一点，找 H 的特殊点，把 H 点与 A 点重合（如图），那么阴影部分的面积就是AEF与ADG的面积之和，而这两个三11角形的面积分别为长方形 面积的和，所以阴影部分面积为长方形ABCD面4831133613.5积的，为8848平面直线型几何专题by 吴哲孙雪艳A(H)DAHDEGEGBFCBFC（法 1）（法 2）（法（法 2 2）等高等底模型连接BH、HC，可以得到：SEHB1SAHB，2SFHB即11SSDHC，SCHB，DHG而SABCD SAHB SCHB SCHD 36，22；又11SEHB SBHF SDHG(SAHB SCHB SCHD)36 18221SEHB SBHF SDHG S阴影 SEBF=S长2（这个结论就是拓展 1 中的图 3）SEBF11111 BE BF(AB)(BC)36 4.522228所以阴影部分的面积是：S阴影18 SEBF184.513.5例例 3 3：（第（第6 6 届走美杯届走美杯5 5 年级决赛第年级决赛第8 8 题）题）央如图，A、B、C 都是正方形边的中点，COD 比AOB 大 15 平方厘米。AOB 的面积为多少平方厘米？CAOBDE2【解题点拨解题点拨】SCOD SABO SBCD SABD SABE SABD15cm，又 B、C 是中点，所以 OB 是三角形 ADE 的中位线，所以 O 为 AD 的中点，所以根据等高模型：SAOB=SDOB=152=7.5平方厘米平面直线型几何专题by 吴哲孙雪艳例例 4 4：如图，大长方形由面积是12 平方厘米、24 平方厘米、36 平方厘米、48 平方厘米的四个小长方形组合而成求阴影部分的面积36cm212cm248cm224cm2【解题点拨解题点拨】AB36cm2N48cm224cm2CDM12cm2如图，将大长方形的长的长度设为 1，则AB 2411 21，CD 24 4831 2 3 64阴影部分面积为所以MN 13141所以12，11(12 2436 48)5(cm2)212例例 5 5：如右图，正方形 ABCD 的面积是 12，正三角形 BPC 的面积是 5，求阴影BPD的面积APDBC【解题点拨解题点拨】本题难点在于如何做辅助线连接 AC 交 BD 于 O 点，并连接 PO 如上图所示，由三角形PBC 是正三角形可得PO/AB/CD，所以SDPO=SCPO(同底等高)，所以有:平面直线型几何专题by 吴哲孙雪艳SBPO SCPO SBPO SPDO SBPD,因为SBOC以SBPD1SABCD 3，所4 53 2例例 6 6：（20082008年第一届年第一届“学而思杯”“学而思杯”综合素质测评六年级）综合素质测评六年级）如图，BC=45，AC=21，三角形 ABC 被分为 9 个面积相等的小三角形，求 DI+FK=_B BD DI IG GA AF FH HJ JK KC C【解题点拨解题点拨】DI 与 BC 有关，FK 与 AC 有关，只需要找出对应的比例关系就可以了。九个小三角形的面积一样，每一个面积看做 1 份，根据等高模型得：AF：FC=SADF：SCDF=2:5，所以 FC=2175=15，同理FK：KC=SFKI：SCKI=2:1，所以 FK=1532=10，同理，BD：DC=SABD：SACD=2:7，所以CD=4597=35，DI：IC=SDFI：SCFI=2:3，所以 DI=3552=14所以 DI+FK=14+10=24提示：（1）找边长比例关系时关注三角形的面积比，面积比与小三角形的个数有关系。因为每个小三角形的面积一样。注意，符合等高的条件才能用，底边在一条直线上，共顶点(2)多次用等高模型平面直线型几何专题by 吴哲孙雪艳第 4 讲 鸟头模型【知识点分析知识点分析】1.共角三角形共角三角形：有一个角相等相等或互补互补的两个三角形。2.鸟头模型：鸟头模型：共角三角形的面积比等于对应角对应角(相等角或互补角相等角或互补角)两夹边夹边的乘积乘积之比之比类型一：共角（或等角）类型一：共角（或等角）SADEAD AE=SABCAB ACA AD DB BE ED DA AC CE E（1 1）共角）共角 A AB B（2 2）等角）等角 A AC C（1）证明：连接 DCA AD DB B利用等高模型：E EC CSSADEAEAD，ADC，两个式子相乘得：SADCACSABCABSADESADESADCAEAD=SABCSADCSABCACAB（2）证法如（1），把三角形 ADE 旋转为图一的情况即可。类型二：补角类型二：补角SADEAD AE=SABCAB AC平面直线型几何专题by 吴哲孙雪艳E EA AD DB BC CE EA AB BD DC C（1 1）共线）共线 BAC+BAC+DAE=180DAE=180（2 2）不共线）不共线 BAC+BAC+DAE=180DAE=180（1）证明：连接 BDE EA AD DB B利用等高模型：C CSADEAESAD，ABD，两个式子相乘得：SABDABSABCACSADESADESABDAEAD=SABCSABDSABCACAB（2）证法如（1），把三角形 ADE 旋转和三角形 ABC 共线即可。3.3.鸟头模型本质鸟头模型本质：等高模型的两次运用，所以结论中的面积比是两组线段比的乘积。（所以能用鸟头模型做的题目，也能用等高模型做只是需要多次用）4.4.做题思路做题思路:第一步:找共角（同角、等角或补角）第二步：找夹边第三步：应用鸟头模型平面直线型几何专题by 吴哲孙雪艳【典型例题典型例题】例例 1 1：如图，ABCD 和 DEFG 都是正方形，求ADG与CDE的面积比G GA AD DE EB BC CSADGADDG=11：SCDECDEDF F【解题点拨解题点拨】找共角ADG+CDE=180，所以（注：AD=CD，DG=ED）结论结论：两个共顶点正方形所夹的两个三角形面积相等例例 2 2：如图所示，在平行四边形 ABCD 中，E 为 AB 的中点，AF 2CF，三角形AFE(图中阴影部分)的面积为 8 平方厘米平行四边形的面积是多少平方厘米？DFABC【解题点拨解题点拨】考点：鸟头模型和平行四边形一半模型由条件知：EAF2 AE1SAFAE211=，=，根据鸟头模型;AEF=,AC3 AB2SABCACAB323所以SABC=83=24平方厘米，平行四边形面积=242=48 平方厘米111S例例 3 3：（第四届迎春杯决赛）（第四届迎春杯决赛）已知AE=AC，CD=BC，BF=AB，那么DEF等546SABC于多少?平面直线型几何专题by 吴哲孙雪艳A AE E1 1F FB BA A5 51 1E E4 4F FB BD DC C3 3D D1 1C C【解题点拨解题点拨】三角形 DEF 位于中间，不接触三角形 ABC 的任何一条边，称为悬空图形，所以，利用整体减空白的思想。根据条件可知：BF：AF=1:5，AE：EC=1:4，CD：BD=1:3所 以 根 据 鸟 头 模 型：SAEFAF AEAFAE511，=SABCAB ACABAC656SBDFBF BDBFBD131SCDECE CDCECD411=，=SABCABBCABBC648SABCAC BCACBC545所以SDEF11120152461=1=1=SABC685120120120120例例 4 4：如图，已知三角形 ABC 面积为 1，延长 AB 到 D，使得 BD=AB，延长 BC 到E，使得 CE=2BC，延长 CA 至 F,使得 AF=3AC，求三角形 DEF 的面积？F FF F3 3A AB BD DC CE EB B1 1D D1 1A A1 11 1C C2 2E E【解题点拨解题点拨】根据条件将比例关系标记在图中，考察互补鸟头根据鸟头模型：SABCABBC111SAB AC111=，ABC=SBDEBDBE133SADFAD AF236SABCAC BC111=，因为SABC=1，所以SDEF=1+3+6+8=18SCEFCE CF248平面直线型几何专题by 吴哲孙雪艳例例 5 5：四边形 ABCD 的面积是 10 平方米，EA=AB，FB=BC，GC=CD，HD=DA，求四边形 EFGH 的面积E EA AF FB BD DC CG G【解题点拨解题点拨】连接 BDE EH HF FA AB BD DC CG GH H因为EAH+BAH=180，根据鸟头：SABDAB AD1 SBCDBC CD1=，=，所以SAEHAE AH2 SFCGFC CG2SAEH+SFCG=2SABD+SBCD=210=20平方米连接 AC，同理可证：SBEF+SDHG=20平方米所以S四EFGH=20+20+10=50平方米（易错点：忘记加 10）例例 6 6：已知SABC=1，延长 BA 到 D，使 DA=AB，延长 CA 到 E，使 EA=2AC，延长CB 至 F，使得 FB=3BC，求三角形 DEF 的面积E ED DA AF FB BE E2 21 1D D1 1A AF FC C3 31 1B B1 1C C【解题点拨解题点拨】由条件将比例标记在图中，将复杂问题从整体上分步骤来求不同部分。ABC与ADE等角平面直线型几何专题by 吴哲孙雪艳SABCAB AC111=，SADE=21=1SADEAD AE122ABC与EFC共角SABCACBC111=，SEFC=121=12SEFCECFC3412ABC与FDB互补SABCABBC111=，SFDB=61=6SFDBBDBF236SDEF=2+1261=7平面直线型几何专题by 吴哲孙雪艳第 4 讲 风筝模型【知识点分析】【知识点分析】1 1、风筝模型在任意的一个凸四边形内，连接两条对角线，分为四个三角形，如图所示：DAs2Bs1Os3s4C结论：结论：SADC:SABCOD:OBSADB:SDBCOA:OC证明：证明：S1:S2 S4:S3 OD:OB=kS1 S2kS4 S3kS1 S4 S2k S3k (S2 S3)k(S1 S4):(S2 S3)k OD:OB也就是：SADC:SABCOD:OB同理可证：SADB:SDBCOA:OC备注：备注：风筝模型又称羊肉串模型，理解为一块肉戳了一根签字分成两块肉，两块肉的面积比即为所用签子的长度比。2 2、风筝模型在几何题目中经常出现在凸四边形中，模型运用的关键是两条对角线，找到对角线模型也就明显了，但题目中一般只给出一条对角线，这就要求同学们连接另一条对角线连接另一条对角线即可。平面直线型几何专题by 吴哲孙雪艳【典型例题】【典型例题】例例 1 1：AC 与 BD 相交于 O 点；OA、OB、OC、OD 分别为 1、2、3、4，请填空：S1:S2 _;S4:S3 _;SADB:SCDB _;SADC:SABC _;A AS2D DS10 0S3B BC CS4【解题点拨】【解题点拨】根据等高模型可得：S1:S2 OB:OD,S4:S3OD:OB根据风筝模型可得：SADB:SCDB=OA:OC;SADC:SABC=OD:OB例例 2 2：如图，已知CD 5，DE 7，EF 15，FG 6，线段AB将图形分成两部分，左边部分面积是 38，右边部分面积是 65，那么三角形ADG的面积是AACDBEFGCDBEFG【解题点拨】【解题点拨】连接AF，BD根据题意可知，CF 5 7 15 27；DG 7 15 6 28；SBEF15SCBF，SBEC12SCBF，SAEG21SADG，SAED7SADG，272728287122115SCBF 38；SADGSCBF 65；SADG28272827平面直线型几何专题by 吴哲孙雪艳可得SADG 40故三角形ADG的面积是 40例例 3 3：如图，长方形ABCD中，BE:EC 2:3，DF:FC 1:2，三角形DFG的面积为2平方厘米，求长方形ABCD的面积AGDFCAGDFCBEBE【解题点拨】【解题点拨】连接AE，FE因为BE:EC 2:3DF:FC 1:2所以S因为SDEF3111()S长方形ABCDS长方形ABCD532101S长方形ABCD，AG:GF 1:1 5:1，所以S22 10AFDAGDAED 5SGDF10平方厘米，所以S12平方厘米 因为SAFD1S长方形ABCD，所以长6方形ABCD的面积是72平方厘米例例 4 4：如图，ABCD为正方形，BEC 90，BE 35，CE 21，则阴影部分面积为多少？ADAD21BFECFB35E21C35平面直线型几何专题by 吴哲孙雪艳【解题点拨】【解题点拨】题目中给出的条件是无法直接求出阴影部分面积.由于BEC 90，也就是在正方形 ABCD 的外部有一个直角三角形，联想到弦图。构造弦图。如图：欲求阴影三角形BEF的面积，需要求出BF:FC，根据风筝模型：BF:FC SDBE:SDEC1135(2135):2121 40:92240401SBEC3521 30040 9492根据等高模型，SBEF例例 5 5：如右图，已知三角形ABC的面积是90，D是AB中点，E、F是BC边上三等分点，K、M、N是CA边四等分点.回答下列问题.ANDPMKQBEFC1)三角形ENK的面积是:2)NP:PE的比值是3)图中阴影部分的面积是多少？【解题点拨】【解题点拨】（1）如图 1 所示：只看ENK和ABC，连接AE和EM，根据等高模型可得：假设SAEN SEMN SEMK SEKC1份SABESAEC4 2份.SENK290 30.61212（2）连接ND和DE，如图 2，根据风筝模型，NP:PE SDMN:SDEM，如图 3，可得SADM SDEMSABCNP:PE SDMN:SDEM1SDEM:SDEM1:2.214（3）整体减空白的思想，需要求出EQ:QK（求SMQK），连接FK，如图 4.EQ:QK SMEF:SMFK，而等高模型，SMEF SMFC 2SMFK，平面直线型几何专题by 吴哲孙雪艳所以EQ:QK SMEF:SMFK 2:1，SMQK同样SMPN111SEMK90 5；1 236111SENM90 5，所以S阴3055 20.1 236AND11M21K1BEFC图1AAANNNDPMDPMDPMKKKQQBEFCBEFCBEFC图2图3图4平面直线型几何专题by 吴哲孙雪艳第 5 讲 蝴蝶模型【知识点分析】【知识点分析】1 1、任意四边形蝴蝶模型，如图所示：DAs2B结论：结论：S1S3 S2S4证明：证明：根据等高模型可得：S1S4ODS2S3OBs1Os3s4C交叉相乘：S1S3 S2S42 2、梯形蝴蝶模型AS2aS1OS3S4DBbC结论：结论：S1S3 S2S4S2 S4S1:S3 a2:b2(统一份数比)S1:S3:S2:S4 a2:b2:ab:ab(统一份数比)做题技巧：做题技巧：在题目中遇到平行线和对角线，在题目中遇到平行线和对角线，想到蝴蝶模型和结论，想到蝴蝶模型和结论，如果图形不完如果图形不完整整,手动连辅助线手动连辅助线.平面直线型几何专题by 吴哲孙雪艳【典型例题】【典型例题】例例 1 1：如图，四边形被两条对角线分成 4 个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：三角形BGC的面积；AG:GC？A2BC1G3D【解题点拨】【解题点拨】根据蝴蝶定理，SBGC1 23，那么SBGC 6；根据蝴蝶定理，AG:GC 1 2:361:3例例 2 2：梯形ABCD的对角线AC与BD交于点O，已知梯形上底为 2，且三角形ABO的面积等于三角形BOC面积的，求三角形AOD与三角形BOC的面积之比ADO23BCAOB【解题点拨】【解题点拨】：根据梯形蝴蝶定理，S:SBOC ab:b2 2:3，可以求出a:b 2:3，BOC再根据梯形蝴蝶定理，SAOD:S a2:b2 22:32 4:9例例 3 3：E 是平行四边形 ABCD 的 CD 边上的一点，BD、AE 相交于点 F，已知三角形AFD 的面积是 6，三角形 DEF 的面积是 4，求四边形 BCEF 的面积为多少？A6D4ECFB6946?【解题点拨】【解题点拨】：如图，在平行线中的蝴蝶中，蝴蝶翅膀相等都为 6，而顶上的三角形为 664=9，“？”处的三角形面积为 9+6-6-4=5 从而所求四边形面积为5=6=11.平面直线型几何专题by 吴哲孙雪艳例例 4 4：如图面积为12平方厘米的正方形ABCD中，E,F是DC边上的三等分点，求阴影部分的面积【解题点拨】【解题点拨】：因为E,F是DC边上的三等分点，所以EF:AB 1:3，设S F1份，E O根据梯形蝴蝶定理可以知道SAOE SOFB 3份，SAOB 9份，SADE SBCF(1 3)S阴影 6，份，因此正方形的面积为4 4(13)2 24份，所以S阴影:S正方形 6:24 1:4，所以S阴影3平方厘米例例 5 5：（2008 年走美杯 4 年级决赛）正方形ABCD的边长为6，E是BC的中点（如图）。四边形OECD的面积为。AOBECDSADOSDEOSADE即SO 2，D ESABOSBEOSABE2D E BS32 13 6 6，3 2【解题点拨】【解题点拨】：连结DE，SDCE136 9，所以SOECD 6 9 15。2AOBECD平面直线型几何专题by 吴哲孙雪艳例例 6 6：如图所示，ABCD是梯形，ADE面积是1.8，ABF的面积是 9，BCF的面积是 27那么阴影AEC面积是多少？AEFDBC【解解题题点点拨拨】：根据梯形蝴蝶定理，可以得到SAFBSDFC SAFDSBFC，而SA F B SD F(C等积变换)，所以可得SSAFBSCDF9AFDS9 3，BFC27并且SAEF SADF SAED 31.8 1.2，而SAFB:SBFC AF:FC 9:27 1:3，所以阴影AEC的面积是：SAEC SAEF4 1.24 4.8平面直线型几何专题by 吴哲孙雪艳第 7 讲 沙漏模型与金字塔模型【知识点分析】【知识点分析】沙漏模型和金字塔模型又称相似模型，这两个模型都是在相似三角形内。相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形。相似三角形的性质：对应角相等；对应角相等；对应边成比例，且等于它们的相似比；相似三对应边成比例，且等于它们的相似比；相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。角形的面积比等于它们相似比的平方。1 1、沙漏模型、沙漏模型 2 2、金字塔模型、金字塔模型D DA AE ED DA AE EC CB BC CB B结论：结论：ADAEDE；ABACBCSADE：SABC AD2:AB2证明方法同梯形中的蝴蝶模型，相似模型模型其实就是梯形蝴蝶模型的变形。其中，金字塔模型是梯形蝴蝶模型去掉两个翅膀，金字塔模型是沙漏模型旋转180度后得图形。【典型例题】【典型例题】例例 1 1：如图，已知在平行四边形ABCD中，AB 16，AD 10，BE 4，那么FC的长度是多少？DFABEC【解题点拨】【解题点拨】图中有一个沙漏，也有金字塔，但我们用沙漏就能解决问题，因为平面直线型几何专题by 吴哲孙雪艳AB平行于CD，所以BF:FC BE:CD 4:16 1:4，所以FC 10481 4例例 2 2：如图：MN平行BC，SMPN:SBCP 4:9，AM 4 cm，求BM的长度。AMPBCN【解题点拨】【解题点拨】在沙漏模型中，因为SMPN:SBCP 4:9，所以MN:BC 2:3，在金字塔模型中有：AM:AB MN:BC 2:3，因为AM 4 cm，AB 4 23 6cm，所以BM 6 4 2 cm例例 3 3：如图，ABC中，AE AB，AD AC，ED与BC平行，EOD的面积是1 平方厘米那么AED的面积是平方厘米AEOD1414B14C14【解题点拨】【解题点拨】因为AE AB，AD AC，ED与BC平行，根据相似模型可知ED:BC 1:4，EO:OC 1:4，SCOD 4SEOD 4平方厘米，则SCDE 41 5平方厘米，又因为SAED:SCDE AD:DC 1:3，所以SAED 5(平方厘米)例例 4 4：如图是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米问：阴影部分的面积是多少平方厘米?1353平面直线型几何专题by 吴哲孙雪艳DCxG101010Ax10 x10 x