新人教版小学数学1-6年级知识点【全】.pdf

小学数学知识整理小学数学知识整理第一部分：数与代数第一部分：数与代数一、数的认识一、数的认识（一）整数（一）整数【1】我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1，2，3，叫做自然数自然数。一个物体也没有，用 0 0 表示，0 也是自然数。自然数的个数自然数的个数是无限的，最小的自然数最小的自然数是 0，没有最大的自然数最大的自然数。自然数的单位自然数的单位是 1。自然数和自然数和 0 0 都是整数。连续自然数连续自然数相差 1。【2】像，-3，-2，-1，0，1，2，3这样的数统称整数整数。整数的个数整数的个数是无限的。【3】一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿都是计数单位计数单位。每相邻两个计数单位之间的进率都是 10，这样的计数法叫做十进制计数法十进制计数法。整数和小数都是按照十进制计数法写出的数。计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位数位。一个整数含有数位的个数叫做位数位数。最小的一位数最小的一位数是 1。【4】整数的读法整数的读法：从高位到低位，一级一级地读。读亿级、万级时，先按照个级的读法去读，再在后面加一个“亿”或“万”字。每一级末尾的0 都不读出来，其它数位连续有几个0 都只读一个零。（例如）读作：一百零二亿五千零二十万零五十。【5】整数的写法整数的写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写 0。（例如）七十亿零三百万四千写作：00。【6】准确数准确数：在实际生活中，为了计数的简便，可以把一个较大的数改写成以万或亿为单位的数。改写后的数是原数的准确数。（例如）把 00 改写成以“万”做单位的数是 125430 万；改写成以“亿”做单位的数亿。【7】近似数近似数：根据实际需要，我们还可以把一个较大的数，省略某一位后面的尾数，用一个近似数来表示。（例如）15 省略“亿”后面的尾数约是 13 亿。【8】四舍五入法四舍五入法：要省略的尾数的最高位上的数是4 或者比 4 小，就把尾数去掉；如果尾数的最高位上的数是 5 或者比 5 大，就把尾数舍去，并向它的前一位进1。（例如）省略 345900“万”后面的尾数约是 35 万；省略 20“亿”后面的尾数约是 47 亿。【9】整数 a 除以整数 b（b0），除得的商正好是整数而没有余数，我们就说 a 能被 b 整除整除，或 b 能整除整除 a。（例如）63=2（或 23=6），那么我们就说6 能被 3 整除（或6 能被 2 整除），或 3 能整除 6（或 2 能整除 6）。【10】如果数 a 能被数 b（b 0）整除，a 就叫做 b 的倍数倍数，b 就叫做 a 的因数因数（或 a 的约数）。倍数和约数是相互依存的。（例如）63=2（或 23=6），那么 6 就是 3 和 2 的倍数，2 和 3就是 6 的因数（或 a 的约数）。【11】一个数的因数的个数因数的个数是有限的，其中最小的因数最小的因数是 1，最大的因数最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数倍数的个数是无限的，其中最小的倍数最小的倍数是它本身。一个数最小的倍数等于它最大的约数。（例如）9 的最小的因数是 1，最大的因数是 9，最小的倍数是 9。【12】个位上是 0、2、4、6、8 的数，都能被能被 2 2 整除整除。（例如）2758 的个位是 8，所以 2758能被 2 整除。个位上是 0 或者 5 的数，都能被能被 5 5 整除整除。（例如）975 的个位是 5，所以 975 能被 5 整除。一个数的各位上的数的和能被 3 整除，这个数就能被被 3 3 整除整除。（例如）2748 的各位和 2748=21，因为 21 能被 3 整除，所以 2748 就能被 3 整除。【13】一个数各位数上的和能被 9 整除，这个数就能被能被 9 9 整除整除。（例如）2745 的各位和 2745=18，因为 18 能被 9 整除，所以 2745 就能被 9 整除。能被 3 整除的数不一定能被 9 整除，但是能被9 整除的数一定能被 3 整除。一个数的末两位数能被4（或 25）整除，这个数就能被能被 4 4（或（或 2525）整除）整除。（例如）10316 的末两位是 16，因为 16 能被 4 整除，所以 10316 就能被 4 整除；1350 的末两位是 50，因为 50 能被 25 整除，所以 1350 就能被 25 整除。一个数的末三位数能被 8（或 125）整除，这个数就能被能被 8 8（或（或 125125）整除）整除。（例如）10816 的末三位是816，因为 816 能被 8 整除，所以 10816 就能被 8 整除；7250 的末三位是 250，因为 250 能被125 整除，所以 7250 就能被 125 整除。【14】能被 2 整除的数叫做偶数偶数。0 0 也是偶数。最小的偶数最小的偶数是 0。连续偶数连续偶数相差 2。不能被 2整除的数叫做奇数奇数。最小的奇数最小的奇数是 1。连续奇数连续奇数相差 2。【15】一个数，如果只有 1 和它本身两个因数，叫做质数质数（或素数）。（例如）因为 37 只有 1和 37 这两个因数，所以 37 是质数。最小的质数最小的质数是 2。100100 以内的质数以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。既是质数又是偶数的数只有 2 2。一个数，如果除了 1 和它本身，还有别的因数，叫做合数合数。（例如）因为 91 除了有因数 1 和 91 外，还有因数7、13，所以 91 是合数。最小的合数最小的合数是 4。1 1 既不是质数也不是合数。【16】每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数质因数。把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数分解质因数。（例如）把48分解质因数：48=22223。把一个合数分解质因数，通常用 短除法短除法。先用能整除这个合数的质数去除，一直除到商是质数为止，再把除数和商写成连乘的形式。【17】几个数公有的因数，叫做这几个数的 公因数公因数。其中最大的一个，叫做这几个数的 最大公最大公因数。因数。几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍小公倍数数。几个数的公因数的个数公因数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数公倍数的个数是无限的。【18】公因数只有1 的两个数是互质数互质数。一定是互质数一定是互质数的情况有：1 和任何自然数；相邻的两个自然数；两个不同的质数。如果几个数中任意两个都互质，就说这几个数两两互质两两互质。【19】自然数按能否被按能否被 2 2 整除整除的特征可分为奇数和偶数；自然数按约数的个数按约数的个数分为质数、合数和 1。【20】如果两个数是互质数互质数，它们的最大公因数最大公因数就是 1，最小公倍数最小公倍数是它们的乘积；（例如）3和 5 因为是互质数，所以 3 和 5 的最大公因数是 1，最小公倍数是 35=15。如果较大数是较小数的倍数倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数最小公倍数，较小数就是这两个数的最大公因数最大公因数。（例如）24 和 6 因为 24 是 6 的倍数，所以 24 和 6 的最大公因数是 6，最小公倍数是 24。【21】求几个数的最大公因数的方法最大公因数的方法是：先用这几个数的公因数连续去除，一直除到所得的商只有公因数 1 为止，然后把所有的除数连乘求积，这个积就是这几个数的的最大公因数。【22】求几个数的最小公倍数的方法最小公倍数的方法是：先用这几个数（或其中的部分数）的公因数去除，一直除到互质（或两两互质）为止，然后把所有的除数和商连乘求积，这个积就是这几个数的最小公倍数。（二）小数（二）小数【1】把整数“1”平均分成 10 份、100 份、1000 份 得到的十分之几、百分之几、千分之几 可以用小数小数表示。一位小数表示一位小数表示十分之几，两位小数表示两位小数表示百分之几，三位小数表示三位小数表示千分之几【2】一个小数由整数部分、小数部分和小数点部分整数部分、小数部分和小数点部分组成。数中的圆点叫做小数点小数点，小数点左边的数是整数部分整数部分，从右向左依次分别是个位、十位、百位、千位；小数点右边的数是 小小数部分数部分，从左向右依次分别是十分位、百分位、千分位【3】小数的读法小数的读法：读小数的时候，整数部分按照整数的读法读，小数点读作“点”，小数部分从左向右顺次读出每一位数位上的数字。【4】小数的写法小数的写法：写小数的时候，整数部分按照整数的写法来写，小数点写在个位右下角，小数部分顺次写出每一个数位上的数字。【5】在小数里，每相邻两个计数单位之间的进率计数单位之间的进率都是 10。小数部分的最高位小数部分的最高位是十分位；整数整数部分的最低位部分的最低位是个位。【6】数位顺序表数位顺序表：亿级整数部分万级个级小数部分百千万分分分位位位百分之一千分之一万分之一千百十千百十十数亿万千百十个小亿亿亿万万万分位位位位位位位数位位位位位位位点计十一数千百十千百十分（亿万千百十个单亿亿亿万万万之）位一【7】小数的分类（小数的分类（有限小数和无限小数）（1）小数的小数部分的位数是有限的，就叫做有限小数有限小数（纯小数和带小数）。、整数部分是零的小数，叫做纯小数纯小数。、整数部分不是零的小数，叫做带小数。带小数。（2）小数部分的数位是无限的小数，叫做无限小数无限小数（无限循环小数和无限不循环小数）。、一个小数的小数部分，有一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这个数叫做（无限）循环小数循环小数（纯循环小数和混循环小数）。：循环节从小数部分第一位开始的，叫做纯循环小数纯循环小数。：循环节不是从小数部分第一位开始的，叫做混循环小数混循环小数。、一个数的小数部分，数字排列无规律且位数无限，这样的小数叫做无限不循环小数无限不循环小数。【8】一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节循环节。写循写循环小数环小数的时候，为了简便，小数的循环部分只需写出一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上各点一个圆点。如果循环节只有一个数字，就只在它的上面点一个点。【9】小数的性质小数的性质：小数的末尾添上 0 或者去掉 0，小数的大小不变。10、小数点的移动引起小数的大小变化小数点的移动引起小数的大小变化：小数点向右移动一位、二位、三位原来的数分别扩大 10 倍、100 倍、1000 倍；小数点向左移动一位、二位、三位原来的数分别缩小 10倍、100 倍、1000 倍（三）分数（三）分数【1】把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数分数，表示其中的一份的数，叫做分数单位分数单位。【2】在分数里，中间的横线叫做分数线分数线；分数线下面的数，叫做分母分母，表示表示把单位“1”平均分成多少份；分数线下面的数叫做分子分子，表示表示有这样的多少份。【3】分数的读法分数的读法：读分数时，先读分母，再读“分之”，然后读分子，分子和分母按照整数的读法来读。【4】分数的写法分数的写法：先写分数线，再写分母，最后写分子。a【5】两个整数相除，它们的商可以用分数表示分数表示。即：ab(b0)b【6】分数的分类分数的分类（真分数和假分数）（1）分子比分母小的分数叫做真分数真分数。真分数小于小于 1 1。（2）分子比分母大或者分子和分母相等的分数，叫做假分数假分数。假分数大于或等于大于或等于 1 1。、分子是分母倍数的假分数，可以化成整数化成整数。、分子不是分母倍数的假分数，可以化成带分数化成带分数（假分数可以写成整数与真分数合成的数，通常叫做带分数带分数）。【7】把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数，叫做约分约分。约分的方法约分的方法：用分子和分母的公约数（1 除外）去除分子、分母；通常要除到得出最简分数为止。【8】把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分通分。通分的方法通分的方法：先求出原来的几个分数分母的最小公倍数，然后把各分数化成用这个最小公倍数作分母的分数。【9】分子和分母是互质数的分数，叫做最简分数最简分数。【10】表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数百分数（也叫做百分率或百分比）。百分数通常用%来表示。【11】百分数的读法百分数的读法：读百分数时，先读百分之，再读百分号前面的数，读数时按照整数的读法来读。【12】百分数的写法百分数的写法：百分数通常不写成分数形式，而在原来的分子后面加上百分号“%”来表示。【13】分数的基本性质分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（零除外），分数大小不变。【14】商店降价出售商品，叫做打折扣折扣出售，统称“打折”。几折几折表示十分之几或者百分之几十。打几折打几折表示按原价的百分之几十出售。如：八五折八五折就是原价的 85%。【15】农业收入，经常用“成数”“成数”来表示，几成就表示十分之几或者百分之几十。（四）正数和负数（四）正数和负数3【1】像-16，-，,这样的数叫做负数负数。负数有负数有负整数、负小数、负分数83【2】像 16，这样的数叫做正数正数。正数前面可以加上“”号，也可以省去“”号。8正数有正数有正整数、正小数、正分数【3】既不是正数，也不是负数。（五）数的互化（五）数的互化【1】小数化成分数小数化成分数：原来有几位小数，就在 1 的后面写几个零作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，能约分的要约分。【2】分数化成小数分数化成小数：用分母去除分子。能除尽的就化成有限小数，除不尽的，一般按“四舍五入”法，保留三位小数。一个最简分数，如果分母中除了 2 和 5 以外，不含有其他的质因数，这个分数就能化成有限小数能化成有限小数；如果分母中含有 2 和 5 以外的质因数，这个分数就不能化成有不能化成有限小数限小数。【3】小数化成百分数小数化成百分数：只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。【4】百分数化成小数百分数化成小数：把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。【5】分数化成百分数分数化成百分数：通常先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数)，再把小数化成百分数。【6】百分数化成分数百分数化成分数：把百分数写成分数形式。能约分的要约成最简分数。（六）数的大小比较（六）数的大小比较【1】比较整数大小比较整数大小：比较整数的大小，位数多的那个数就大，如果位数相同，就看最高位，最高位上的数大，那个数就大；最高位上的数相同，就看下一位，哪一位上的数大那个数就大。【2】比较小数的大小比较小数的大小：先看它们的整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数也相同的，百分位上的数大的那个数就大【3】比较分数的大小比较分数的大小：分母相同的分数，分子大的分数比较大；分子相同的数，分母小的分数大。分数的分母和分子都不相同的，先通分，再按同分母（或同分子）分数比较大小的方法比较大小。【5】整数、小数、分数、百分数的混合比较整数、小数、分数、百分数的混合比较：一般先统一化成小数，再比较大小。5、负数都比小比小，而正数都比大比大。负数都比正数小正数小。二、数的运算二、数的运算（一）四则运算的意义（一）四则运算的意义【1】加法加法（一级运算）：把两个数合并成一个数的运算。关系式关系式：加数加数和一个加数和另一个加数【2】减法减法（一级运算）：己知两个数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算。关系式关系式:被减数减数差减数被减数差被减数差减数【3】乘法乘法（二级运算）：求几个相同加数的和的简便运算。关系式关系式:因数因数积一个因数积另一个因数【4】除法除法（二级运算）：已知两个数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。关系式关系式:被除数除数商除数=被除数商被除数=商除数【5】加法和减法互为逆运算逆运算；乘法和除法互为逆运算逆运算。（二）运算定律（二）运算定律【1】加法交换律加法交换律：两数相加交换加数的位置，和不变。字母表示：a ab=bb=ba a【2】加法结合律加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，再同第三个数相加，和不变。字母表示：(a(ab)b)c=ac=a(b(bc)c)【3】乘法交换律乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积不变。字母表示：a ab=bb=ba a【4】乘法结合律乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，再和第三个数相乘，它们的积不变。字母表示：(a(ab)b)c=ac=a(b(bc)c)【5】乘法分配律乘法分配律：两个数的和同一个数相乘，可以把两个加数分别同这个数相乘，再把两个积相加，结果不变。字母表示：(a(ab)b)c=ac=ac cb bc c【6】减法的性质减法的性质：从一个数里连续减去几个数，等于从这个数里减去这几个减数的和。字母表示：a ab bc=ac=a（b bc c）【7】除法的性质除法的性质：（1）一个数连续除以几个数，等于这个数除以这几个除数的积。用字母表示为：a ab bc=ac=a（b bc c）（2）被除数和除数同时乘以（或除以）相同的数（0 除外），商不变商不变。用字母表示为：a ab=b=（a ac c）（）（b bc c）或）或 a ab=b=（a ac c）（）（b bc c）【8】加法的性质加法的性质：一个加数加上（或减去）一个数，另一个加数减去（或加上）相同的数，和不变。字母表示：ab（ac）（bc）【9】乘法的性质乘法的性质：一个因数乘以（或除以）不为 0 的数，另一个因数除以（或乘以）相同的数，积不变。字母表示：ab（ac）（bc）（c0）【10】有趣的括号有趣的括号：括号前面是减号（或除号），去掉括号，括号里面的数所带符号变为逆运算符号；括号前面是加号（或乘号），去掉括号，括号里面的数所带符号不变。字母表示为：a(bc)=abc 或 a(bc)=abca(bc)=abc 或 a(bc)=abc（三）计算法则（三）计算法则【1】整数加、减法整数加、减法：把相同数位对齐，再把相同计数单位上的数相加或相减，哪一位满十就向前一位进一。【2】小数加、减法小数加、减法：把各数的小数点对齐（也就是把相同数位上的数对齐），再按照整数加、减法的法则进行计算，最后在得数里对齐横线上的小数点点上小数点。（得数的小数部分末尾有 0，一般要把 0 去掉。）【3】整数乘法整数乘法：从右起，依次用第二个因数每位上的数去乘第一个因数，乘到哪一位，得数的末尾就和第二个因数的哪一位对个因数的哪一位对齐；然后把几次乘得的数加起来。（整数末尾有 0 的乘法：可以先把0 前面的数相乘，然后看各因数的末尾一共有几个0，就在乘得的数的末尾添写几个 0。）【4】小数乘法小数乘法：按整数乘法的法则算出积；再看因数中一共有几位小数，就从得数的右边起数出几位，点上小数点。（得数的小数部分末尾有 0，一般要把 0 去掉）。【5】整数除法整数除法：从被除数的高位起，先看除数有几位，再用除数试除被除数的前几位，如果它比除数小，再试除多一位数；除到被除数的哪一位，就在那一位上面写上商；每次除后余下的数必须比除数小。【6】小数除法小数除法：（1）除数是整数除数是整数的小数除法法则：按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面补零，再继续除。（2）除数是小数除数是小数的小数除法法则：先看除数中有几位小数，就把被除数的小数点向右移动几位，数位不够的用零补足；然后按照除数是整数的小数除法来除。【7】分数加、减法分数加、减法：同分母的分数相加、减，只把分子相加（或相减），分母不变。异分母的分数相加、减，先通分，然后按同分母分数加、减方法计算。计算结果能约分的要约分。异分母分数不能直接相加减，是因为它们的分数单位不同。【8】分数乘法分数乘法：（1）分数乘整数分数乘整数（表示求几个几分之几是多少几个几分之几是多少）：分子与整数能约分的先约分，然后用分子与整数的乘积做分子，分母不变。（2）一个数乘分数一个数乘分数（表示求一个数的几分之几是多少一个数的几分之几是多少）：、整数乘分数整数乘分数：整数与分子能约分的先约分，然后用分子与整数的乘积做分子，分母不变。、分数乘分数分数乘分数：能约分的先约分，然后用分数分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。、小数乘分数小数乘分数：把小数化成分数（或者把分数化成小数，也可以让小数与分母同时除以不为0 的数进行化简），然后再乘。【9】分数除法：分数除法：甲数乘以乙数（乙数0）等于甲数乘以乙数的倒数。【10】乘积是1 的两个数互为倒数互为倒数。分数的倒数分数的倒数：把原分数的分子、分母调换位置；整数的倒整数的倒数数：用整数做分母，分子是1 的分数；小数的倒数小数的倒数：先把小数化成分数，然后按求分数倒数的方法找。百分数的倒数百分数的倒数：先把百分数改写成分数形式，然后按求分数倒数的方法找。（四）混合运算（四）混合运算【1】在四则运算中，加、减法叫做第一级运算一级运算，乘、除法叫做第二级运算第二级运算。【2】在一个没有括号没有括号的算式里，如果含有同一级运算同一级运算，要从左往右依次计算（有时为了计算简便，可以改变运算顺序，但必须遵循“数字带着运算符号移”的原则，例如：1723972=1727239=10039=139）；如果含有两级运算两级运算，要先做第二级运算，后做第一级运算。【3】在一个有括号的算式里有括号的算式里，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。（五）特殊数字的计算（五）特殊数字的计算【1】“0”的计算：0A=A，A0=A，0A=0，0A=0【2】“1”的计算：1A=A，A1=A【3】同数（A0）的计算：AA=A2，AA=1，AA=2A，AA=0（六）计算中的大小变化（六）计算中的大小变化【1】加加法（或乘乘法）中：一个加数（或因数）不变，另一个加数（或因数）越大越大，和（或积）越大越大；另一个加数（或因数）越小越小，和（或积）越小越小。【2】减减法（或除除法）中：减数（或除数）不变，被减数（或被除数）越大越大，差（或商）越大越大；被减数（或被除数）越小越小，差（或商）越小越小。被减数（或被除数）不变，减数（或除数）越大越大，差（或商）越小越小；减数（或除数）越小越小，差（或商）越大越大。【3】乘法中乘法中：一个因数1，积另一个因数；一个因数1，积另一个因数【4 4】除法中：】除法中：除数1，商被除数；除数1，商被除数三、式与方程三、式与方程【1】含有未知数的等式叫做方程方程。方程一定是一定是等式，但等式不一定是不一定是方程。【2】用字母表示数字母表示数可以简明地表达数量关系，运算定律和计算公式。（1）数与字母相乘，可以省略乘号省略乘号，数字写在字母的前面，（例如）a3 可以简写成：a3 或 3a；（2）字母与字母相乘，可以省略乘号省略乘号，也可以写成乘号的简写法，（例如）不同字母相乘：ab 可以简写成：ab 或 ab；相同字母相乘：aa 可以简写成：aa 或 a（读作：“a 的平方”或“a 的二次方”）；（3）注意：数与数相乘不能省略乘号不能省略乘号。【3】使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解方程的解。【4】求方程的解的过程，叫做解方程解方程。解方程不一定是解不一定是解比例，但解比例是是解方程。【5】当 n n 表示任何一个自然数时：2n2n 表示偶数；2n2n1 1 表示奇数。【6】等式的性质等式的性质：等式两边同时乘以（或除以、或加上、或减去）一个相同的数（0 除外），等式仍然成立。【7 7】比较 2a2a 和 a a（1）2a 表示两个 a 相加（也就是 2 乘 a），即表示：aa（2）a 表示两个相乘，即表示：（3）比较大小、当，2aa；如时，2a2，a=11=1，21。、当=，2a=a；如2 时，2a224，a=22=4，4=4。2222222当，2aa；如3 时，2a36，a=33=9，69。【8 8】解】解方程及检验检验方程（举例）（1）2x4=16（2）123x=92x44=1643x=129（依据“减数=被减数差”）2x=123x=32x2=122x=33X=6x=1（3）4xx=9（4）182x=3（41）x=92x=183（依据“除数=被除数商”）3x=92x=6X=93x=62X=3x=3检验检验：把 x=3 代入原方程，检验检验：把 x=3 代入原方程，左边=4xx=433=123=9，左边=182x=18（23）=186=3，右边=9，右边=3左边=右边，左边=右边，所以 x=3 是方程 4xx=9 的解。所以 x=3 是方程 182x=3 的解。22四、常见的量四、常见的量（一）名数及改写（一）名数及改写【1】把计量得到的数和单位名称合起来叫做名数名数。【2】只带有一个单位名称的叫做单名数单名数。【3】带有两个或两个以上单位名称的叫做复名数复名数。【4】名数的改写方法名数的改写方法：高级单位的名数改写成低级单位的名数，乘进率；低级单位的名数改写成高级单位的名数，除以进率。（例如）（1）12 千米=（12000）米。想：要把高级单位改写成低级单位，即：121000=12000 米。22（2）40 分=（）时。想：要把低级单位改写成高级单位，即：4060=时。33（3）50 吨 70 千克=（50070）千克。想：先把50 吨改写成 501000=50000 千克，再用70 千50000 千克=50070 千克，即：50100070=50070 千克。（4）50 吨 70 千克=（）吨。想：先把 70 千克改写成 701000=吨，再用吨50 吨=吨，即：50701000=吨（5）6270dm3=（6）m3(270)dm3。想：要把低级单位改写成高级单位，即：62701000=6m3余 270dm3。（6）m3=（8）m3（30）dm3。想：取m3的整数部分的 8 表示为m3的量，剩余的m3，按照把高级单位改写成低级单位的方法改写成dm3，即：1000=30dm3。222（7）5时=（5）时（40）分。想：取 5时的整数部分的 5 表示为“时”量，剩余的时，3332按照把高级单位改写成低级单位的方法改写成“分”，即：60=40 分。3（二）常用单位名称及进率（二）常用单位名称及进率【1】长度单位长度单位（1）单位名称及对应字母单位名称及对应字母：千米（公里）-km、米-m、分米-dm、厘米-cm、毫米-mm。（除过千米和米）其它相邻长度单位进率都是 10。（2）单位大小（实物参照）单位大小（实物参照）：1 米（小方桌边长）；1 分米（粉笔盒棱长）；1 厘米（手指宽度）；1 毫米（缝衣针孔宽度）。（3）常用进率常用进率：1 公里1 千米1 千米1000 米1 米10 分米1 分米10 厘米1 厘米10 毫米1 米100 厘米1 千米100000 厘米【2 2】面积单位】面积单位（1）单位名称及对应字母：单位名称及对应字母：平方千米-km2、公顷、（公亩）、平方米-m2、平方分米-dm2、平方厘米-cm2、平方毫米-mm2。相邻面积单位进率都是 100。（2）单位大小（实物参照）单位大小（实物参照）：边长 1000 米的正方形面积是 1 平方千米；边长 100 米的正方形面积是 1 公顷；边长10 米的正方形面积是 1（公亩）；边长1 米的正方形面积是 1 平方米（小方桌面）；边长 1 分米的正方形面积是 1 平方分米（粉笔盒一个面）；边长 1 厘米的正方形面积是 1 平方厘米（手指甲盖）；边长 1 毫米的正方形面积是 1 平方毫米（缝衣针孔）。（3）常用进率常用进率：1 平方千米=100 公顷1 公顷=100（公亩）1（公亩）=100 平方米1 平方米100 平方分米1 平方分米100 平方厘米1 平方厘米100 平方毫米1 公顷=10000 平方米1 平方米10000 平方厘米1 平方千米=1000000 平方米【3 3】体积（或容积）单位】体积（或容积）单位（1）单位名称及对应字母：单位名称及对应字母：立方米-m3、立方分米（升）-dm3(L)、立方厘米（毫升）-cm3(ml)、立方毫米-mm3。相邻体积（或容积）单位进率都是 1000。（2）单位大小（实物参照）单位大小（实物参照）：棱长 1 米的正方体体积是 1 立方米（小方桌所占空间）；棱长 1分米的正方体体积是 1 立方分米（粉笔盒所占空间）；棱长 1 厘米的正方体体积是 1 立方厘米（手指尖所占空间）；棱长 1 毫米的正方体体积是 1 立方毫米（缝衣针孔所占空间）。（3）常用进率常用进率：1 立方米1000 立方分米1 立方分米1000 立方厘米1 立方厘米1000 立方毫米1 升1000 毫升1 升1 立方分米1 毫升1 立方厘米【4 4】重量单位】重量单位（1）单位名称及对应字母：单位名称及对应字母：吨-t、千克（公斤）-kg、克-g。相邻重量单位进率都是 1000。（2）常用进率常用进率：1 吨=1000 千克1 千克=1000 克1 千克=1 公斤【5 5】人民币单位】人民币单位（1）单位名称单位名称：元、角、分。相邻人民币单位进率都是 10。（2）常用进率常用进率：1 元=10 角1 角=10 分1 元=100 分【6 6】时间单位】时间单位（1）单位名称单位名称：世纪、年、季度、月、旬、日、时、分、秒，（2）常用进率常用进率：、1 世纪=100 年1 年=12 月1 年（平年）=365 天1 年（闰年）=366 天、一个月的天数：大月有 31 天（包括：1、3、5、7、8、10、12 月）小月有 30 天（包括：4、6、9、11 月）平年 2 月有 28 天闰年 2 月有 29 天、1 日=24 小时1 时=60 分1 分=60 秒1 时=3600 秒、一年有 4 个季度，每个季度 3 个月第一季度：1、2、3 月；第二季度：4、5、6 月；第三季度：7、8、9 月；第一季度：10、11、12 月。、一年大约有 52 个星期；一星期有 7 天。、一个月有三旬（上旬：110 日；中旬：1120 日；下旬：21月底）。、判断某年是闰年或平年：公历年份是 4 的倍数的一般是闰年；否则都是平年。（例如）19804=495，1980 是 4 的倍数，所以 1980 年是闰年；19824=495 余 2，1982 不是 4 的倍数，所以 1982 年是平年；公历年份是整百数的，必须是 400 的倍数才是闰年；否则都是平年。（例如）1900400=4 余 300，1900 不是 400 的倍数，所以 1900 年是平年；2000400=5，2000是 400 的倍数，所以 2000 年是闰年；五、比和比例五、比和比例（一）比（一）比【1】两个数相除又叫做两个数的比。比。比有前项（比号前的数）和后项（比号后的数）。【2】比的基本性质比的基本性质：比的前项和后项都乘上或除以相同的数（0 除外），比值不变。【3】求比值求比值：比的前项除以后项，所得的商（结果可能是：整数、小数、分数）。【4】化简比化简比：根据比的基本性质，使比的前项和后项成两个互质的整数（结果还是一个比）。【5】比、分数和除法比、分数和除法的联系与区别：比分数除法前项分子被除数比号分数线除号联系后项分母除数比值分数值商区别两个数之间的倍数关系一个数一种运算（二）比例（二）比例【1】两个比相等的式子叫做比例比例。比例中的四个数叫做比例的项项，两端的两项叫比例的外项外项，中间的两项叫比例的内项内项。【2】比例的基本性质比例的基本性质：在比例里，两内项的积等于两个外项的积。【3】根据根据比例的基本性质，如果已知比例中的任意三项，可以求出另外一个未知项。求比例中未知项的过程，叫做解比例解比例。【4】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着化，如果这两种量中相对应的的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做 成正比例的量成正比例的量，它们的关系就叫做正比例关系正比例关系。正比例关系式关系式y表示为：k（一定）。x【5】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量成反比例的量，它们的关系就叫做反比例关系反比例关系。反比例关系式关系式表示为：xy=k(k 一定)。六、数学思考六、数学思考（一）点连线段点连线段：有 n 个点，可以连成“(n1)(n2)(n3)1”条线段，或用公式“n(n1)2”计算线段条数。（二）射线组角射线组角：从一点引出 n 条射线，能组成“(n1)(n2)(n3)1”个角，或用公式“n(n1)2”计算角的个数。（三）等差数列等差数列【1】等差数列的意义意义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差相等，这个数列就叫做等差数列；这个相等的差叫做等差数列的公差；这一列数的个数叫做项数。【2】等差数列的公式公式（1）项数（末项首项）公差1（2）和（首项末项）项数2（3）末项=首项（项数1）公差（四）加法、乘法原理（四）加法、乘法原理【1】加法加法原理：做一件事，完成它可以有 n 种办法，在第一类办法中有 A 种不同的方法，在第二类办法中有 B 种不同的方法，在第 n 类办法中有 C 种不同的方法，那么完成这件事共有“ABC”种不同方法。【2】乘法乘法原理：做一件事，完成它需要分成 n 个步骤，做第一步有 A 种不同的方法，做第二步有 B 种不同的方法，做第 n 步有 C 种不同的方法，那么完成这件事共有“ABC”种不同的方法。（五）打电话通知人（五）打电话通知人（每分钟通知一个人），那么分钟通知到人；分钟通知到：121=3 人；分钟通知到：321=7 人；分钟通知到：721=15 人；5 分钟通知到：1521=31 人n 分钟通知到：（n1）分钟通知到的人数21=n 分钟通知到的人数。（六）数字与编码（六）数字与编码【1】数数不仅可以用来表示数量和顺序，还可以用来编码编码。【2】邮政编码邮政编码由六位阿拉伯数字组成，如 448268，它的前两位数表示省、自治区、直辖市，如 44 表示湖北省；第三位数表示邮区代号，如 448 代表湖北省荆门邮区；第四位数表示县（市）的编号，如 4482 代表湖北省荆门市沙洋县邮局；最后两位代表邮件投寄局（所），所以 448268表示的就是：湖北省荆门市沙洋县五里邮电支局的投递局。【3】身份证号码身份证号码是由 18 位数字组成：前 6 位为行政区划代码，第 7 至 14 位为出生日期码，第 15 至 17 位为顺序码（第 17 位数字也表示性别区分，奇数为男，偶数为女），第 18 位为效验码。（七）（七）“烙煎饼”类问题“烙煎饼”类问题（八）（八）“找次品”类问题“找次品”类问题（九）（九）“合理安排”问题“合理安排”问题（十）（十）“抽屉问题”“抽屉问题”第二部分：空间与图形第二部分：空间与图形一、基本概念一、基本概念（一）平面图形（一）平面图形【1】线线（1）直线上两点间的一段叫做线段线段；线段有两个端点；线段是直线的一部分。把线段的一端无限延长，就得到一条射线射线；射线只有一个端点。线段的两端无限延长，就得到一条 直线直线，直线没有端点。（2）两条直线相交成直角，我们就说这两条直线互相垂直互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线垂线，这两条直线的交点叫做垂足垂足。过直线外一点向已知直线的连线中，垂线最短最短。（3）同一平面内不相交的两条直线叫做平行线平行线。平行线之间垂直线段的长度都相等。【2】角角（1）由一点引出两条射线所组成的图形叫做角角。这两条射线叫做角的边边。角通常用符号“”来表示。角的大小角的大小与两边叉开的大小有关，与角的两边画出的长短没有关系。在放大镜下放大镜下看角，角的大小不变。（2）角的度量角的度量：角的计量单位是“度”，用符号“”表示。把半圆分成 180 等份，每一份所对的角叫做 1 度的角，记作 1。用量角器量角的时候，把量角器放在角的上面，使量角器的中心和角的顶点重合，0该度线和角的一条边重合，角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。（3）角的分类角的分类：大于 0，而小于 90的角叫做锐角锐角。等于 90