2-2 有理数与无理数(教师版)2021-2022学年七年级数学上册讲义(苏科版).pdf

第2章 有理数2.2有理数与无理数目标导航课程标准课程标准1、理解有理数的意义，知道无理数是客观的。感受夹逼法，估算无理数的大小。存在的，了解无理数的概念2、会判断一个数是有理数还是无理数，体会“无2、会判断一个数是有理数还是无理数限”的过程。课标解读课标解读1、区分有理数与无理数，知道无理数是客观存在知识精讲知识点 01有理数的分类（1）按整数、分数的关系分类：（2）按正数、负数与 0 的关系分类：【微点拨】【微点拨】（1）有理数都可以写成分数的形式，整数也可以看作是分母为1 的数.（2）分数与有限小数、无限循环小数可以互化，所以有限小数和无限循环小数可看作分数，但无限不循环小数不是分数，例如（3）正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数；正整数、0、负整数统称整数【即学即练【即学即练 1 1】1下列说法正确的是（）A整数分为正整数和负整数C零既可以是正整数，也可以是负分数【答案】D【分析】按有理数的分类解答即可B正分数、负分数统称有理数D所有的分数都是有理数【详解】解：A、正整数、0、负整数统称为整数，故本选项错误；B、正分数、负分数统称为分数，故本选项错误；C、零既不是正数也不是负数，故本选项错误；D、所有的分数都是有理数，故本选项正确；故选：D知识点 02有理数我们把能够写成分数形式【微点拨】【微点拨】（1）有限小数和循环小数都可以化为分数，他们都是有理数（2）所有整数都可以写成分母是1 的分数，因此可以理解为整数和分数统称为有理数【即学即练【即学即练 2 2】2对于3.271，下列说法不正确的是（）A是负数，不是整数C是有理数，不是分数【答案】C【分析】根据分数，整数，负数，自然数以及有理数的概念进行判断，得出结果【详解】解：A、-3.271 是负数不是整数，正确，B、-3.271 是分数不是自然数，正确，C、3.271 是有理数也是分数，故本选项错误，D、-3.271 是负有理数也是负分数，正确故选：CB是分数，不是自然数D是负有理数，且是负分数m（m,n 是整数，n0）的数叫做有理数n知识点 03无理数1 1定义：定义：无限不循环小数叫做无理数【微点拨】【微点拨】（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式（2）目前常见的无理数有两种形式：含类看似循环而实质不循环的数，如：1.3131131112 2有理数与无理数的区别有理数与无理数的区别（1）无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数（2）任何一个有理数都可以化为分数的形式，而无理数则不能【即学即练【即学即练 3 3】3下列选项中，属于无理数的是（）A【答案】A【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案【详解】解：A.是无理数；B.B227C4D022是分数，属于有理数；7C.4=2是整数，属于有理数；D.0 是整数，属于有理数故选：A知识点 04循环小数化成分数1 1定义：定义：如果一个无限小数的各数位上的数字，从小数部分的某一位起，按一定顺序不断重复出现，那么这样的小数叫做无限循环小数，简称循环小数，其中重复出现的一个或几个数字叫做它的一个循环节2 2 纯循环小数纯循环小数从小数点后面第一位起就开始循环的小数，叫做纯循环小数例如：0666、0.2 纯循环小数化为分数的方法是：分子是一个循环节的数字组成的数；分母的各位数字都是9，9 的个数等于一个循环节的位数例如0.3311897，0.189 93999373 3 混循环小数混循环小数0.12、如果小数点后面的开头几位不循环，到后面的某一位才开始循环，这样的小数叫做混循环小数 例如：03456456 混循环小数化为分数的方法是：分子是不循环部分和一个循环节的数字组成的数减去不循环部分的数字组成的数所得的差，分母就是按一个循环节的位数写几个9，再在后面按不循环部分的位数添写几个 0 组成的数例如0.918【微点拨】【微点拨】（1）任何一个循环小数都可化为分数（2）混循环小数化分数也可以先化为纯循环小数，然后再化为分数【即学即练【即学即练 4 4】4在数 0，A5 个【答案】A【分析】分别根据实数的分类及有理数的概念进行解答【详解】解：有理数有 0，故选：A918910123923635135353510013，0.239，0.35135 9901109002599900999003711，0.13，0.01010101，2.3%中，有理数有（）37C3 个D2 个B4 个11，0.13，0.01010101，2.3%，共 5 个，7能力拓展考法考法 0101有理数的概念理解有理数的概念理解(一)正数与负数为了用数表示具有相反意义的量，我们把某种量的一种意义，如零上温度、前进、收入、上升、高出海平面等规定为正的，而把与它相反的一种意义，如零下温度、后退、支出、下降、低于海平面等规定为负的 正的量用算术里学过的数表示，负的量用算术里学过的数前面放上“”(读作负)号来表示如：零上 5记作 5(读作正 5 摄氏度)零下 5记作5(读作负 5 摄氏度)0 既不是正数，也不是负数几点说明：1、0 既不是正数也不是负数，0 是正数与负数的分界。这样0 不仅可以用来表示没有，也可以表示一个确定的量，例如0就不是没有温度的意思，0是一个确定的温度，海拔0 表示海平面的平均高度，0 的意义已不仅仅是表示没有。2、表示正数，负数的“”“”号，是表示性质相反的量，符号写在数字前面，这种符号叫做性质符号.3、对于正数和负数的概念，不能简单地理解为：带“”号的数是正数，带“”号的数是负数。例如：a 一定是负数吗？答案是不一定。因为字母a 可以表示任意数。若a 表示正数时，a 是负数，若a 表示负数时，a 是一个正数，而不是负数了。当a 表示 0 时，a 就是在 0 前面加一个负号，仍是0，0不分正负。【典例【典例 1 1】下列各数中是正整数的是（）A1【答案】B【分析】根据正整数的概念即可得出结果【详解】解：根据正整数的概念得出只有选项B，2是正整数，符合题意故选：BB2C0.5D考法考法 0202有理数的分类有理数的分类（2）按整数、分数的关系分类：（2）按正数、负数与 0 的关系分类：【典例【典例 2 2】下列说法中正确的是（）A正整数、负整数统称为整数C零既可以是正整数，也可以是负整数【答案】B【分析】根据有理数的分类依次分析各项即可.【详解】A正整数、负整数和0 统称为整数，故错误；B正分数和负分数统称为分数，正确；C零既不是正数，也不是负数，故错误；B正分数和负分数统称为分数D一个有理数不是正数就是负数D有理数不包含正数、负数和0，故错误；故选 B.分层提分题组题组 A A基础过关练基础过关练1下列各数：(3)，0，|3.14|，5，3A4 个【答案】B【分析】根据负有理数的定义，对各个数化简后进行判断即可【详解】(3)=3 是正有理数，0 不是负有理数，+5=5 是正有理数，3.1=3.1 是正有理数，2014 是正有理数；而B3 个1，3.1，24，2014，其中是负有理数的有（）2D1 个C2 个|3.14|=-3.14 是负有理数，3是负有理数，24=-16 是负有理数，负有理数的个数是 3 个，故选：B2下列实数 3，A1 个【答案】C【解析】分析：根据无理数是无限不循环小数，可得答案详解：实数 3，故选 C.3下列说法：带正号的数是正数，带负号的数是负数；任意一个正数，前面加上负号就是一个负数；0是最小的正数；大于 0 的数是正数；0 只表示没有其中正确的是（）ABCD1273，0，2，3.15，9，中，无理数有()83B2 个C3 个D4 个733，0，2，3.15，9，中，无理数有 3，2，共计 3 个.833【答案】B【分析】根据正负数的意义可判断，根据 0 的意义可判断，进而可得答案【详解】解：带正号的数不一定是正数，带负号的数也不一定是负数，所以错误；任意一个正数，前面加上负号就是一个负数，所以正确；0 既不是正数，也不是负数，所以错误；大于 0 的数是正数，所以正确；0 可以表示没有，也可以表示某种量的基准，所以错误故选：B4大于-3.5，小于 2.5 的整数的个数是（）A6【答案】A【分析】求出大于-3.5，小于 2.5 的整数，然后可求解【详解】解：大于-3.5，小于 2.5 的整数有-3，-2，-1,0,1,2，所以共有 6 个，故选:A5面积为 4 的长方形中，长是宽的 2 倍，则宽为（）A整数【答案】D【分析】设长方形的宽为 x，则长为 2x，根据长方形的面积公式列方程，求出x 的值【详解】解：设长方形的宽为 x，则长为 2x，所以2xx 4，所以x2 2解得：x 2或x 2（不合题意，舍去）所以x 2是无理数B分数C有理数D无理数B3C4D5故选 D6下列语句：无限小数不能转化为分数；无理数分为正无理数、零、负无理数；有限小数是有理数；无限小数是无理数正确的有（）A0 个【答案】B【解析】【分析】根据无理数的定义、有理数的定义及分类逐一判断即可【详解】无限循环小数可以转化成分数；0 是有理数；无限循环小数是有理数，故均错有限小数是有理数，故对正确的有 1 个，故选 B7在有理数（3），A1 个【答案】C【分析】根据小于 0 的数是负数，对各项计算后得出负数的个数【详解】解：（3）3，是正数；B1 个C2 个D3 个1，（5）2，（1）7，32中，负数有（）2C3 个D4 个B2 个11=，是负数；22（5）225，是正数；（1）71，是负数；329，是负数所以负数有 3 个故选 C题组题组 B B能力提升练能力提升练1下列说法正确的是（）A正数、0、负数统称为有理数C正有理数、负有理数统称为有理数B分数和整数统称为有理数D以上都不对【答案】B【解析】本题考查的是有理数的分类根据有理数的定义即可得到结果，正有理数、0、负有理数统称为有理数，故A、C 错误，分数和整数统称为有理数，正确，故选B2下列实数中，无理数是（）A1.21【答案】C【分析】根据无理数的定义即可求解【详解】B4C 32D2271.211.1，42，22 3都是有理数，不是有理数，故选C727、0.1010010001（往后每两个 1 之间依次多一个0），无33下列实数中：36、11、1.414、理数有（）A2 个【答案】B【分析】B3 个C4 个D5 个根据无理数、有理数的定义即可判定选择项【详解】36 6，整数，不是无理数；1.414、7，分数，不是无理数；3，是无理数，共 3 个；11、0.1010010001（往后每两个 1 之间依次多一个 0）故选：B4下列无理数中，在2 与1 之间的数是（）A 5【答案】BB 3C3D5【分析】由题意根据无理数的定义，依次对各选项进行估算解答即可【详解】解：3 52，故选项 A 不合题意；2 31，故选项 B 符合题意；132，故选项 C 不合题意；253，故选项 D 不合题意故选：B.5在有理数 0，2，7，5个【答案】43【分析】根据有理数的分类进行解答即可【详解】整数有：0，2，7，3，共 4 个；负分数有：517，3.14，3，0.75 中，整数有_个，负分数有_3217，0.75，共 3 个32故答案为：4，36实数22，5，-8，32，9，中无理数有_个72【答案】3【分析】根据无理数的三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有 的数，找出无理数的个数即可【详解】解：根据无理数的定义可得5，32，答案为 3.7在实数是无理数，2123，8，0，16，0.101 001 000 1(相邻两个 1 之间依次多一个 0)中，有理数的32个数为 B，无理数的个数为 A，则 AB_【答案】-1【分析】根据无理数、有理数的定义即可得出A、B 的值，进而得出结论【详解】2，0.101 001 0001（相邻两个 1 之间多一个 0）是无理数，故 A=3238，0，16，是有理数，故 B=4，AB=34=113故答案为：1题组题组 C C培优拔尖练培优拔尖练1在实数A2 个【答案】A【分析】根据无理数的定义，找出其中的无理数即可【详解】解：在实数故选：A2在3，A3【答案】A【分析】根据有理数的分类进行分析即可求解【详解】解：-3 是负整数，故选：A22，8，0，38，3.14，中无理数有（）72B3 个C4 个D5 个22，8，0，38，3.14，中，无理数有8，共有 2 个；7221，0，2 四个数中，是负整数的是（）21BC02D21为负分数，0 为整数，2 为正整数23在711，3.33，2，0.04445555，0.9，127，3中，无理数的个数有（）222227B3 个C4 个D5 个A2 个【答案】B【分析】根据无理数的定义求解即可【详解】解：，0.04445555,0.9共 3 个无理数2故选 B.4下面关于“0”的叙述，正确的有()0 是正数与负数的分界；0 比任何正数都小；0 只表示没有；0 还常用来表示某种量的基准A1 个【答案】C【分析】根据 0 不是正数也不是负数，是自然数，是整数，是有理数的知识点找到正确选项即可【详解】0 是正数与负数的分界，正确；0 比任何正数都小，正确；在有理数中，0 的意义不仅表示没有，在进行运算时，0 还有表示占位的意义，0 还表示正整数与负整数的分界等，故错误；0 还常用来表示某种量的基准，正确正确的有 3 个故选 C5下列各数中，为负数的是（）A0.【答案】B【分析】根据小于 0 的数叫做负数解答即可【详解】B|-2|C(1)D|21B2 个C3 个D4 个A、0，不是负数，故本选项不符合题意；B、|-2|=-2 是负数，故本选项符合题意；C、(1)=1 是正数，故本不符合题意；D、|=是正数，故本选项不符合题意22故选 B0，5，3，0.31311311136 实数3（相邻两个 3 之间依次多一个 1），其中无理数的个数是（）8，9，A4【答案】B【分析】根据无理数的定义，可得答案【详解】在实数38，0，5，9，3，0.3131131113（相邻两个 3 之间依次多一个 1）中，无理数有：5，0.3131131113（相邻两个 3 之间依次多一个 1），共 2 个故选 B7下列实数中，是有理数的是（）A8【答案】B【分析】根据有理数和无理数的定义可得答案【详解】B2.020020002C3 4D3133111B2C1D31418,34,是无理数，2.020020002 是有理数4故选 B