2021年全国卷Ⅱ理数高考试题文档版(含答案).pdf

2021 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合A=x|x2-5x+60，B=x|x-1b，则Aln(a b)0 B3a0Dab7设，为两个平面，则 的充要条件是A 内有无数条直线与平行B 内有两条相交直线与 平行C，平行于同一条直线D，垂直于同一平面8若抛物线y2=2px(p0)的焦点是椭圆A2B3C4D8的一个焦点，则p=9下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是Af(x)=cos 2xBf(x)=sin 2xCf(x)=cosxDf(x)=sinx10已知(0，)，2sin 2=cos 2+1，则 sin=ABCD11设F为双曲线C：交于P，Q两点.若AC2B的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆，则C的离心率为 D12设函数的定义域为 R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的取值范围是2ABCD二、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分13我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为 0.97，有20个车次的正点率为 0.98，有 10个车次的正点率为 0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为_.14已知是奇函数，且当时，.若，则_.15的内角的对边分别为.若，则的面积为_.16中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图 1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图 2 是一个棱数为 48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有_个面，其棱长为_.（本题第一空 2 分，第二空 3 分.）三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60分。17（12 分）如图，长方体 ABCDA1B1C1D1的底面 ABCD是正方形，点 E 在棱 AA1上，BEEC1.3（1）证明：BE平面 EB1C1；（2）若 AE=A1E，求二面角 BECC1的正弦值.18（12分）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为 0.4，各球的结果相互独立.在某局双方 10:10平后，甲先发球，两人又打了 X 个球该局比赛结束.（1）求 P（X=2）；（2）求事件“X=4且甲获胜”的概率.19（12分）已知数列an和bn满足 a1=1，b1=0，（1）证明：an+bn是等比数列，anbn是等差数列；（2）求an和bn的通项公式.20（12 分），.已知函数.（1）讨论 f(x)的单调性，并证明 f(x)有且仅有两个零点；（2）设x0是 f(x)的一个零点，证明曲线y=lnx在点A(x0，ln x0)处的切线也是曲线21（12 分）的切线.已知点A(2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；.记M的轨迹为曲线C.（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PEx轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.4（i）证明：（ii）求是直角三角形；面积的最大值.（二）选考题：共 10分请考生在第 22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分22选修 4-4：坐标系与参数方程（10分）在极坐标系中，O为极点，点与垂直，垂足为P.在曲线上，直线l 过点且（1）当时，求及 l 的极坐标方程；（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.23选修 4-5：不等式选讲（10分）已知（1）当（2）若时，求不等式时，的解集；，求的取值范围.答案答案2021 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案一、选择题1A2C3C4D5A6C7B8D9A10B11A12B二、填空题130.981561431626；平面，517解：（1）由已知得，平面，故又（2）由（1）知故以，所以平面，所以，由题设知的方向为 x 轴正方向，为坐标原点，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz，则 C（0，1，0），B（1，1，0），（0，1，2），E（1，0，1），设平面 EBC的法向量为 n n=（x，y，x），则，即所以可取 n n=设平面.的法向量为 m m=（x，y，z），则即所以可取 m m=（1，1，0）于是所以，二面角的正弦值为18解：（1）X=2 就是 10：10 平后，两人又打了 2 个球该局比赛结束，则这 2 个球均由甲得分，或者均由6乙得分因此 P（X=2）=0.50.4+（10.5）（104）=05（2）X=4 且甲获胜，就是 10：10 平后，两人又打了 4 个球该局比赛结束，且这 4 个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得 1分，后两球均为甲得分因此所求概率为0.5（10.4）+（10.5）0.40.50.4=0.119解：（1）由题设得，即又因为 a1+b1=l，所以是首项为 1，公比为的等比数列由题设得，即又因为 a1b1=l，所以是首项为 1，公差为 2的等差数列（2）由（1）知，所以，20解：（1）f（x）的定义域为（0，1），（1，+）单调递增因为 f（e）=，所以 f（x）在（1，+）有唯一零点x1，即 f（x1）=0又，故 f（x）在（0，1）有唯一零点综上，f（x）有且仅有两个零点（2）因为，故点 B（lnx0，）在曲线y=ex上由题设知，即，7故直线AB的斜率曲线y=ex在点处切线的斜率是，曲线在点处切线的斜率也是，在点处的切线也是曲线y=ex的切线所以曲线21解：（1）由题设得，化简得点，焦点在 x轴上的椭圆，不含左右顶点（2）（i）设直线 PQ的斜率为 k，则其方程为，所以C 为中心在坐标原由得记，则于是直线的斜率为，方程为由得设，则和是方程的解，故，由此得从而直线所以的斜率为，即是直角三角形8（ii）由（i）得，所以PQG的面积设t=k+，则由k0 得t2，当且仅当k=1 时取等号因为在2，+）单调递减，所以当t=2，即k=1 时，S取得最大值，最大值为因此，PQG面积的最大值为22解：（1）因为在 C 上，当时，.由已知得.设为 l上除 P的任意一点.在中，经检验，点在曲线上.所以，l 的极坐标方程为（2）设，在中，.即.因为 P在线段 OM上，且，故的取值范围是.所以，P点轨迹的极坐标方程为23解：（1）当 a=1时，当时，的解集为，所以.；当.时，.所以，不等式（2）因为9当所以，的取值范围是时，.10