《高中数学知识点归纳总结》.pdf

高中数学必修+选修知识点归纳高中数学必修+选修知识点归纳引言引言1.课程内容：1.课程内容：必修课程必修课程由 5 个模块组成：必修必修 1：集合、函数概念与基本初等函数（指、1：集合、函数概念与基本初等函数（指、2重难点及考点：2重难点及考点：重点：重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数难点：难点：函数、圆锥曲线对、幂函数）对、幂函数）必修必修 2：立体几何初步、平面解析几何初步。2：立体几何初步、平面解析几何初步。必修必修 3：算法初步、统计、概率。3：算法初步、统计、概率。必修必修 4：4：基本初等函数基本初等函数（三角函数）（三角函数）、平面向量、平面向量、三角恒等变换。三角恒等变换。必修必修 5：解三角形、数列、不等式。5：解三角形、数列、不等式。以上是每一个高中学生所必须学习的。上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。选修课程选修课程有 4 个系列：系列系列 1：由1：由 2 2 个模块组成。个模块组成。选修选修 11：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、11：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。导数及其应用。选修选修 12：统计案例、推理与证明、数系的扩12：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图充与复数、框图系列 2：由 3 个模块组成。选修 21：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何。选修 22：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数选修 23：计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。系列 4：由 2 个专题组成。选修选修 44：坐标系与参数方程。44：坐标系与参数方程。选修选修 45：不等式选讲。45：不等式选讲。高考相关考点：高考相关考点：集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函数的图象与性质、三角函数的应用平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、数量积及其应用不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应用直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应用直线、平面、简单几何体：空间直线、直线与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间向量排列、组合和概率：排列、组合应用题、二项式定理及其应用概率与统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布导数：导数的概念、求导、导数的应用复数：复数的概念与运算目录必修 1 数学知识点.-1-第一章：集合与函数概念.-1-第二章：基本初等函数（）.-2-第三章：函数的应用.-3-必修 2 数学知识点.-4-第一章：空间几何体.-4-第二章：点、线、面之间的位置关系.-4-第三章：直线与方程.-5-第四章：圆与方程.-5-必修 3 数学知识点.-6-第一章：算法.-6-第二章：统计.-7-第三章：概率.-8-必修 4 数学知识点.-8-第一章：三角函数.-8-第三章、三角恒等变换.-11-第二章：平面向量.-12-必修 5 数学知识点.-13-第一章：解三角形.-13-第二章：数列.-14-第三章：不等式.-14-选修数学知识点.-21-专题一：常用逻辑用语.-21-专题二：圆锥曲线与方程.-23-专题三：推理与证明.-26-专题四：数系的扩充与复数.-27-专题五：统计案例.-27-专题六：坐标系与参数方程.-28-必修必修 1 1 数学知识点数学知识点第一章：集合与函数概念第一章：集合与函数概念1.1.11.1.1、集合、集合1、把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无序性。2、只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。3、常见集合：正整数集合：N*或N，整数集合：1.2.21.2.2、函数的表示法、函数的表示法1、函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.1.3.11.3.1、单调性与最大（小）值、单调性与最大（小）值1、注意函数单调性的证明方法：(1)(1)定义法：定义法：设x1、x2a,b,x1 x2那么f(x1)f(x2)0 f(x)在a,b上是增函数；f(x1)f(x2)0 f(x)在a,b上是减函数.步骤：取值作差变形定号判断格式：解：设x1,x2a,b且x1 x2，则：(2)(2)导数法：导数法：设函数y f(x)在某个区间内可导，若f(x)0，则f(x)为增函数；若f(x)0，则f(x)为减函数.fx1 fx2=Z，有理数集合：Q，实数集合：R.4、集合的表示方法：列举法、描述法.1.3.21.3.2、奇偶性、奇偶性1.1.21.1.2、集合间的基本关系、集合间的基本关系1、一般地，对于两个集合 A、B，如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素，则称集合A 是集合 B 的子集。记作A B.2、如果集合A B，但存在元素x B，且x A，则称集合 A 是集合 B 的真子集.记作：A B.3、把不含任何元素的集合叫做空集.记作：.并规定：空集合是任何集合的子集.4、如果集合 A 中含有 n 个元素，则集合 A 有2个子集，2 1个真子集.n1、一般地，如果对于函数fx的定义域内任意一个x，都有f x fx，那么就称函数fx为偶函数.偶函数图象关于y轴对称.2、一般地，如果对于函数fx的定义域内任意一个nx，都有f x fx，那么就称函数fx为奇函数.奇函数图象关于原点对称.知识链接：函数与导数知识链接：函数与导数1、函数y f(x)在点x0处的导数的几何意义：函数y f(x)在点x0处的导数是曲线y f(x)在相应的切线方P(x0,f(x0)处的切线的斜率f(x0)，程是y y0 f(x0)(x x0).2、几种常见函数的导数C 0；(x)nxnn11.1.31.1.3、集合间的基本运算、集合间的基本运算1、一般地，由所有属于集合 A 或集合 B 的元素组成的集合，称为集合 A 与 B 的并集.记作：A B.2、一般地，由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合，称为 A 与 B 的交集.记作：A B.3、全集、补集？CUA x|xU,且xU1.2.11.2.1、函数的概念、函数的概念1、设 A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合 A 中的任意一个数x，在集合 B 中都有惟一确定的数fx和它对应，那么就称f:A B为集合 A 到集合 B 的一个函数，记作：y fx,x A.2、一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等.-1-；(sin x)cosx；(cosx)sin x；(a)alna；(logax)xx(e)e；xx11；(ln x)xlnax3、导数的运算法则（1）(u v)u v.（2）(uv)uvuv.（3）()2、当n为奇数时，nana；当n为偶数时，a3、我们规定：anmnnuvuvuv(v0).v2 a.4、复合函数求导法则复合函数y f(g(x)的导数和函数y f(u),u g(x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.解题步骤:分层层层求导作积还原.5、函数的极值(1)极值定义：极值是在x0附近所有的点，都有f(x)f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的极大值；极值是在x0附近所有的点，都有f(x)f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的极小值.(2)判别方法：如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极小值.6、求函数的最值(1)求y f(x)在(a,b)内的极值（极大或者极小值）man*a 0,m,n Nan,m 1；1n 0；na4、运算性质：a a aarsrsa 0,r,sQ；rs arsa 0,r,sQ；rrab a ba 0,b 0,r Q.r2.1.22.1.2、指数函数及其性质、指数函数及其性质1、记住图象：y aa 0,a 1xa 10 a 1图象1-4-210-1-4-20-1(2)将y f(x)的各极值点与f(a),f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为极小值。注：注：极值是在局部对函数值进行比较（局部性质）；最值是在整体区间上对函数值进行比较(整体性质)。性质(1)定义域：R（2）值域：（0，+）（3）过定点（0，1），即 x=0 时，y=1（4）在 R 上是增函数（4）在 R 上是减函数(5)x 0,a 1;xxx 0,0 a 1(5)x 0,0 a 1;x 0,a 1xx第二章：基本初等函数（）第二章：基本初等函数（）2.1.12.1.1、指数与指数幂的运算、指数与指数幂的运算1、一般地，如果xa，那么x叫做a的n次方根。其中n 1,n N.n2、性质：2.2.12.2.1、对数与对数运算、对数与对数运算1、指数与对数互化式：a N x logaN；2、对数恒等式：alogaNx N.3、基本性质：loga1 0，logaa 1.4、运算性质：当a 0,a 1,M 0,N 0时：-2-logaMN logaM logaN；logaM logaMlogaN；NnlogaMnlogaM.logcblogcamlogabn5、换底公式：logab a 0,a 1,c 0,c 1,b 0.6、重要公式：loganb7、倒数关系：logab m1a 0,a 1,b 0,b 1.logba第三章：函数的应用第三章：函数的应用3.1.13.1.1、方程的根与函数的零点、方程的根与函数的零点2.2.22.2.2、对数函数及其性质、对数函数及其性质1、记住图象：y logaxa 0,a 1y1、方程fx 0有实根函数y fx的图象与x轴有交点函数y fx有零点.y=logax0a1x2、零点存在性定理：如果函数y fx在区间a,b上的图象是连续不断2、性质：a 10 a 12.51.5的一条曲线，并且有fa fb 0，那么函数2.51.5图-1101y fx在区间a,b内有零点，即存在ca,b，0.50.5象-0.51-10-0.51-1-1-1.5-1.5-2-2-2.5使得fc 0，这个c也就是方程fx 0的根.3.1.23.1.2、用二分法求方程的近似解、用二分法求方程的近似解1、掌握二分法.3.2.13.2.1、几类不同增长的函数模型、几类不同增长的函数模型3.2.23.2.2、函数模型的应用举例、函数模型的应用举例1、解决问题的常规方法：先画散点图，再用适当的函数拟合，最后检验.-2.5(1)定义域：（0，+）性质（2）值域：R（3）过定点（1，0），即 x=1 时，y=0（4）在（0，+）上是增函数（4）在（0，+）上是减函数(5)x 1,logax 0；0 x 1,logax 0(5)x 1,logax 0；0 x 1,logax 02.32.3、幂函数、幂函数1、几种幂函数的图象：-3-必修必修 2 2 数学知识点数学知识点第一章：空间几何体第一章：空间几何体1、空间几何体的结构常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。S球 4R2，V球43R.3第二章：点、线、面之间的位置关系第二章：点、线、面之间的位置关系1、公理 1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。2、公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。3、公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。4、公理 4：平行于同一条直线的两条直线平行.5、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。2、空间几何体的三视图和直观图把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影线交于一点；把在一束平行光线照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影线是平行的。6、线线位置关系：平行、相交、异面。7、线面位置关系：直线在平面内、直线和平面平行、直线和平面相交。3、空间几何体的表面积与体积圆柱侧面积；S侧面 2r l8、面面位置关系：平行、相交。9、线面平行：线面平行：判定：判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行（简称线线平行，则线面平行）该直线与此平面平行（简称线线平行，则线面平行）。性质：性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行（简称线面平行，则平面与此平面的交线与该直线平行（简称线面平行，则线线平行）线线平行）。10、面面平行：面面平行：判定：判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，圆锥侧面积：S侧面r l则这两个平面平行（简称线面平行，则面面平行）则这两个平面平行（简称线面平行，则面面平行）。性质：性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行（简称面面平行，则线线平行）它们的交线平行（简称面面平行，则线线平行）。11、线面垂直：线面垂直：定义：定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直。圆台侧面积：S侧面r l Rl判定：判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直（简称线线垂直，则线面垂直）则该直线与此平面垂直（简称线线垂直，则线面垂直）。性质：性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。垂直于同一个平面的两条直线平行。12、面面垂直：面面垂直：定义：定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。判定：判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个体积公式：平面垂直（简称线面垂直，则面面垂直）平面垂直（简称线面垂直，则面面垂直）。V柱体 S h；V锥体V台体1S上S上S下 S下h31S h；3性质：性质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。直线垂直于另一个平面。（简称面面垂直，（简称面面垂直，则线面垂直）则线面垂直）。球的表面积和体积：-4-第三章：直线与方程第三章：直线与方程1、倾斜角与斜率：ktanyx2y12x12、直线方程：点斜式：y y0 kx x0斜截式：y kx b两点式：yy1y2y1xx1x2x1截距式：xyab1一般式：Ax By C 03、对于直线：l1:y k1x b1,l2:y k2x b2有：lk1k1/l22b；1b2l1和l2相交 k1 k2；lk1和l2重合1k2；b1b2l1 l2 k1k2 1.4、对于直线：l1:A1xB1yC10,l有：2:A2xB2yC20lA1/l21B2A2B1B1C；2B2C1l1和l2相交 A1B2 A2B1；lB1和l2重合A12A2B1B；1C2B2C1l1 l2 A1A2 B1B2 0.5、两点间距离公式：P1P2x2 x12y2 y126、点到直线距离公式：dAx0By0CA2B27、两平行线间的距离公式：l1：Ax By C10与l2：Ax By C20平行，则dC1C2A2B2第四章：圆与方程第四章：圆与方程1、圆的方程：标准方程：标准方程：x a2y b2 r2其中圆心为圆心为(a,b)，半径为，半径为r.一般方程：一般方程：x2 y2 Dx Ey F 0.其中圆心为圆心为(D2,E)，半径为半径为r 12、直线与圆的位置关系22D2 E2 4F.直线Ax By C 0与圆(x a)2(y b)2 r2的位置关系有三种:d r 相离 0;d r 相切 0;d r 相交 0.弦长公式：l 2 r2 d21 k2(x1 x2)24x1x23、两圆位置关系：d O1O2外离：d R r；外切：d R r；相交：R r d R r；内切：d R r；内含：d R r.4、空间中两点间距离公式：P1P2x2 x12y2 y12z2 z12-5-必修必修 3 3 数学知识点数学知识点第一章：算法第一章：算法1、算法三种语言：自然语言、流程图、程序语言；2、流程图中的图框：起止框、输入输出框、处理框、判断框、流程线等（图 3）循环结构示意图：当型当型（WHILE 型）循环结构示意图：循环体满足条件？是规范表示方法；3、算法的三种基本结构：顺序结构、条件结构、循环结构当型循环结构直到型循环结构顺序结构示意图：语句 n语句 n+1（图 1）条件结构示意图：IFIF-THENTHEN-ELSEELSE 格式：格式：满足条件？否是语句 1语句 2（图 2）IFIF-THENTHEN 格式：格式：是满足条件？否语句否（图 4）直到型直到型（UNTIL 型）循环结构示意图：循环体否满足条件？是（图 5）4、基本算法语句：输入语句的一般格式：INPUT“提示内容”；变量输出语句的一般格式：PRINT“提示内容”；表达式赋值语句的一般格式：变量表达式（“=”有时也用“”）.条件语句的一般格式有两种：IFTHENELSE 语句的一般格式为：IFIF条件THENTHEN语句 1ELSEELSE语句 2ENDEND IFIF（图2）IFTHEN 语句的一般格式为：IFIF条件 THENTHEN语句ENDEND IFIF（图3）-6-循环语句的一般格式是两种：当型循环（WHILE）语句的一般格式：分层抽样（总体中差异明显）注意：在 N 个个体的总体中抽取出 n 个个体组成样本，每个个体被抽到的机会（概率）均为n。NWHILE循环体WEND条件（图4）直到型循环（UNTIL）语句的一般格式：DO循环体LOOPUNTIL条件（图5）算法案例：辗转相除法结果是以相除余数为结果是以相除余数为 0 0 而得到而得到利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：）：用较大的数 m 除以较小的数 n 得到一个商S0和一个余数R0；）：若R00，则 n 为 m，n 的最大公约数；若R00，则用除数 n 除以余数R0得到一个商S1和一个余数R1；）：若R10，则R1为 m，n 的最大公约数；若R10，则用除数R0除以余数R1得到一个商S2和一个余数R2；依次计算直至Rn0，此时所得到的Rn1即为所求的最大公约数。更相减损术结果是以减数与差相等而得到结果是以减数与差相等而得到利用更相减损术求最大公约数的步骤如下：）：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用 2 约简；若不是，执行第二步。）：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。进位制十进制数化为 k 进制数除除 k k 取余法取余法k 进制数化为十进制数2、总体分布的估计：一表二图：频率分布表数据详实频率分布直方图分布直观频率分布折线图便于观察总体分布趋势注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为 1。茎叶图：茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据的分布，以及中位数、众位数等。个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大书写，相同的数据重复写。3、总体特征数的估计：平均数：xx1x2x3xn；n取值为x1,x2,xn的频率分别为p1,p2,pn，则其平均数为x1p1 x2p2 xnpn；注意：频率分布表计算平均数要取组中值。方差与标准差：一组样本数据x1,x2,xn1方差：sn2(xi1n2ix)；2i标准差：s1n(xi1nx)注：方差与标准差越小，说明样本数据越稳定。平均数反映数据总体水平；方差与标准差反映数据的稳定水平。线性回归方程变量之间的两类关系：函数关系与相关关系；制作散点图，判断线性相关关系线性回归方程：y bxa（最小二乘法）nxiyinx yi1bn22xnxii1aybx第二章：统计第二章：统计1、抽样方法：简单随机抽样（总体个数较少）系统抽样（总体个数较多）-7-注意：线性回归直线经过定点(x,y)。第三章：概率第三章：概率1、随机事件及其概率：事件：试验的每一种可能的结果，用大写英文字母表示；必然事件、不可能事件、随机事件的特点；随机事件 A 的概率：P(A)m,0 P(A)1.n必修必修 4 4 数学知识点数学知识点第一章：三角函数第一章：三角函数1.1.11.1.1、任意角、任意角1、正角、负角、零角、象限角的概念.2、与角终边相同的角的集合：2、古典概型：基本事件：一次试验中可能出现的每一个基本结果；古典概型的特点：所有的基本事件只有有限个；每个基本事件都是等可能发生。古典概型概率计算公式：一次试验的等可能基本事件共有 n 个，事件A 包含了其中的 m 个基本事件，则m事件 A 发生的概率P(A).n 2k,k Z.1.1.21.1.2、弧度制、弧度制1、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角.2、l.r3、弧长公式：lnRR.1803、几何概型：几何概型的特点：所有的基本事件是无限个；每个基本事件都是等可能发生。几何概型概率计算公式：P(A)d的测度；D的测度nR21lR.4、扇形面积公式：S36021.2.11.2.1、任意角的三角函数、任意角的三角函数1、设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点其中测度根据题目确定，一般为线段、角度、面积、体积等。4、互斥事件：不可能同时发生的两个事件称为互斥事件；如果事件A1,A2,An任意两个都是互斥事件，则称事件A1,A2,An彼此互斥。如果事件 A，B 互斥，那么事件 A+B 发生的概率，等于事件 A，B 发生的概率的和，即：P(A B)P(A)P(B)如果事件A1,A2,An彼此互斥，则有：P(A1 A2 An)P(A1)P(A2)P(An)Px,y，那么：sin y,cos x,tan2、设点Ax,yyx那么：（设为角终边上任意一点，r x2 y2）sin3、yxyxcos，tan，cotrrxysin，cos，tan在四个象限的符号和三角函数线的画法.正弦线：MP;正弦线：MP;余弦线：OM;余弦线：OM;正切线：AT正切线：ATy yP PT T对立事件：两个互斥事件中必有一个要发生，则称这两个事件为对立事件。事件A的对立事件记作AP(A)P(A)1,P(A)1 P(A)O OMMA A x x对立事件一定是互斥事件，互斥事件未必是对立事件。4、特殊角 0，30，45，60，90，180，270 等的三角函数值.064322334322sincos-8-tan1.2.21.2.2、同角三角函数的基本关系式、同角三角函数的基本关系式1、平方关系：sincos1.22sin cos,2cos sin.26、诱导公式六：sin.cos3、倒数关系：tancot12、商数关系：tan1.3、三角函数的诱导公式1.3、三角函数的诱导公式（概括为“奇变偶不变，符号看象限”奇变偶不变，符号看象限”k Z）1、诱导公式一：sin cos,2cos sin.21.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质1、记住正弦、余弦函数图象：sin2ksin,cos2kcos,（其中：k Z）tan 2k tan.2、诱导公式二：y=sinx-4-7-3 2-5 2-2 -3 -2-2-2-3 2-y21y-11sin sin,cos cos,tan tan.3、诱导公式三：o3223222 5225 32724xy=cosx-5-3 2-4-7 2-1o7324xsin sin,coscos,tan tan.4、诱导公式四：2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.3、会用五点法作图.sinsin,cos cos,tan tan.5、诱导公式五：1.4.3、正切函数的图象与性质1.4.3、正切函数的图象与性质1、记住正切函数的图象：yy sin x在x0,2上的五个关键点为：3（0，0）（，1）（，0）（，-1）（，2，0）.22y=tanx-32-2o232x2、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.周期函数定义：对于函数fx，如果存在一个非零常数 T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有-9-fx T fx，那么函数fx就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期.图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质y sin xy cosxy tan x图象图象定义域定义域值域值域x2kR-1,12,kZ时，ymax1,kZ时，ymin 1R-1,1x|x 2 k,k ZR最值最值x2kx2k,kZ时，ymax1x2k,kZ时，ymin 12无周期性周期性奇偶性奇偶性2T 2奇在2k,2k上单调递增2T 2偶在2k,2k上单调递增在2k,2k上单调递减T 奇单调性单调性k Z在2k,2k3上单调递减22在(k,k)上单调递增22对称性对称性对称轴方程：xk对称中心(k,0)2对称轴方程：x k对称中心(k无对称轴对称中心(k Z,0)2k2,0)1.5、函数1.5、函数y Asinx 的图象的图象1、对于函数：y sin x平移|个单位y sinxy Asinxy Asinx（左加右减）横坐标不变纵坐标变为原来的 A 倍纵坐标不变横坐标变为原来的|平移|B|个单位（上加下减）-10-y Asinx BA 0,0有：振幅 A，周期T22、能够讲出函数y sin x的图象与，初相，相位x，频率f1T2.y Asinx B的图象之间的平移伸缩变换关系.1 1先平移后伸缩：先平移后伸缩：1|倍y Asinx B2 2先伸缩后平移：先伸缩后平移：横坐标不变纵坐标变为原来的 A 倍纵坐标不变横坐标变为原来的|平移y sin xy Asin xy Asinx12、sin sincoscossin3、cos coscossinsin4、cos coscossinsin5、tan6、tan|倍tantan.1tantantantan.1tantan个单位y Asinxy Asinx B（左加右减）平移|B|个单位（上加下减）3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式1、sin2 2sincos，变形变形：sincos1sin2.22、cos2 cossin223、三角函数的周期，对称轴和对称中心函数y sin(x)，xR 及函数y cos(x)，xR(A,为常数，且 A0)的周期T2；函|2cos211 2sin2.变形如下：变形如下：数y tan(x)，xk,kZ(A,为2常数，且 A0)的周期T.|对 于y Asin(x)和y Acos(x)来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.求函数y Asin(x)图像的对称轴与对称中心，只需令只需令xk1cos22cos2升幂公式：升幂公式：21cos22sincos21(1cos2)2降幂公式：降幂公式：sin21(1cos2)23、tan24、tan解出解出x即可.余弦函数可与正弦函数类比可得.即可.余弦函数可与正弦函数类比可得.4、由图像确定三角函数的解析式利用图像特征：A(kZ)与与x k(k Z)2要根据周期来求,要用图像的关键点来求.1.6、三角函数模型的简单应用1.6、三角函数模型的简单应用1、要求熟悉课本例题.ymaxyminyymin，Bmax.222tan.1tan2sin21cos21cos2sin23.2、简单的三角恒等变换3.2、简单的三角恒等变换1、注意正切化弦、平方降次.2 2、辅助角公式、辅助角公式第三章、三角恒等变换第三章、三角恒等变换3.1.1、两角差的余弦公式3.1.1、两角差的余弦公式记住 15的三角函数值：y asinx bcosx a2b2sin(x)（其其 中中 辅辅 助助 角角所所 在在 象象 限限 由由 点点(a,b)的的 象象 限限 决决定,定,tan12sin624cos624tan23b).).a例如：sina+cosa例如：sina+cosa=2(sina*2/2+cosa*2/2)=2(sina*2/2+cosa*2/2)=2sin(a+/4）=2sin(a+/4）3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式1、sin sincos cossin-11-a a,当 0时,a的方向与a的方向相同；当第二章：平面向量第二章：平面向量2.1.12.1.1、向量的物理背景与概念、向量的物理背景与概念1、了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度.2、既有大小又有方向的量叫做向量.2.1.22.1.2、向量的几何表示、向量的几何表示1、带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.2、向量AB的大小，也就是向量AB的长度（或称 0时,a的方向与a的方向相反.2、平面向量共线定理：向量a a 0与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使b a.2.3.1、平面向量基本定理2.3.1、平面向量基本定理1、平面向量基本定理：如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量a，有且只有一对实数1,2，使a 1e12e2.2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示1、a xi y j x,y.2.3.3、平面向量的坐标运算2.3.3、平面向量的坐标运算1、设a x1,y1,b x2,y2，则：a b x1 x2,y1 y2，a b x1 x2,y1 y2，a x1,y1，2、a ba b.2.2.2、向量减法运算及其几何意义2.2.2、向量减法运算及其几何意义1、与a长度相等方向相反的向量叫做a的相反向量.2、三角形减法法则和平行四边形减法法则.a/b x1y2 x2y1.2、设Ax1,y1,Bx2,y2，则：模），记作AB；长度为零的向量叫做零向量；长度等于 1 个单位的向量叫做单位向量.3、方向相同或相反的非零向量叫做 平行向量（或共线向量）.规定：零向量与任意向量平行.2.1.3、相等向量与共线向量2.1.3、相等向量与共线向量1、长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.2.2.1、向量加法运算及其几何意义2.2.1、向量加法运算及其几何意义1、三角形加法法则和平行四边形加法法则.AB x2 x1,y2 y1.2.3.4、平面向量共线的坐标表示2.3.4、平面向量共线的坐标表示1、设Ax1,y1,Bx2,y2,Cx3,y3，则线段 AB 中点坐标为x1x22y2，,y122.2.3、向量数乘运算及其几何意义2.2.3、向量数乘运算及其几何意义1、规定：实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作：a，它的长度和方向规定如下：-12-ABC 的重心坐标为x1x2x33,y1y32y3.2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义1、ab a b cos.2、a在b方向上的投影为：a cos.3、a a.4、a 22必修必修 5 5 数学知识点数学知识点第一章：解三角形第一章：解三角形1、正弦定理：a.abc2R.sin Asin BsinC（其中R为ABC外接圆的半径）a 2Rsin A,b 2RsinB,c 2RsinC;abc,sin B,sin C;2R2R2R a:b:c sin A:sin B:sinC.sin A用途：已知三角形两角和任一边，求其它元素；用途：已知三角形两角和任一边，求其它元素；已知三角形两边和其中一边的对角，求其它已知三角形两边和其中一边的对角，求其它元素。元素。2、余弦定理：25、a b ab 0.2.4.2、2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、平面向量数量积的坐标表示、模模、夹夹角角1、设a x1,y1,b x2,y2，则：ab x1x2 y1y2a x12 y12 a b ab 0 x1x2 y1y2 0a/b a b x1y2x2y1 02、设Ax1,y1,Bx2,y2，则：AB x2 x12y2 y12.x1x2y1y2x12y12x22y22a2b2c22bccosA,222bac2accosB,c2a2b22abcosC.b2c2a2,cos A2bca2c2b2,cosB2aca2b2c2.cosC2ab用途：已知三角形两边及其夹角，求其它元素；用途：已知三角形两边及其夹角，求其它元素；已知三角形三边，求其它元素。已知三角形三边，求其它元素。做题中两个定理经常结合使用.3、三角形面积公式：3 3、两向量的夹角公式两向量的夹角公式 abcos a b4、点的平移公式4、点的平移公式平移前的点为P(x,y)（原坐标），平移后的对应点为P(x,y)（新坐标），平移向量为PP (h,k)，则x xhy yk.函数y f(x)的图像按向量a (h,k)平移后的SABC4、三角形内角和定理：在ABC 中，有A BC C (A B)111absinCbcsin Aacsin B222图像的解析式为y k f(xh).2.5.1、平面几何中的向量方法2.5.1、平面几何中的向量方法2.5.2、向量在物理中的应用举例2.5.2、向量在物理中的应用举例CAB 2C 22(A B).2225、一个常用结论：在ABC中，a b sin A sinB A B;.特别注意，特别注意，2在三角函数中，在三角函数中，sin A sin B A B不成立。不成立。若sin2Asin2B,则AB或AB-13-第二章：数列第二章：数列1、数列中an与Sn之间的关系：若等差数列an的前n项和Sn，则Sk、S2k Sk、S3kS2k是等差数列。3、等比数列定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。等比中项：若三数a、G、b成等比数列 G ab,（ab同号）。反之不一定成立。反之不一定成立。通项公式：ana1qn12,(n1)S1注意通项能否合并。anSS,(n2).n1n2、等差数列：定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即anan1=d，（n2，nN），那么这个数列就叫做等差数列。等差中项：若三数a、A、b成等差数列amqnma1anq1qAab2前n项和公式：Sn常用性质a11qn1q通项公式：an a1(n1)d am(nm)d或an pnq(p、q是常数）.前n项和公式：若m n p qm,n,p,q N，则aman apaq；ak,akm,ak2m,为等比数列，公比为q(下标成等差数列,则对应的项成等比数列)kSnna1nn12dna1an2数列an（为不等于零的常数）仍是公比为q的等比数列；正项等比数列an；则lgan是公差为常用性质：若m n p qm,n,p,q N，则lgq的等差等差数列；若an是等比数列，则can，anam an ap aq；下标为等差数列的项ak,akm,ak2m,，仍组成等差数列；数列anb（,b为常数）仍为等差数列；若an、bn是等差数列，则kan、kan pbn(k、p是非零常数)、apnq(p