2022考研数学三真题及答案4.pdf
20222022 考研数学三真题及答案考研数学三真题及答案一、选择题1 8 小题，每题 4 分，共 32 分。以下每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。(1)曲线渐近线的条数为(A)0 (B)1(C)2 (D)3【答案】C。【解析】由得由,是曲线的一条程度渐近线且曲线没有斜渐近线；得是曲线的一条垂直渐近线；由得不是曲线的渐近线；综上所述，此题正确答案是C【考点】高等数学一元函数微分学函数图形的凹凸、拐点及渐近线(2)设函数(A)(C)【答案】A【解析】【方法 1】令,那么(D)(B),其中 为正整数，那么故应选 A.【方法 2】由于,由导数定义知.【方法 3】排除法，令,那么那么(B)(C)(D)均不正确综上所述，此题正确答案是(A)【考点】高等数学一元函数微分学导数和微分的概念(3)设函数连续，那么二次积分(A)(B)(C)(D)【答案】B。【解析】令,由,那么所对应的直角坐标方程为。所对应的直角坐标方程为的积分区域得在直角坐标下的表示为所以综上所述，此题正确答案是(B)。【考点】高等数学多元函数微积分学二重积分的概念、根本性质和计算(4)级数绝对收敛，级数条件收敛，那么(A)(B)(C)【答案】D。【解析】(D)由级数,即绝对收敛，且当时，故由级数条件收敛，知综上所述，此题正确答案是(D)【考点】高等数学无穷级数数项级数敛散性的断定(5)设以下向量组线性相关的为(A)(C)【答案】C。【解析】个 维向量相关 (B)(D),其中为任意常数，那么显然所以必线性相关综上所述，此题正确答案是(C)。【考点】线性代数向量向量组的线性相关和线性无关(6)设 为 3 阶矩阵，为 3 阶可逆矩阵，且.假设,那么(A)(B)(C)(D)【答案】B。【解析】由于 经列变换(把第 2 列加至第 1 列)为，有那么综上所述，此题正确答案是(B)。【考点】线性代数矩阵矩阵运算、初等变换(7)设随机变量互相独立，且都服从区间上的均匀分布，那么(A)(B)(C)(D)【答案】D。【解析】而即是在正方形实际上就是单位圆综上所述，此题正确答案是D。上等于常数 1，其余地方均为 0，1 在第一象限的面积。【考点】概率论与数理统计多维随机变量的分布二维随机变量分布(8)设布为(A)(C)(B)(D)为来自总体的简单随机样本，那么统计量的分【答案】B。【解析】1，故；2，故，,3，与互相独立。与也互相独立，所以综上所述，此题正确答案是B。【考点】概率论与数理统计数理统计的概念二、填空题9 14 小题，每题 4 分，共 24 分。(9)。【答案】。型极限，由于【解析】这是一个所以【考点】高等数学函数、极限、连续两个重要极限(10)设函数,那么。【答案】【解析】可看做,与的复合，当时由复合函数求导法那么知【考点】高等数学一元函数微分学导数和微分的概念(11)设连续函数。【答案】【解析】满足,那么由，且连续，可得,且,由可微的定义得,即【考点】高等数学多元函数的微分学多元函数偏导数的概念与计算(12)由曲线【答案】【解析】曲线为和直线及在第一象限中围成的平面域如以下列图，那么所围面积和直线及在第一象限中围成的平面图形的面积为。【考点】高等数学一元函数积分学定积分的应用(13)设 为 3 阶矩阵，那么【答案】-27【解析】【方法 1】两行互换两列互换 变成，所以么【方法 2】根据题意,再由行列式乘法公式及，那。为 的伴随矩阵。假设交换 的第 1 行与第 2 行得到矩阵，即那么从而【考点】线性代数行列式行列式的概念和根本性质线性代数矩阵伴随矩阵，矩阵的初等变换(14)设是随机事件，互不相容，那么。【答案】【解析】互不相容，自然有,当然更有，所以【考点】概率论与数理统计随机事件和概率事件的关系与运算，概率的根本公式，事件的独立性三、解答题：(15)求极限【解析】【方法 1】小题，共 94 分。解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤。(等价无穷小代换)(洛必达法那么)【方法 2】(等价无穷小代换)(泰勒公式)【方法 3】(拉格朗日中值定理)(洛必达法那么)()【考点】高等数学函数、极限、连续无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四那么运算高等数学一元函数微分学微分中值定理，洛必达(LHospital)法那么(16)计算二重积分【解析】其中 是以曲线及 轴为边界的无界区域。【考点】高等数学一元函数积分学不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法高等数学多元函数微积分学二重积分的概念、根本性质和计算(17)某企业为消费甲、乙两种型号的产品投入的固定本钱为10000万元。设该企业消费甲、乙两种产品的产量分别是(件)和件，且这两种产品的边际本钱分别为元/件)与(万元/件).(万元)；(万(I)求消费甲、乙两种产品的总本钱函数(II)当总产量为 50 件时，甲、乙两种产品的产量各为多少时可使总本钱最小？求最小本钱；(III)求总产量为 50 件且总本钱最小时甲产品的边际本钱，并解释经济意义。【解析】(I)总本钱函数(II)由题意知，求在万元时的最小值，构造拉格朗日函数解方程组得.因可能极值点唯一，且实际问题存在最小值，故总产量为50 件时，甲乙两种产品的产量分别是 24,26 时可使总本钱最小，且此时投入总费用(万元)(III)甲产品的边际本钱函数：时甲产品的边际本钱其经济意义为：当甲乙两种产品的产量分别是24,26 时，假设甲的产量每增加一件，那么总本钱增加 32 万元。,于是，当总产量为 50 件且总本钱最小(18)证明：【解析】【方法 1】记,那么当单调增加。又因为于是从而当即【方法 2】记显然，由于时，由于,所以,从而，所以，当是函数在时，时，内的最小值。;当时，,是偶函数，因此只要证明从而有有那么当时，即【考点】高等数学一元函数微分学导数和微分的概念，导数和微分的四那么运算，函数单调性的判别，函数的极值(19)函数(I)求满足方程的表达式；的拐点。及(II)求曲线【解析】(I)联立得,因此代入(II)，得,所以当时，;当时，,又,所以曲线的拐点为【考点】高等数学一元函数微分学导数和微分的概念，导数和微分的四那么运算，函数单调性的判别，函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(20)设,.(I)计算行列式；有无穷多解，并求其通解。(II)当实数 为何值时，方程组【解析】(I)按第一列展开,(II)当假设时，方程组有无穷多解，由上可知或方程组无解，舍去当时，方程组有无穷多解，取 为自由变量，得方程组通解为为任意常数【考点】线性代数线性方程组线性方程组有解和无解的断定，非齐次线性方程组的通解(21),二次型的秩为 2(I)务实数 的值；(II)求正交变换【解析】(I)因为,对 做初等行变换将 化为标准形。,所以，当时，(II)由于，所以，矩阵的特征多项式为，于是当的特征值为时，由方程组；,可得到属于的一个单位特征向量当时，由方程组；,可得到属于的一个单位特征向量当时，由方程组。,可得到属于的一个单位特征向量令,那么 在正交变换下的标准形为【考点】线性代数矩阵矩阵的特征值和特征向量的概念、性质线性代数二次型二次型的标准形和标准形，用正交变换和配方法化二次型为标准形(22)设二维离散型随机变量0的概率分布为0121002；.(I)求(II)求【解析】(I)(II)由的概率分布可得所以所以【考点】概率论与数理统计随机变量的数字特征随机变量的数学期望(均值)、方差、标准差及其性质(23)设随机变量互相独立，且都服从参数为1 的指数分布，记.(I)求 的概率密度(II)求【解析】(I)当(II)【考点】概率论与数理统计随机变量及其分布常见随机变量的分布，连续型随机变量的概率密度，随机变量函数的分布概率论与数理统计随机变量的数字特征随机变量的数学期望(均值)、方差、标准差及其性质时，.；
