2006年高考数学试卷(辽宁卷.理)含详解.pdf

2006 年高考试题辽宁卷理科数学试题一.选择题(1)设集合A 1,2,则满足AB 1,2,3的集合 B 的个数是(A)1(B)3(C)4(D)8(2)设f(x)是 R 上的任意函数,则下列叙述正确的是(A)f(x)f(x)是奇函数(B)f(x)f(x)是奇函数(C)f(x)f(x)是偶函数(D)f(x)f(x)是偶函数(3)给出下列四个命题:垂直于同一直线的两条直线互相平行.垂直于同一平面的两个平面互相平行.若直线l1,l2与同一平面所成的角相等,则l1,l2互相平行.若直线l1,l2是异面直线,则与l1,l2都相交的两条直线是异面直线.其中假命题的个数是(A)1(B)2(C)3(D)4(4)双曲线x y 4的两条渐近线与直线x 3围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是22x y 0 x y 0(A)x y 0(B)x y 0(C)0 x 30 x 3x y 0 x y 0(D)0 x 3x y 0 x y 00 x 3+是 R 上的一个运算,A 是 R 的非空子集,若对任意a,b A有a+b A,则称 A 对运(5)设+封闭,下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是算(A)自然数集(B)整数集(C)有理数集(D)无理数集(6)ABC的 三 内 角A,B,C所 对 边 的 长 分 别 为a,b,c设 向 量p (a c,b),q (ba,ca),若p/q,则角C的大小为(A)2(B)(C)(D)36322x(7)与方程y e(A)y ln(12ex1(x 0)的曲线关于直线y x对称的曲线的方程为x)(B)y ln(1x)x)(D)y ln(1x)(C)y ln(1x2y2x2y21(m 6)与曲线1(5 m 9)的(8)曲线10m6m5m9m(A)焦距相等(B)离心率相等(C)焦点相同(D)准线相同(9)在等比数列an中,a1 2,前n项和为Sn,若数列an1也是等比数列,则Sn等于(A)2n12(B)3n(C)2n(D)3 1n(10)直线y 2k与曲线9k2x2 y218k2x(k R,且k 0)的公共点的个数为(A)1(B)2(C)3(D)4(11)已知函数f(x)11(sin xcosx)sin xcosx,则f(x)的值域是222,1(C)221,(D)221,2(A)1,1(B)(12)设O(0,0),A(1,0),B(0,1),点P是 线 段AB上 的 一 个 动 点,AP AB,若OP AB PAPB,则实数的取值范围是(A)21211(C)1(D)1(B)12222221221二.填空题ex,x 0.1(13)设g(x)则g(g()_2lnx,x 0.464646()(22).(nn)5757_(14)lim57n545454()(22).(nn)656565(15)5 名乒乓球队员中,有 2 名老队员和 3 名新队员.现从中选出 3 名队员排成 1、2、3 号参加团体比赛,则入选的 3 名队员中至少有一名老队员,且 1、2 号中至少有 1 名新队员的排法有_种.(以数作答)(16)若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为,则cos=_三 解答题(17)(本小题满分 12 分)已知函数f(x)sin x 2sin xcos x3cos x，xR.求:(I)函数f(x)的最大值及取得最大值的自变量x的集合；22(II)函数f(x)的单调增区间.(18)(本小题满分 12 分)已知正方形ABCD.E、F分别是AB、CD的中点,将ADE沿DE折起,如图所示,记二面角ADEC的大小为(0).(I)证明BF/平面ADE;(II)若ACD为正三角形,试判断点A在平面BCDE内的射影G是否在直线EF上,证明你的结论,并求角的余弦值.BABEFCEFADDC(19)(本小题满分 12 分)现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是1.2 万元、1.18 万元、1.17 万元的概率分别为111、;已知乙项目的利润与产品价格的调整有关,在每次调整中价格下623降的概率都是p(0 p 1),设乙项目产品价格在一年内进行 2 次独立的调整,记乙项目产品价格在一年内的下降次数为,对乙项目每投资十万元,取 0、1、2 时,一年后相应利润是1.3 万元、1.25 万元、0.2 万元.随机变量1、2分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年后的利润.(I)求1、2的概率分布和数学期望E1、E2;(II)当E1 E2时,求p的取值范围.(20)(本小题满分 14 分)已知点A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2 0)是抛物线y 2px(p 0)上的两个动点,O是坐标2原 点,向 量OA,OB满 足OAOB OAOB.设 圆C的 方 程 为x2 y2(x1 x2)x(y1 y2)y 0(I)证明线段AB是圆C的直径;(II)当圆 C 的圆心到直线 X-2Y=0 的距离的最小值为时，求P 的值。21（本小题满分 12 分）已知函数 f(x)=ax bx cx d,其中 a,b,c 是以 d 为公差的等差数列，且a0,d0.设x0为f(x)的极小值点，在1-13322b,0上，f(x)在x1处取得最大植，在a（x0,f(x0),(x1,f(x1),(x2,f(x2,f(x2)依次记为A，B，Cx2处取得最小值，将点(I)求xo的值(II)若ABC 有一边平行于 x 轴，且面积为2 22（本小题满分 12 分）已知3，求 a,d 的值f0(x)x,nfk1(x)fk(x)fk1(1),其中k n(n,k N),设01knF(x)Cnf0(x2)Cnf1(x2).Cnfk(x2).Cnfn(x2),x1,1.(I)写出fk(1);(II)证明:对任意的x1,x21,1,恒有F(x1)F(x2)2n1(n2)n1.2006 年高考试题辽宁卷理科数学试题一.选择题(2)设集合A 1,2,则满足AB 1,2,3的集合 B 的个数是（）(A)1(B)3(C)4(D)8【解析】A 1,2，AB 1,2,3，则集合 B 中必含有元素 3，即此题可转化为求集合A 1,2的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B 共有22 4个。故选择答案 C。【点评】本题考查了并集运算以及集合的子集个数问题，同时考查了等价转化思想。(2)设f(x)是 R 上的任意函数,则下列叙述正确的是(A)f(x)f(x)是奇函数(B)f(x)f(x)是奇函数(C)f(x)f(x)是偶函数(D)f(x)f(x)是偶函数【解析】A 中F(x)f(x)f(x)则F(x)f(x)f(x)F(x)，即函数F(x)f(x)f(x)为偶函数，B 中F(x)f(x)f(x)，F(x)f(x)f(x)此时F(x)与F(x)的关系不能确定，即函数F(x)f(x)f(x)的奇偶性不确定，C中F(x)f(x)f(x)，F(x)f(x)f(x)F(x)，即函数F(x)f(x)f(x)为奇函数，D 中F(x)f(x)f(x)，F(x)f(x)f(x)F(x)，即函数F(x)f(x)f(x)为偶函数，故选择答案 D。【点评】本题考查了函数的定义和函数的奇偶性的判断，同时考查了函数的运算。(3)给出下列四个命题:垂直于同一直线的两条直线互相平行.垂直于同一平面的两个平面互相平行.若直线l1,l2与同一平面所成的角相等,则l1,l2互相平行.若直线l1,l2是异面直线,则与l1,l2都相交的两条直线是异面直线.其中假命题的个数是(A)1(B)2(C)3(D)4【解析】利用特殊图形正方体我们不难发现、均不正确，故选择答案D。【点评】本题考查了空间线面的位置关系以及空间想象能力，同时考查了立体几何问题处理中运用特殊图形举例反证的能力。(4)双曲线x y 4的两条渐近线与直线x 3围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是22x y 0 x y 0(A)x y 0(B)x y 0(C)0 x 30 x 322x y 0 x y 0(D)0 x 3x y 0 x y 00 x 3【解析】双曲线x y 4的两条渐近线方程为y x，与直线x 3围成一个三角形区x y 0域时有x y 0。0 x 3【点评】本题考查了双曲线的渐近线方程以及线性规划问题。+是 R 上的一个运算,A 是 R 的非空子集,若对任意a,b A有a+b A,则称 A 对运(5)设+封闭,下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是算(A)自然数集(B)整数集(C)有理数集(D)无理数集【解析】A 中 121 不是自然数，即自然数集不满足条件；B 中 120.5 不是整数，即整数集不满足条件；C 中有理数集满足条件；D 中22 2不是无理数，即无理数集不满足条件，故选择答案C。【点评】本题考查了阅读和理解能力，同时考查了做选择题的一般技巧排除法。(6)ABC的 三 内 角A,B,C所 对 边 的 长 分 别 为a,b,c设 向 量p (a c,b),q (ba,ca),若p/q,则角C的大小为(A)2(B)(C)(D)3632222【解析】p/q (a c)(ca)b(ba)b a c ab，利用 余弦定 理可得2cos C 1，即cosC 1C，故选择答案 B。23【点评】本题考查了两向量平行的坐标形式的重要条件及余弦定理和三角函数，同时着重考查了同学们的运算能力。(7)与方程y e(A)y ln(12x2ex1(x 0)的曲线关于直线y x对称的曲线的方程为x)(B)y ln(1x)x)(D)y ln(1x)2x(C)y ln(1【解 析】y e2ex1(x 0)(ex1)2 y，x 0,ex1，即：ex1y x ln(1y)，所以f1(x)ln(1x)，故选择答案 A。【点评】本题考查了方程和函数的关系以及反函数的求解。同时还考查了转化能力。x2y2x2y21(m 6)与曲线1(5 m 9)的(8)曲线10m6m5m9m(A)焦距相等(B)离心率相等(C)焦点相同(D)准线相同x2y21(m 6)知 该 方 程 表 示 焦 点 在 x 轴 上 的 椭 圆，由【解 析】由10m6mx2y21(5 m 9)知该方程表示焦点在 y 轴上的双曲线，故只能选择答案A。5m9m【点评】本题考查了椭圆和双曲线方程及各参数的几何意义，同时着重考查了审题能力即参数范围对该题的影响。(9)在等比数列an中,a1 2,前n项和为Sn,若数列an1也是等比数列,则Sn等于(A)2n12(B)3n(C)2n(D)3 1nn1【解析】因数列an为等比，则an 2q，因数列an1也是等比数列，则(an11)2(an1)(an21)an122an1 anan2anan2 anan2 2an1 an(1q 2q)0 q 12即an 2，所以Sn 2n，故选择答案 C。【点评】本题考查了等比数列的定义和求和公式，着重考查了运算能力。2222(10)直线y 2k与曲线9k x y 18kx(k R,且k 0)的公共点的个数为(A)1(B)2(C)3(D)4【解析】将y 2k代入9k x y 18kx得：9k x 4k 18kx222222229|x|218 x 40，显然该关于|x|的方程有两正解，即x 有四解，所以交点有4 个，故选择答案 D。【点评】本题考查了方程与曲线的关系以及绝对值的变换技巧，同时对二次方程的实根分布也进行了简单的考查。(11)已知函数f(x)11(sin xcosx)sin xcosx,则f(x)的值域是222,1(C)221,(D)221,2(A)1,1(B)cosx(sin x cosx)11【解析】f(x)(sin xcosx)sin xcosx sin x(sin x cosx)22即等价于sin x,cos xmin，故选择答案 C。【点评】本题考查绝对值的定义、分段函数、三角函数等知识，同时考查了简单的转化和估算能力。(12)设O(0,0),A(1,0),B(0,1),点P是 线 段AB上 的 一 个 动 点,AP AB,若OP AB PAPB,则实数的取值范围是(A)2122211(C)11(D)11(B)1222222【解析】AP AB OP (1)OAOB (1,),PB AB AP (1)AB (1,1),AP AB (,)OP AB PAPB (1,)(1,1)(,)(1,1)2241 0解得:1221,因点P是线段AB上的一个动点,所以0 1,即满足条件的2221,故选择答案 B.2实数的取值范围是1【点评】本题考查向量的表示方法,向量的基本运算,定比分点中定比的范围等等.二.填空题ex,x 0.1(13)设g(x)则g(g()_2lnx,x 0.1ln111【解析】g(g()g(ln)e2.222【点评】本题考察了分段函数的表达式、指对数的运算.464646()(22).(nn)5757_(14)lim57n545454()(22).(nn)656565464646444666()(22).(nn)(2.n)(2.n)5757555777【解析】lim57n545454555444()(22).(nn)(2.n)(2.n)65656566655541611()n1()n55771111511()n()n1()n577 lim7 1 lim lim5n5n1nn5n14111()n1()n()()n()16655656111165【点评】本题考查了等比数列的求和公式以及数列极限的基本类型.(15)5 名乒乓球队员中,有 2 名老队员和 3 名新队员.现从中选出 3 名队员排成 1、2、3 号参加团体比赛,则入选的 3 名队员中至少有一名老队员,且 1、2 号中至少有 1 名新队员的排法有_种.(以数作答)112【解析】两老一新时,有C3C2A212种排法;123两新一老时,有C2C3 A3 36种排法,即共有 48 种排法.【点评】本题考查了有限制条件的排列组合问题以及分类讨论思想.(16)若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为,则cos=_【解析】不妨认为一个正四棱柱为正方体,与正方体的所有面成角相等时,为与相交于同一顶点 的 三 个 相 互 垂 直 的 平 面 所 成 角 相 等,即 为 体 对 角 线 与 该 正 方 体 所 成 角.故cos26.33【点评】本题考查了直线与平面所成角的定义以及正四棱柱的概念,充分考查了转化思想的应用.三 解答题(17)(本小题满分 12 分)已知函数f(x)sin x 2sin xcos x3cos x，xR.求:(I)函数f(x)的最大值及取得最大值的自变量x的集合；(II)函数f(x)的单调增区间.【解析】(I)解法一:22f(x)1cos2x3(1cos2x)sin2x1sin2xcos2x 22sin(2x)224当2x4 2k2,即x k8(kZ)时,f(x)取得最大值22.函数f(x)的取得最大值的自变量x的集合为x/xR,x k解法二:8(k Z).f(x)(sin2xcos2x)2sin xcos x2cos2x 2sin xcos x12cos2x sin2xcos2x 2 22sin(2x)4当2x4 2k2,即x k8(kZ)时,f(x)取得最大值22.函数f(x)的取得最大值的自变量x的集合为x/xR,x k(II)解:f(x)22sin(2x8(k Z).4)由题意得:2k即:k2 2x4 2k2(kZ)3 x k(kZ)883,k(kZ).88因此函数f(x)的单调增区间为k【点评】本小题考查三角公式,三角函数的性质及已知三角函数值求角等基础知识,考查综合运用三角有关知识的能力.(18)(本小题满分 12 分)已知正方形ABCD.E、F分别是AB、CD的中点,将ADE沿DE折起,如图所示,记二面角ADEC的大小为(0).(I)证明BF/平面ADE;(II)若ACD为正三角形,试判断点A在平面BCDE内的射影G是否在直线EF上,证明你的结论,并求角的余弦值.BABEFCEFADDC【解析】(I)证明:EF 分别为正方形 ABCD 得边 AB、CD 的中点,EB/FD,且 EB=FD,四边形 EBFD 为平行四边形.BF/EDEF 平面AED,而BF 平面AEDBF/平面ADE.(II)解法 1:如右图,点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 在直线 EF 上,过点 A 作 AG 垂直于平面 BCDE,垂足为 G,连结 GC,GD.ACD 为正三角形,AC=ADCG=GDG 在 CD 的垂直平分线上,点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 在直线 EF 上,过G作GH垂直于ED于H,连结AH,则AH DE,所以AHD为二面角A-DE-C的平面角.即AHG 设原正方体的边长为 2a,连结 AF在折后图的AEF 中,AF=3a,EF=2AE=2a,即AEF 为直角三角形,AGEF AE AFAG 3a2在 RtADE 中,AH DE AEADAH 2a5a2 5GH cosGH1.AH4解法 2:点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 在直线 EF 上连结 AF,在平面 AEF 内过点作AG EF,垂足为G.ACD 为正三角形,F 为 CD 的中点,AF CD又因EF CD,所以CD 平面AEFAG 平面AEFAG CD又AG EF且CDEF F,CD 平面BCDE,EF 平面BCDEAG 平面BCDEG为 A 在平面 BCDE 内的射影 G.即点 A 在平面 BCDE 内的射影在直线 EF 上过G作GH垂直于ED于H,连结AH,则AH DE,所以AHD为二面角A-DE-C的平面角.即AHG 设原正方体的边长为 2a,连结 AF在折后图的AEF 中,AF=3a,EF=2AE=2a,即AEF 为直角三角形,AGEF AE AFAG 3a2在 RtADE 中,AH DE AEADAH 2a5a2 5GH cosGH1.AH4解法 3:点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 在直线 EF 上连结 AF,在平面 AEF 内过点作AG EF,垂足为G.ACD 为正三角形,F 为 CD 的中点,AF CD又因EF CD,所以CD 平面AEFCD 平面BCDE平面AEF 平面BCDE又平面AEF平面BCDE=EF,AG EFAG EFAG 平面BCDEG为 A 在平面 BCDE 内的射影 G.即点 A 在平面 BCDE 内的射影在直线 EF 上过G作GH垂直于ED于H,连结AH,则AH DE,所以AHD为二面角A-DE-C的平面角.即AHG 设原正方体的边长为 2a,连结 AF在折后图的AEF 中,AF=3a,EF=2AE=2a,即AEF 为直角三角形,AGEF AE AFAG 3a2在 RtADE 中,AH DE AEADAH 2a5a2 5,GH cosGH1.AH4【点评】本小题考查空间中的线面关系,解三角形等基础知识考查空间想象能力和思维能力.(19)(本小题满分 12 分)现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是1.2 万元、1.18 万元、1.17 万元的概率分别为111、;已知乙项目的利润与产品价格的调整有关,在每次调整中价格下623降的概率都是p(0 p 1),设乙项目产品价格在一年内进行 2 次独立的调整,记乙项目产品价格在一年内的下降次数为,对乙项目每投资十万元,取 0、1、2 时,一年后相应利润是1.3 万元、1.25 万元、0.2 万元.随机变量1、2分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年后的利润.(I)求1、2的概率分布和数学期望E1、E2;(II)当E1 E2时,求p的取值范围.【解析】(I)解法 1:1的概率分布为1P1.21.181.17161213E1=1.2111+1.18+1.17=1.18.623由题设得 B(2,p),则的概率分布为P012(1 p)22p(1 p)p2故2的概率分布为P1.31.250.2(1 p)22p(1 p)p2所以2的数学期望为2E2=1.3(1 p)+1.252p(1 p)+0.2 p=p 0.1p1.3.22解法 2:1的概率分布为1P1.21.181.17161213E1=1.2111+1.18+1.17=1.18.623设Ai表示事件”第 i 次调整,价格下降”(i=1,2),则2P(=0)=P(A1)P(A2)(1 p);P(=1)=P(A1)P(A2)P(A1)P(A2)2p(1 p);2P(=2)=P(A1)P(A2)p故2的概率分布为P1.31.250.2(1 p)22p(1 p)p2所以2的数学期望为2E2=1.3(1 p)+1.252p(1 p)+0.2 p=p 0.1p1.3.22(II)由E1 E2,得:p20.1p1.3 1.18(p0.4)(p0.3)0 0.4 p 0.3因 0p1,所以E1 E2时,p 的取值范围是 0p0 知f(x)在1,0上的最大值为f(0)caf(1即:x1=0又由bb2b1,知1,0aaabd2bb当x 时,f(x)取得最小值为f(),即x2 aaaa1f(x0)f(1)a31bd2A(1,a),B(0,c)C(,)3aa1d2,即a2=3d2由三角形 ABC 有一条边平行于 x 轴知 AC 平行于 x 轴,所以a 3a(1)又由三角形 ABC 的面积为2 1ba3得(1)(c)232a3(2)2d2 23利用 b=a+d,c=a+2d,得d 3a联立(1)(2)可得d 3,a 3 3【点评】本小题考查了函数的导数,函数的极值的判定,闭区间上二次函数的最值,等差数基础知识的综合应用,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力22（本小题满分 12 分）fk1(x)已知f0(x)x,fk(x),其中k n(n,k N),fk1(1)n0212k2n2设F(x)Cnf0(x)Cnf1(x).Cnfk(x).Cnfn(x),x1,1.(I)写出fk(1);(II)证明:对任意的x1,x21,1,恒有F(x1)F(x2)2n1(n2)n1.nk【解析】(I)由已知推得fk(x)(nk 1)x,从而有fk(1)nk 1(II)证法 1:当1 x 1时,12(n1)22(n2)k2(nk)n12F(x)x2nnCnx(n1)Cnx.(nk 1)Cnx.2Cnx 1当 x0 时,F(x)0,所以F(x)在0,1上为增函数因函数F(x)为偶函数所以F(x)在-1,0上为减函数所以对任意的x1,x21,1F(x1)F(x2)F(1)F(0)012kn1F(1)F(0)CnnCn(n1)Cn.(nk 1)Cn.2Cn nCn1n(n1)Cn2n.(nk 1)Cnkn.2C C1n0nnknknk(nk 1)Cn(nk)CnCn nCkn1C(k 1,2,3knn1)12k112n10F(1)F(0)n(Cn1Cn1.Cn1)(CnCn.Cn)Cn n(2n11)2 1 2(n2)n1nn1因此结论成立.证法 2:当1 x 1时,12(n1)22(n2)k2(nk)n12F(x)x2nnCnx(n1)Cnx.(nk 1)Cnx.2Cnx 1当 x0 时,F(x)0,所以F(x)在0,1上为增函数因函数F(x)为偶函数所以F(x)在-1,0上为减函数所以对任意的x1,x21,1F(x1)F(x2)F(1)F(0)012kn1F(1)F(0)Cn nCn(n1)Cn.(nk 1)Cn.2Cn12k1n10又因F(1)F(0)2Cn3Cn.kCn.nCnCn12k1n10所以2F(1)F(0)(n 2)CnCn.Cn.Cn 2CnF(1)F(0)n212k1n10CnCn.Cn.CnCn2n2n(2 2)1 2n1(n2)n12因此结论成立.证法 3:当1 x 1时,12(n1)22(n2)k2(nk)n12F(x)x2nnCnx(n1)Cnx.(nk 1)Cnx.2Cnx 1当 x0 时,F(x)0,所以F(x)在0,1上为增函数因函数F(x)为偶函数所以F(x)在-1,0上为减函数所以对任意的x1,x21,1F(x1)F(x2)F(1)F(0)012kn1F(1)F(0)Cn nCn(n1)Cn.(nk 1)Cn.2Cn由1n12n2knkn1x(1 x)n xn xCnxCnx.Cnx.Cnx1C x C x1nn2nn1.C xknnk1.Cn12nx x对上式两边求导得1n12n2knkn1(1 x)n xn nx(1 x)n1nxn nCnx(n1)Cnx.(nk 1)Cnx.2Cnx 1F(x)(1 x2)nnx2(1 x2)n1nx2nF(1)F(0)2nn2n1n1(n2)2n1n1因此结论成立.【点评】本小题考查导数的基本计算,函数的性质,绝对值不等式及组合数性质等基础知识,考查归纳推理能力以及综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力.