第1章函数与极限第一节精.ppt

第1章函数与极限第一节1第1页，本讲稿共60页(Mapping and Function)第一节第一节 映射与函数映射与函数一、集合(Set):Set):1.1.集合概念集合概念 集合是现代数学的一个基本概念之一，无法用数学语言精集合是现代数学的一个基本概念之一，无法用数学语言精确定义，只能用描述的方法来说明。确定义，只能用描述的方法来说明。所谓所谓集合集合，是把一些确定的、彼此不同的研究对象，是把一些确定的、彼此不同的研究对象视为一个整体。视为一个整体。组成集合的每个个体，称为这个集合的组成集合的每个个体，称为这个集合的元素元素。元素与集合有以下两种关系：元素与集合有以下两种关系：两者必居其一，且只居其一。两者必居其一，且只居其一。2第2页，本讲稿共60页集合的表示方法主要有列举法和描述法。集合的表示方法主要有列举法和描述法。常用数集常用数集:N-自然数集自然数集Z-整数集整数集Q-有理数集有理数集R-实数集实数集数集间的关系数集间的关系:不含任何元素的集合称为不含任何元素的集合称为空集空集，规定规定空集为任何集合的子集空集为任何集合的子集.列举法：列举法：描述法：描述法：3第3页，本讲稿共60页2.2.集合的运算集合的运算 集合的运算规律：集合的运算规律：定义：设集合定义：设集合A,B为集合，规定下列运算：为集合，规定下列运算：，其中，其中I是是全集全集。4第4页，本讲稿共60页3.3.区间和邻域区间和邻域开区间开区间闭区间闭区间左闭右开区间左闭右开区间左开右闭区间左开右闭区间5第5页，本讲稿共60页无穷区间无穷区间6第6页，本讲稿共60页邻域邻域记作记作7第7页，本讲稿共60页1.1.映射概念映射概念二、映射二、映射(Mapping)8第8页，本讲稿共60页对应法则对应法则f1 1）映射的三要素）映射的三要素:定义域、对应法则和值域的范围定义域、对应法则和值域的范围说明：说明：9第9页，本讲稿共60页10第10页，本讲稿共60页满射、单射和双射满射、单射和双射 如上例中，例如上例中，例1既不是单射，也不是满射；例既不是单射，也不是满射；例2是满是满射，不是单射；例射，不是单射；例3是双射。是双射。11第11页，本讲稿共60页注意：只有单射才存在逆映射。注意：只有单射才存在逆映射。3.3.逆映射与复合映射逆映射与复合映射12第12页，本讲稿共60页如如：13第13页，本讲稿共60页1 1、函数概念、函数概念三、函数三、函数（Function)自变量自变量因变量因变量14第14页，本讲稿共60页1 1）函数的两要素函数的两要素:定义域和对应法则定义域和对应法则例例1 1 判断下列各对函数是否相同？判断下列各对函数是否相同？相同相同不同不同(定义域不同定义域不同)不同不同(对应法则不同对应法则不同)相同相同不同不同(定义域不同定义域不同)15第15页，本讲稿共60页定义域的确定定义域的确定：1.根据实际问题；根据实际问题；2.自然定义域：使算式有意义的一切实数值自然定义域：使算式有意义的一切实数值.如何求函数的自然定义域？如何求函数的自然定义域？(a)分式的分母不等于零；分式的分母不等于零；(b)偶次根号内的式子应大于或等于零；偶次根号内的式子应大于或等于零；(c)对数的真数应大于零；对数的真数应大于零；(e)若函数的表达式由多项组成若函数的表达式由多项组成,则定义域为各项定义域的则定义域为各项定义域的交集；交集；(f)分段函数的定义域是各段定义域的并集分段函数的定义域是各段定义域的并集.16第16页，本讲稿共60页例例2 2 求下列函数的求下列函数的(自然自然)定义域。定义域。因此，函数的定义域为因此，函数的定义域为解解即定义域为即定义域为17第17页，本讲稿共60页因此，函数的定义域为因此，函数的定义域为18第18页，本讲稿共60页如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数称为数值总是只有一个，这种函数称为单值函数单值函数，否则称为，否则称为多值函数多值函数3)函数的表示方法函数的表示方法：1）表格法）表格法2）图形法）图形法3）解析法）解析法(公式法公式法)2）单值函数与多值函数）单值函数与多值函数多值函数多值函数19第19页，本讲稿共60页20第20页，本讲稿共60页在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同对应法则用不同的的式子来表示的函数式子来表示的函数,称为称为分段函数分段函数.分段函数分段函数（Piecewise-defined Functions)21第21页，本讲稿共60页这也是分段函数，其定义域为这也是分段函数，其定义域为 yOx11-12-2-122第22页，本讲稿共60页解解例例3 323第23页，本讲稿共60页 1)符号函数符号函数1-1xyo几个分段函数的例子几个分段函数的例子.24第24页，本讲稿共60页 1 2 3 4 5 -2-4-4-3-2-1 4 3 2 1 -1-3xyo2)取整函数取整函数 y=xx表示不超过表示不超过 的最大整数的最大整数.25第25页，本讲稿共60页3)狄利克雷函数狄利克雷函数(Dirichlet)o有理数点有理数点无理数点无理数点1xy26第26页，本讲稿共60页2.2.函数的几种特性函数的几种特性1）有界性）有界性(Boundedness):Ox yba y=f(x)M-M27第27页，本讲稿共60页 例如，例如，因为存在因为存在 M=1，使对任意使对任意x(-,+)，有有|sin x|1，所以所以 y=sinx是是(-,+)内的有界函数。内的有界函数。O123123456789yx28第28页，本讲稿共60页2）单调性）单调性(Monotonicity):xyo29第29页，本讲稿共60页xyo30第30页，本讲稿共60页例如例如,函数函数y=x3在在(-,+)内单调增加。内单调增加。x yOy=x3-1-1 而而函函数数y=2x2+1在在区区间间(-,0内内单单调调减减少少；在在区区间间0,+)内单调增加。内单调增加。-2O22468 yxy=2x2+131第31页，本讲稿共60页3）奇偶性）奇偶性(Odd and Even):偶函数偶函数偶函数的图形关于偶函数的图形关于y轴对称。轴对称。yxox-x32第32页，本讲稿共60页奇函数奇函数 奇函数的图形关于原点对称。奇函数的图形关于原点对称。yxox-x33第33页，本讲稿共60页例例 判断下列函数的奇偶性：判断下列函数的奇偶性：偶函数偶函数非奇非偶非奇非偶偶函数偶函数奇函数奇函数奇函数奇函数奇函数奇函数34第34页，本讲稿共60页4）周期性）周期性(Periodicity):（通常周期函数的周期是指其（通常周期函数的周期是指其最小正周期最小正周期）.35第35页，本讲稿共60页 定义定义 设函数设函数y=f(x)的定义域为的定义域为D，值域为值域为Z。如果对于每个如果对于每个 y Z，存在唯一存在唯一x D，使使 f(x)=y，则则 x是一个定义在是一个定义在Z上的函上的函数，称为数，称为y=f(x)的反函数，记为的反函数，记为x=f-1(y)。函数函数y=f(x)与函数与函数x=f-1(y)是互为反函数。是互为反函数。将将x与与y互换，就得所求反函数为互换，就得所求反函数为例例1 1 求求y=3x-1的反函数。的反函数。解解3 3、反函数与复合函数、反函数与复合函数反函数反函数(Inverse Functions)36第36页，本讲稿共60页 直接函数与反函数的图形关于直线直接函数与反函数的图形关于直线 对称对称.37第37页，本讲稿共60页 例例如如，在在(-,+)内内，y=x2 不不是是一一一一对对应应的的函函数数关关系系，所所以以它它没有反函数。没有反函数。一个函数若有反函数，它必定一个函数若有反函数，它必定是一一对应的函数关系。是一一对应的函数关系。在在(0,+)内内y=x2有反函数有反函数 在在(-,0)内，内，y=x2有反函数有反函数 x yO-1-1x yOy=x2x-x y38第38页，本讲稿共60页如如：可看作由可看作由复合而成。复合而成。注：不是任何函数都可以复合成一个函数。注：不是任何函数都可以复合成一个函数。设设 y=f(u)=arcsin u，u=g(x)=2+x2，不能复合。不能复合。复合函数复合函数 (Composite Functions)39第39页，本讲稿共60页 例例2 2 设设f(x)的定义域为的定义域为0,1，问，问(1)f(x2)，(2)f(x+a)(a0)的定义域各是什么？的定义域各是什么？所以所以f(x+a)的定义域为的定义域为-a,1-a。(2)令令0 x+a 1，得得-a x 1-a，所以所以f(x2)的定义域为的定义域为-1,1。(1)令令0 x2 1，得得-1 x 1，解解40第40页，本讲稿共60页注意复合次序：注意复合次序：关键是要掌握把一个复杂的函数分解为几个简关键是要掌握把一个复杂的函数分解为几个简单函数的复合或四则运算。单函数的复合或四则运算。41第41页，本讲稿共60页 幂函数的定义域随幂函数的定义域随a而异，但而异，但不论不论 a 为何值为何值,它在它在(0,+)内内总有定义。幂函数图形都经过总有定义。幂函数图形都经过(1,1)点。点。常见的幂函数及其图形：常见的幂函数及其图形：-2-1O12x-2-112 y y=x2y=x3y=x12-y=x13-1）幂函数幂函数(Power Function)4、基本初等函数、基本初等函数(Basic Elementary Functions)42第42页，本讲稿共60页 定义域为定义域为(-,+)，值域为，值域为(0,+)，都，都通过通过(0,1)点。当点。当a1时，函数单调增加；时，函数单调增加；当当0a1 时时,函数单函数单调增加；当调增加；当 0a1时时,函数单调减少。函数单调减少。3）对数函数对数函数(Logarithmic Function)44第44页，本讲稿共60页正弦函数正弦函数余弦函数余弦函数 y=sin x与与y=cos x的定义域均为的定义域均为(-,+)，均以，均以2p p为为周期。周期。y=sin x为为奇函数奇函数，y=cos x为为偶函数偶函数。它们都是。它们都是有界函数有界函数。4）三角函数三角函数(Trigonometric Function)45第45页，本讲稿共60页定义域定义域:x(2n+1)p p/2。周期周期:p p。奇函数。奇函数。x-4-224 y-ppOx-4-224 y-ppO正切函数正切函数定义域定义域:x np p。周期周期:p p。奇函数。奇函数。余切函数余切函数46第46页，本讲稿共60页正割函数正割函数余割函数余割函数47第47页，本讲稿共60页xO y-115）反三角函数反三角函数(Anti-Trigonometric Function)48第48页，本讲稿共60页xO y-11p49第49页，本讲稿共60页xy50第50页，本讲稿共60页反余切函数反余切函数51第51页，本讲稿共60页反三角函数值的确定：反三角函数值的确定：求求 arcsin x 值的方法：值的方法：例例1 1例例2 2类似地有类似地有52第52页，本讲稿共60页 幂函数幂函数,指数函数指数函数,对数函数对数函数,三角函数和反三三角函数和反三角函数统称为基本初等函数。角函数统称为基本初等函数。由基本初等函数经过有限次的四则运算或复合运算得由基本初等函数经过有限次的四则运算或复合运算得到的一切函数统称为初等函数到的一切函数统称为初等函数.本本课课程程讨论讨论的函数的函数绝绝大多数都是初等函数大多数都是初等函数.5 5、初等函数、初等函数(Elementary Functions)53第53页，本讲稿共60页双曲函数与反双曲函数双曲函数与反双曲函数奇函数奇函数.偶函数偶函数.1、双曲函数、双曲函数(Hyperbolic Function and anti-Hyperbolic Function)54第54页，本讲稿共60页,奇函数奇函数,有界函数有界函数55第55页，本讲稿共60页双曲函数常用公式双曲函数常用公式56第56页，本讲稿共60页2 2、反双曲函数反双曲函数奇函数奇函数,57第57页，本讲稿共60页58第58页，本讲稿共60页奇函数奇函数,59第59页，本讲稿共60页练习：练习：P21 习题习题1-16.(1)(3)(6)(7)7.12.14.(2)(6)17.(1)(2)18.60第60页，本讲稿共60页