2021-2022学年高二物理竞赛课件：近自由电子近似.pptx

近自由电子近似 模型：模型：假定周期场起伏较小，而电子的平均动能比其势能的假定周期场起伏较小，而电子的平均动能比其势能的绝对值大得多。作为零级近似，用势能的平均值绝对值大得多。作为零级近似，用势能的平均值V0 0代替代替V(x)，把把周期性起伏周期性起伏V(x)-)-V0 0作为微扰来处理。作为微扰来处理。一维弱周期场的解1.势场(a为晶格常量为晶格常量)近自由电子近似“”表示求和表示求和不包括不包括n=0=0项项我们取我们取V0 0=0=0。由于势能是实数由于势能是实数,可得关系式：可得关系式：2.零级近似解按照微扰理论按照微扰理论,哈密顿量写成哈密顿量写成由由计入微扰后计入微扰后本征值的一级和二级修正为本征值的一级和二级修正为：波函数的一级修正为波函数的一级修正为将将 带入带入可以证明：可以证明：利用：利用：做变量代换计入微扰后计入微扰后:上式右端第一部分为平面波，第二部分为电子在行进过程中上式右端第一部分为平面波，第二部分为电子在行进过程中遭受到起伏势场的散射作用所产生的散射波，各散射波的振幅为：遭受到起伏势场的散射作用所产生的散射波，各散射波的振幅为：因为它的振幅已足够大，因为它的振幅已足够大，当当时，时，这时散射波不能再忽略，这时散射波不能再忽略，此时此时 出现能量简并，需用出现能量简并，需用简并微扰计算。简并微扰计算。事实上，当波矢接近布拉格反射条件时，即事实上，当波矢接近布拉格反射条件时，即零级波函数也必须写成两波的线性组合。零级波函数也必须写成两波的线性组合。零级近似的波函数应该是这两个波的线性组合零级近似的波函数应该是这两个波的线性组合当当时，时，零级波函数利用利用得到得到将上式分别左乘将上式分别左乘将波函数代入薛定谔方程将波函数代入薛定谔方程本征值利用：利用：得：得：要使要使A，B有非零解，必须满足有非零解，必须满足由此求得由此求得 代表自由电子在代表自由电子在 状态的动能。状态的动能。(1)(1)(2)(2)由于由于 是小量，是小量，(1)(1)式只适用于禁带之上的能带底部，而式只适用于禁带之上的能带底部，而(2)(2)式则只适用于禁带之下的能带顶部。式则只适用于禁带之下的能带顶部。在能带底部，能量随波矢k的变化关系是向上弯曲的抛物线；而在能带顶部，则是向下弯曲的抛物线。(1)(1)(2(2)当当=0=0时：时：禁带宽度：禁带宽度：(1)(1)(2(2)(1)(1)在在k=n/a处处(布里渊区边界上），电子的能量出现禁带，布里渊区边界上），电子的能量出现禁带，禁带宽度为禁带宽度为 ；(2)(2)在在k=n/a附近，能带底部电子能量与波矢的关系是向附近，能带底部电子能量与波矢的关系是向上弯曲的抛物线，能带顶部是向下弯曲的抛物线；上弯曲的抛物线，能带顶部是向下弯曲的抛物线；(3)(3)在在k远离远离n/a处，电子的能量与自由电子的能量相近。处，电子的能量与自由电子的能量相近。利用以上特点，可以画出在波矢空间近自由电子的能带。利用以上特点，可以画出在波矢空间近自由电子的能带。结论：结论：(1)(1)(2(2)(a)a)扩展区图：在不同的布里渊区画出不同的能带。扩展区图：在不同的布里渊区画出不同的能带。能带的三种图示法禁带禁带 (c)c)周期区图：在每一个布里渊区中周期性地画出所有能带周期区图：在每一个布里渊区中周期性地画出所有能带(强调任一特定波矢强调任一特定波矢k的能量可以用和它相差的能量可以用和它相差Kh的波矢来描述的波矢来描述)。(b)b)简约区图：将不同能带平移适当的倒格矢进入到第一简约区图：将不同能带平移适当的倒格矢进入到第一布里渊区内表示布里渊区内表示(在简约布里渊区内画出所有的能带在简约布里渊区内画出所有的能带)。电子能带的三种图示法电子能带的三种图示法禁禁带带允许带允许带允许带允许带允许带允许带扩展区图扩展区图