天津市河西区2020-2021学年高一下学期期末考试数学试卷Word版含解析.pdf

2020-2021 学年天津市河西区高一（下）期末数学试卷数学试卷一、选择题（共一、选择题（共 9 9 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 3636 分）分）.1下列情况适合用全面调查的是（）A了解一批玉米种子的发芽率B了解某城市居民的食品消费结构C调查一个县各村的粮食播种面积D调查一条河的水质2下列命题正确的是（）A三点确定一个平面B一条直线和一个点确定一个平面C圆心和圆上两点可确定一个平面D梯形可确定一个平面3设 p：“事件 A 与事件 B 互斥”，q：“事件 A 与事件 B 互为对立事件”，则 p 是 q 的（）A充分而不必要条件C充要条件B必要而不充分条件D既不充分也不必要条件4一个袋子中有大小和质地相同的4 个球，其中有2 个红色球（标号为1 和 2），2 个绿色球（标号为 3 和 4），从袋中不放回地依次随机摸出2 个球，则该试验的样本空间所包含的基本事件的个数为（）A6B9C12D165已知m，n 为异面直线，m平面，n平面，若直线l 满足 1m，1n，l，l，则（）A，lB 与 相交，且交线平行于 lC，lD 与 相交，且交线垂直于 l6某路段检查站监控录像显示，在某时段内，有 1000 辆汽车通过该站，现在随机抽取其中200 辆汽车进行车速分析，分析的结果表示为如图所示的频率分布直方图，则估计在这一时段内通过该站的汽车中速度不低于90km/h 的约有（）A100 辆B200 辆C300 辆D390 辆7在空间，若AOBAOC60，BOC90，直线 OA 与平面 OBC 所成的角为，则 cos（）ABCD8演讲比赛共有 9 位评委分别给出某选手的原始评分评定该选手的成绩时，从9 个原始1 个最低分，评分中去掉 1 个最高分，得到 7 个有效评分.7 个有效评分与 9 个原始评分相比，不变的数字特征是（）A平均数B中位数C极差D方差9如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 是棱 CC1的中点，F 是侧面 BCC1B1内的动点，且 A1F 与平面 D1AE 的垂线垂直，则下列说法不正确的是（）AA1F 与 D1E 不可能平行BA1F 与 BE 是异面直线C点 F 的轨迹是一条线段D三棱锥 FABD1的体积为定值二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分请将答案填在题中横线上分请将答案填在题中横线上10某市有大型超市 200 家、中型超市 400 家、小型超市 1400 家为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100 的样本，应抽取中型超市家11一个古典概型的样本空间 和事件 A 和 B，其中n（）24，n（A）12，n（B）8，n（AB）16，则 P（AB）12已知平面，和直线 a，b，c，且 abc，a，b，c，则 与 的位置关系是13如表记录了一位大学生某个月在食品上面的消费金额（单位：元）日期1金额31日期16金额2822917283261830432193253320286282133734222683123359342434103425351135263012262728132728341435293115343029则该组数据的第 60%分位数为14一个袋子中有4 个红球，6 个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2 个球，则两次取到的球颜色相同的概率为15在正四棱锥 PABCD 中，已知侧棱和底面边长都等于 2，E 是 AB 的中点，则异面直线 PE 与 BC 所成角的余弦值为三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 3 3 小题，共小题，共 3434 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16某校为了解全校高中学生五一小长假参加实践活动的情况，抽查了 100 名学生，统计他们假期参加实践活动的时间，绘成的频率分布直方图如图所示（1）求这 100 名学生中参加实践活动时间在610 小时内的人数；（2）估计这 100 名学生参加实践活动时间的众数、中位数和平均数17甲、乙两位同学参加某高校的入学面试 入学面试中有 3 道难度相当的题目，已知甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第 3 次为止假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人互不影响（）求甲第二次答题通过面试的概率；（）求乙最终通过面试的概率；（）求甲、乙两人至少有一人通过面试的概率18如图，已知在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA平面 ABCD，PAAD1，AB2，E、F 分别是 AB、PD 的中点（）求证：AF平面 PEC；（）求 PC 与平面 ABCD 所成角的正弦值；（）求二面角 PECD 的正切值参考答案参考答案一、选择题（共一、选择题（共 9 9 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 3636 分）分）.1下列情况适合用全面调查的是（）A了解一批玉米种子的发芽率B了解某城市居民的食品消费结构C调查一个县各村的粮食播种面积D调查一条河的水质解：A了解一批玉米种子的发芽率适合抽样调查，故不符合题意；B了解某城市居民的食品消费结构合抽样调查，故不符合题意；C调查一个县各村的粮食播种面积适合抽样调查，故不符合题意；D调查一条河的水质适合全面调查，故符合题意；故选：D2下列命题正确的是（）A三点确定一个平面B一条直线和一个点确定一个平面C圆心和圆上两点可确定一个平面D梯形可确定一个平面解：由不共线的三点确定一个平面，故A 错误；由一条直线和该直线外一点确定一个平面，故B 错误；当圆心和圆上两点在圆的直径上，不能说明该三点确定一个平面，故C 错误；由于梯形是有一组对边平行的四边形，可得梯形确定一个平面，故D 正确故选：D3设 p：“事件 A 与事件 B 互斥”，q：“事件 A 与事件 B 互为对立事件”，则 p 是 q 的（）A充分而不必要条件C充要条件B必要而不充分条件D既不充分也不必要条件解：由对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，由条件 A 与条件 B 互斥，不一定有条件 A 与条件 B 互为对立事件，由条件 A 与条件 B 互为对立事件，一定有条件A 与条件 B 互斥p 是 q 的必要而不充分条件故选：B4一个袋子中有大小和质地相同的4 个球，其中有2 个红色球（标号为1 和 2），2 个绿色球（标号为 3 和 4），从袋中不放回地依次随机摸出2 个球，则该试验的样本空间所包含的基本事件的个数为（）A6B9C12D16解：由题意，该试验的样本空间所包含的基本事件有：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共 6 个，故选：A5已知m，n 为异面直线，m平面，n平面，若直线l 满足 1m，1n，l，l，则（）A，lB 与 相交，且交线平行于 lC，lD 与 相交，且交线垂直于 l解：如果，由m，可得 m，又 n，可得mn，与 m，n 为异面直线矛盾，故 A 错误；如果，又 m平面，n平面，由线面垂直和面面垂直的性质，可得mn，将 m，n 平移至相交直线，可得 l 垂直于相交直线确定的平面，可得l 可能平行于，故C 错误；平移 m，n 至相交直线，设相交直线确定的平面为，可得，由、相交，设交线为 n，可得 n，由 1m，1n，l，l，可得 l，所以 ln，故 B 正确；D 错误故选：B6某路段检查站监控录像显示，在某时段内，有 1000 辆汽车通过该站，现在随机抽取其中200 辆汽车进行车速分析，分析的结果表示为如图所示的频率分布直方图，则估计在这一时段内通过该站的汽车中速度不低于90km/h 的约有（）A100 辆B200 辆C300 辆D390 辆解：估计频率分布直方图可得速度不低于90km/h 的约有（0.03+0.009）101000390故选：D7在空间，若AOBAOC60，BOC90，直线 OA 与平面 OBC 所成的角为，则 cos（）ABCD解：如图，取 OA 上一点 A，过点 A 作 AH平面 BOC 于 H，连接 OH，则AOH 为直线 OA 与平面 OBC 所成的角，分别作 HEOB，交 OB 于点 E，HFOC，交 OC 于点 F，连接 AE、AF，得 AEOB，AFOC，因为AOBAOC60，OEAOFA，OAOA，所以OEAOFA，所以 AEAF，所以 EHFH，则 OH 为BOC 的角平分线，由BOC90，可得FOH45，则OFH45，所以OFH 为等腰直角三角形，令 OFa，则 OH所以 cosAOH即 cos故选：Aa，OA2a，8演讲比赛共有 9 位评委分别给出某选手的原始评分评定该选手的成绩时，从9 个原始1 个最低分，评分中去掉 1 个最高分，得到 7 个有效评分.7 个有效评分与 9 个原始评分相比，不变的数字特征是（）A平均数B中位数C极差D方差解：7 个有效评分与 9 个原始评分相比，平均数、极差、方差都有可能变化，9 个原始评分的中位数是从小到大排序后的第5 个数，7 个有效评分的中位数是从小到大排序后的第 4 个数，是同一个数，故选：B9如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 是棱 CC1的中点，F 是侧面 BCC1B1内的动点，且 A1F 与平面 D1AE 的垂线垂直，则下列说法不正确的是（）AA1F 与 D1E 不可能平行BA1F 与 BE 是异面直线C点 F 的轨迹是一条线段D三棱锥 FABD1的体积为定值解：设平面 D1AE 与直线 BC 交于 G，连接 AG，EG，则 G 为 BC 的中点，分别取 B1B，B1C1的中点 M，N，连接 A1M，MN，A1N，如图，A1MD1E，A1M平面 D1AE，D1E平面 D1AE，A1M平面 D1AE，同理可得 MN平面 D1AE，又 A1M、MN 是平面 A1MN 内的两条相交直线，平面 A1MN平面 D1AE，而 A1F平面 D1AE，A1F平面 A1MN，得点 F 的轨迹为一条线段，故C 正确；并由此可知，当 F 与 M 重合时，A1F 与 D1E 平行，故 A 错误；平面 A1MN平面 D1AE，BE 和平面 D1AE 相交，A1F 与 BE 是异面直线，故 B 正确；MNEG，则点 F 到平面 D1AE 的距离为定值，三棱锥 FABD1的体积为定值，故D 正确故选：A二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分请将答案填在题中横线上分请将答案填在题中横线上10某市有大型超市 200 家、中型超市 400 家、小型超市 1400 家为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100 的样本，应抽取中型超市20家解：大型超市 200 家、中型超市 400 家、小型超市 1400 家，共有超市 200+400+14002000，按分层抽样方法抽取一个容量为100 的样本，每个个体被抽到的概率是中型超市要抽取 400故答案为：2011一个古典概型的样本空间 和事件 A 和 B，其中n（）24，n（A）12，n（B）8，n（AB）16，则 P（AB）4解：n（A）12，n（B）8，n（AB）16，n（AB）n（A）+n（B）n（A20 家，B）4，P（AB）故答案为：12已知平面，和直线 a，b，c，且 abc，a，b，c，则 与 的位置关系是平行或相交解：若，可以保证存在直线 a，b，c 且 abc，a，b，c，若 l，且 abc，a，b，c，所以在题设条件下，与 的关系是平行或相交故答案为：平行或相交13如表记录了一位大学生某个月在食品上面的消费金额（单位：元）日期1金额31日期16金额2822917283261830432193253320286282133734222683123359342434103425351135263012262728132728341435293115343029则该组数据的第 60%分位数为32.5解：3060%18，该组数据的第 60%分位数为从小到大排序后第 18 与 19 个数据的平均数，由上表知，小于 30 的数据有 11 个，有 2 个 30，3 个 31，2 个 32，2 个 33，故第 18 与 19 个数据分别是 32、33，故该组数据的第 60%分位数为故答案为：32.514一个袋子中有4 个红球，6 个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2 个球，则两次取到的球颜色相同的概率为32.5，解：一个袋子中有 4 个红球，6 个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2 个球，基本事件总数 n10990，两次取到的球颜色相同包含的基本事件个数m43+6542，则两次取到的球颜色相同的概率为P故答案为：15在正四棱锥 PABCD 中，已知侧棱和底面边长都等于 2，E 是 AB 的中点，则异面直线 PE 与 BC 所成角的余弦值为解：取 CD 的中点 N，连接 EN，PN，再取 EN 的中点 H，易知 H 为 P 点在底面的投影，则有 PH平面 ABCD，如图所示，EFBC，PEH 为异面直线 PE 与 BC 所成角，PEPN，EN2，EH，在 RtPEH 中，cosPEH故答案为：三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 3 3 小题，共小题，共 3434 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16某校为了解全校高中学生五一小长假参加实践活动的情况，抽查了 100 名学生，统计他们假期参加实践活动的时间，绘成的频率分布直方图如图所示（1）求这 100 名学生中参加实践活动时间在610 小时内的人数；（2）估计这 100 名学生参加实践活动时间的众数、中位数和平均数解：（1）依题意，100 名学生中参加实践活动的时间在610 小时内的人数为：1001（0.04+0.12+0.05）258，即这 100 名学生中参加实践活动时间在610 小时内的人数为 58（2）由频率分布直方图可以看出最高矩形横轴上的中点为7，故这 100 名学生参加实践活动时间的众数的估计值为7 小时，由（0.04+0.12+0.15+a+0.05）21，解得 a0.14，则 6+，即这 100 名学生参加实践活动时间的中位数为7.2 小时，这 100 名学生参加实践活动时间的平均数为：0.0423+0.1225+0.1527+0.1429+0.052117.16 小时17甲、乙两位同学参加某高校的入学面试 入学面试中有 3 道难度相当的题目，已知甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第 3 次为止假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人互不影响（）求甲第二次答题通过面试的概率；（）求乙最终通过面试的概率；（）求甲、乙两人至少有一人通过面试的概率解：（）设甲第二次答题通过面试为事件A，则 p（A）（1）（）设乙最终通过面试为事件B，对立事件为乙最终没通过面试，p（）（1）（1）（1），p（B）1（）设甲、乙两人至少有一人通过面试为事件 C，对立事件为甲、乙两人都没有通过面试，p（）（1）（1）（1）p（C）1，18如图，已知在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA平面 ABCD，PAAD1，AB2，E、F 分别是 AB、PD 的中点（）求证：AF平面 PEC；（）求 PC 与平面 ABCD 所成角的正弦值；（）求二面角 PECD 的正切值【解答】（）证明：取PC 的中点 O，连接 OE，OF，则 OFDC，且 OFDC，又 E 为 AB 的中点，在矩形 ABCD 中，AEDC 且 AE所以 OFAE 且 OFAE，所以四边形 AEOF 为平行四边形，则 AFOE，又 AF平面 PEC，OE平面 PEC，所以 AF平面 PEC；（）解：连接 AC，因为 PA平面 ABCD，所以PCA 即为直线 PC 与平面 ABCD 所成的角，在 RtPAC 中，PC2PA2+AC2，且，故，；所以 PC 与平面 ABCD 所成角的正弦值为（）解：作 AMCE 交 CE 的延长线于点 M，连接 PM，则 PMCE，所以PMA 即为二面角 PECD 的平面角，由AMECBE，则所以，故二面角 PECD 的正切值为