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合情推理之类比推理第1页，本讲稿共46页定义定义根据一个或几个已知的判断来确定一个根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程就叫新的判断的思维过程就叫推理推理.已知已知判断判断前提新的新的判断判断结论第2页，本讲稿共46页 由某类事物的由某类事物的 具有某些特征具有某些特征,推出该类事物的推出该类事物的 都具有这些特征都具有这些特征的推理的推理,或者由或者由 概括出概括出 的推理的推理,称为称为归纳推理归纳推理(简称归纳简称归纳).).部分对象部分对象全部对象全部对象个别事实个别事实一般结论一般结论简言之：由简言之：由部分部分到到整体整体，由，由个别个别到到一般一般的推理的推理1、定义、定义第3页，本讲稿共46页归纳推理的基础归纳推理的基础归纳推理的作用归纳推理的作用归纳推理归纳推理观察、分析发现新事实、获得新结论由部分到整体、个别到一般的推理注意注意归纳推理的结论不一定成立第4页，本讲稿共46页 合情推理是地球上合情推理是地球上最美丽的思维花朵之一最美丽的思维花朵之一!第5页，本讲稿共46页自学检测自学检测C第6页，本讲稿共46页除了归纳，在人们的创造发明活动中，还常常除了归纳，在人们的创造发明活动中，还常常应用类比。例如：应用类比。例如：2.2.人们仿照鱼类的外型和它们在人们仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理水中沉浮的原理,发明了潜水艇发明了潜水艇.1.1.古代工匠鲁班类比带齿的草叶古代工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿和蝗虫的牙齿,发明了锯发明了锯4、火星上是否存在生命？、火星上是否存在生命？引入：引入：3.3.苍蝇的眼睛是一种苍蝇的眼睛是一种“复眼复眼”，由，由30003000多只小眼组成，人们模仿它制多只小眼组成，人们模仿它制成了成了“蝇眼透镜蝇眼透镜”，一次就能，一次就能照出千百张相同的相片。照出千百张相同的相片。第7页，本讲稿共46页可能有生命存在可能有生命存在有生命存在有生命存在温度适合生物的生存温度适合生物的生存一年中有四季的变更一年中有四季的变更一年中有四季的变更一年中有四季的变更有大气层有大气层有大气层有大气层大部分时间的温度适合地大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存球上某些已知生物的生存一年中有四季的变更一年中有四季的变更有大气层有大气层行星、围绕太阳运行、绕行星、围绕太阳运行、绕轴自转轴自转行星、围绕太阳运行、绕轴自行星、围绕太阳运行、绕轴自行星、围绕太阳运行、绕轴自行星、围绕太阳运行、绕轴自转转转转火星火星火星火星地球地球地球地球第8页，本讲稿共46页科学家做出上述猜想的推理过程是怎样的？科学家做出上述猜想的推理过程是怎样的？首先，首先，科学家对比了火星与地球之间的某些相似特征，科学家对比了火星与地球之间的某些相似特征，然后，然后，从地球的一个已知特征（有生命存在）出发，猜测火星从地球的一个已知特征（有生命存在）出发，猜测火星也可能具有这个特征。也可能具有这个特征。A类事物具有性质类事物具有性质a,b,c,dB类事物具有性质类事物具有性质a,b,c,(a,b,c与与a,b,c相似或相同）相似或相同）所以所以B类事物可能具有性质类事物可能具有性质d.第9页，本讲稿共46页 由由两类对象两类对象具有具有某些某些类似特征类似特征和其中和其中一类对象的一类对象的某些某些已知特征已知特征,推出推出另一类对另一类对象也象也具有具有这些特征这些特征的推理称为的推理称为类比推理类比推理.注意：（注意：（1）类比推理是由）类比推理是由特殊到特殊特殊到特殊的推理的推理（2）类比推理的）类比推理的结论结论不一定成立不一定成立.（3 3）类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特）类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性殊属性.第10页，本讲稿共46页例例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。、试根据等式的性质猜想不等式的性质。等式的性质：等式的性质：(1)a=ba+c=b+c;(2)a=b ac=bc;(3)a=ba2=b2;等等。等等。猜想不等式的性质：猜想不等式的性质：(1)aba+cb+c;(2)ab acbc;(3)aba2b2;等等。等等。类比推理的结论不一定成立类比推理的结论不一定成立.第11页，本讲稿共46页推广：推广：第12页，本讲稿共46页平面向量空间向量若若 ，则则 若若 ，则则 2.2.利用利用平面向量平面向量的性质类比得的性质类比得空间向量空间向量的性质的性质第13页，本讲稿共46页等差数列等比数列定义通项公式前n项和3.利用等差数列性质类比等比数列性质利用等差数列性质类比等比数列性质第14页，本讲稿共46页等差数列等比数列中项性质n+m=p+q时时,am+an=ap+aqn+m=p+q时时,aman=apaq任意实数任意实数a、b都有等差都有等差中项中项，为，为当且仅当当且仅当a、b同号时才有等同号时才有等比中项比中项，为，为成等差数列成等差数列成等比数列成等比数列下标等差下标等差,项等差项等差下标等差下标等差,项等比项等比第15页，本讲稿共46页例例2.第16页，本讲稿共46页第17页，本讲稿共46页成立D第18页，本讲稿共46页【练习练习】1、推测推测第19页，本讲稿共46页练习：练习：第20页，本讲稿共46页题型1.类比概念 类比某些熟悉的概念，产生的类比推理型试题；在类比某些熟悉的概念，产生的类比推理型试题；在求解时可以借助原概念所涉及的基本方法与基本思路。求解时可以借助原概念所涉及的基本方法与基本思路。例例1.等和数列的定义是：若数列等和数列的定义是：若数列an从第二项起，以后从第二项起，以后每一项与前一项的和都是同一常数，则此数列叫做等和每一项与前一项的和都是同一常数，则此数列叫做等和数列，这个常数叫做等和数列的公和；如果数列数列，这个常数叫做等和数列的公和；如果数列an是等是等和数列，且和数列，且a1=1，a2=2，写出数列，写出数列an的一个通项公式为的一个通项公式为 ；分析：分析：由定义知公和为由定义知公和为3，且，且那么那么第21页，本讲稿共46页试将平面上的圆和空间里的球进行类比试将平面上的圆和空间里的球进行类比球球.合作探究1.类似特征类似特征圆圆是平面内封闭的曲线所围成的对称图形是平面内封闭的曲线所围成的对称图形 球球是空间中封闭的曲面所围成的对称图形是空间中封闭的曲面所围成的对称图形.圆圆球球的定义：空间里，到定点的距离等于定长的点的集合的定义：空间里，到定点的距离等于定长的点的集合圆圆的定义：平面内，到定点的距离等于定长的点的集合的定义：平面内，到定点的距离等于定长的点的集合第22页，本讲稿共46页 弦弦 直径直径 切线切线 周长周长 面积面积试将平面上的圆和空间里的球进行类比试将平面上的圆和空间里的球进行类比截面圆截面圆过球心的截面圆过球心的截面圆(大圆大圆)切面切面表面积表面积 体积体积球球.合作探究2.类比类比.圆圆第23页，本讲稿共46页圆的概念和性质圆的概念和性质球的概念和性质球的概念和性质与圆心距离相等的两弦相等与圆心距离相等的两弦相等与圆心距离不相等的两弦不相等与圆心距离不相等的两弦不相等,距圆心较近的弦较长距圆心较近的弦较长以点以点(x(x0 0,y,y0 0)为圆心为圆心,r,r为半径的圆为半径的圆的方程为的方程为(x-x(x-x0 0)2 2+(y-y+(y-y0 0)2 2=r=r2 2圆心与弦圆心与弦(非直径非直径)中点的连线垂中点的连线垂直于弦直于弦球心与不过球心的截面球心与不过球心的截面(圆面圆面)的圆的圆心的连线垂直于截面心的连线垂直于截面与球心距离相等的两截面面积相等与球心距离相等的两截面面积相等与球心距离不相等的两截面面积与球心距离不相等的两截面面积不相等不相等,距球心较近的面积较大距球心较近的面积较大以点以点(x(x0 0,y,y0 0,z,z0 0)为球心为球心,r,r为半径的为半径的球的方程为球的方程为(x-x(x-x0 0)2 2+(y-y+(y-y0 0)2 2+(z-z+(z-z0 0)2 2=r=r2 2球的体积球的体积球的表面积球的表面积圆的周长圆的周长 圆的面积圆的面积.利用圆的性质类比得出球的性质利用圆的性质类比得出球的性质 合作探究第24页，本讲稿共46页平面图形与立体图形间的类比平面图形与立体图形间的类比平面图形立体图形点直线边长面积三角形线线角直线直线平面平面面积面积体积体积四面体四面体(三棱锥三棱锥)二面角二面角第25页，本讲稿共46页平面三角形空间四面体三角形两边之和大于第三边三角形面积=等边三角形内任意一点到三边距离之和等于定值，这个定值就是三角形的高空间四面体三个面的面积之和空间四面体三个面的面积之和空间四面体三个面的面积之和空间四面体三个面的面积之和大于第四个面的面积大于第四个面的面积大于第四个面的面积大于第四个面的面积空间四面体的体积空间四面体的体积=正四面体内任意一点到四个面正四面体内任意一点到四个面正四面体内任意一点到四个面正四面体内任意一点到四个面的距离之和等于定值，这个定的距离之和等于定值，这个定的距离之和等于定值，这个定的距离之和等于定值，这个定值就是正四面体的高值就是正四面体的高值就是正四面体的高值就是正四面体的高平面三角形和空间四面体的类比平面三角形和空间四面体的类比第26页，本讲稿共46页直角三角形C902条直角边a，b和1条斜边c3个面两两垂直的四面体个面两两垂直的四面体PDFPDFPDEPDEEDFEDF9090三个两两垂直的面三个两两垂直的面S S1 1，S S2 2，S S3 3和和1 1个个“斜面斜面”S S例：例：类比平面内直角三角形的勾股定理，类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想。试给出空间中四面体性质的猜想。ABCbacs1s3PEF的面积为的面积为SPEs2DF？c2=a2+b2分析分析分析分析：第27页，本讲稿共46页1.在三角形在三角形ABC中有结论：中有结论：AB+BCAC，类似地在四面体类似地在四面体P-ABC中中有有.PABCS1S2S3PAB的面积为的面积为S课堂检测：课堂检测：第28页，本讲稿共46页1.1.若三角形内切圆半径为若三角形内切圆半径为 ,三边长为三边长为 则三角则三角形的面积为形的面积为 ,根据类比思根据类比思想想,若空间四面体内切球的半径为若空间四面体内切球的半径为 ,四个面的面四个面的面积分别为积分别为 ,则四面体的体积为则四面体的体积为 变式训练第29页，本讲稿共46页s1s2s3分析第30页，本讲稿共46页1.1.如图，在平行四边形如图，在平行四边形 中，有中，有 那么，在平行六面体那么，在平行六面体 中，有中，有 练习：练习：运用类比法的关键是：寻找一个合适的类比对象运用类比法的关键是：寻找一个合适的类比对象第31页，本讲稿共46页 由图由图(1)有面积关系有面积关系:则由图则由图(2)有体积关系有体积关系:2.（2004广东，广东，15）分析：分析：变式训练Ahhh hBCPBAC2sPAPA/B B/=1PAPBsin PABCPBAC第32页，本讲稿共46页 总结：总结：1.进行类比推理的进行类比推理的步骤步骤：(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；(2)用一类对象的已知特征去猜测另一类对象的特征，从而得用一类对象的已知特征去猜测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；出一个猜想；(3)检验这个猜想检验这个猜想.2、类比推理的一般模式、类比推理的一般模式:所以所以B类事物可能具有性质类事物可能具有性质d.A类事物具有性质类事物具有性质a,b,c,d,B类事物具有性质类事物具有性质a,b,c,(a,b,c与与a,b,c相似或相同）相似或相同）观察、比较观察、比较联想、类推联想、类推猜想新结论猜想新结论第33页，本讲稿共46页类比推理类比推理类比推理类比推理以以旧旧的知识为基础的知识为基础,推测推测新新的的结果，具有结果，具有发现的功能发现的功能由由特殊到特殊特殊到特殊的推理的推理类比推理的结论类比推理的结论不一定成立不一定成立注意注意第34页，本讲稿共46页2、类比推理、类比推理由由特殊特殊到到特殊特殊的推理的推理的推理的推理;以旧的知识为基础以旧的知识为基础以旧的知识为基础以旧的知识为基础,推测推测新新的结果；的结果；的结果；的结果；结论不一定成立结论不一定成立结论不一定成立结论不一定成立.1、归纳推理、归纳推理由由部分部分部分部分到到到到整体整体整体整体、特殊特殊特殊特殊到到一般一般一般一般的推理的推理;以观察分析为基础以观察分析为基础,推测推测新新新新的结论的结论;具有具有发现发现的功能的功能的功能的功能;结论不一定成立结论不一定成立结论不一定成立结论不一定成立.具有具有具有具有发现发现发现发现的功能的功能的功能的功能;比较两个推理：比较两个推理：合合情情推推理理第35页，本讲稿共46页 小结小结归纳推理和类比推理的共同点归纳推理和类比推理的共同点归纳推理和类比推理的共同点归纳推理和类比推理的共同点从具体问从具体问题出发题出发观察、分析、观察、分析、比较、联想比较、联想归纳、归纳、类比类比提出提出猜想猜想通俗地说，合情推理是指通俗地说，合情推理是指“合乎情理合乎情理”的推理的推理.归纳推理归纳推理归纳推理归纳推理和和类比推理类比推理类比推理类比推理都是根据已有的事实都是根据已有的事实,经过观察、经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为推理，我们把它们统称为合情推理合情推理.第36页，本讲稿共46页合情推理的应用合情推理的应用 数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论常常能帮助我们猜测和发现结论.证明一个数学结论之前，合情推理常常能证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向为我们提供证明的思路和方向.第37页，本讲稿共46页3、(2005年全国年全国)计算机中常用的十六进位制是逢计算机中常用的十六进位制是逢16进进1的计算制，的计算制，采用数字采用数字0-9和字母和字母A-F共共16个计数符号，这些符号与十进制的数个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表；的对应关系如下表；十六进位十进位例如用例如用16进位制表示进位制表示+1，则，则（）十六进位9十进位9101112131415E E第38页，本讲稿共46页第39页，本讲稿共46页题型题型4.类比方法类比方法 有一些处理问题的方法，具有类比性，结合这些方法有一些处理问题的方法，具有类比性，结合这些方法产生的问题，在求解时，要注意知识的迁移。产生的问题，在求解时，要注意知识的迁移。例例4.若点若点P是正四面体是正四面体 的面的面BCD上一点，且上一点，且P到另三到另三个面的距离分别为个面的距离分别为h1,h2,h3，该正四面体的高为，该正四面体的高为h，则（，则（）分析：分析：由点由点P是正三角形是正三角形ABC的边的边BC上一点，且到另两边上一点，且到另两边的距离分别为的距离分别为h1和和h2，正三角形，正三角形ABC的高为的高为h，由面积相等很，由面积相等很快可以得到快可以得到h=h1+h2；于是，类比方法，平面上用面积，空间；于是，类比方法，平面上用面积，空间中用体积，立即可得答案为中用体积，立即可得答案为B第40页，本讲稿共46页题型3.类比性质 从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，产从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，产从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，产从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，产生的类比推理型问题；求解时要认真分析两者之间的联系与生的类比推理型问题；求解时要认真分析两者之间的联系与生的类比推理型问题；求解时要认真分析两者之间的联系与生的类比推理型问题；求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键。区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键。区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键。区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键。例例3.我们知道：圆的任意一弦（非直径）的中点和圆心连我们知道：圆的任意一弦（非直径）的中点和圆心连线与该弦垂直；那么，若线与该弦垂直；那么，若椭圆椭圆椭圆椭圆b b2x2+a a2y y2=a a2 2b2 2的一条弦中点与的一条弦中点与的一条弦中点与的一条弦中点与原点连线及弦所在直线的斜率均存在，你能得到什么结论？请原点连线及弦所在直线的斜率均存在，你能得到什么结论？请原点连线及弦所在直线的斜率均存在，你能得到什么结论？请原点连线及弦所在直线的斜率均存在，你能得到什么结论？请予以证明。予以证明。予以证明。予以证明。第41页，本讲稿共46页分析：假若弦的斜率与弦的中点和圆心连线的斜率都存分析：假若弦的斜率与弦的中点和圆心连线的斜率都存在，由于两线垂直，我们知道斜率之积为在，由于两线垂直，我们知道斜率之积为1；对于方程；对于方程 ，（若，（若a=b，则方程即为圆的方程）由此可以猜测两斜率之，则方程即为圆的方程）由此可以猜测两斜率之积为积为 。证明：证明：设弦设弦AB的两端点的坐标分别为的两端点的坐标分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)，中点为中点为P，则由点差法得：，则由点差法得：第42页，本讲稿共46页题型题型5.类比类比“陷阱陷阱”类比推理是一种很好、很重要的推理，为使这种推理更严谨、更完美，类比推理是一种很好、很重要的推理，为使这种推理更严谨、更完美，类比推理是一种很好、很重要的推理，为使这种推理更严谨、更完美，类比推理是一种很好、很重要的推理，为使这种推理更严谨、更完美，有时也会故意设计一些让你有时也会故意设计一些让你有时也会故意设计一些让你有时也会故意设计一些让你“误入歧途误入歧途误入歧途误入歧途”的类比推理型陷阱题。的类比推理型陷阱题。的类比推理型陷阱题。的类比推理型陷阱题。例例5.平面几何中有平面几何中有“一个角的两边分别垂直于另一个角的两一个角的两边分别垂直于另一个角的两一个角的两边分别垂直于另一个角的两一个角的两边分别垂直于另一个角的两边则两角相等或互补边则两角相等或互补边则两角相等或互补边则两角相等或互补”；在立几；在立几；在立几；在立几“当一个二面角的两个半当一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面时平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面时”，两二面，两二面，两二面，两二面角（角（角（角（）A.A.互补互补互补互补 B.B.相等相等 C.互补或相等互补或相等 D.D.此两二面角的关系不定此两二面角的关系不定分析：分析：平几中的这个结论有很大的误导性，建立在这个结论的基础上，平几中的这个结论有很大的误导性，建立在这个结论的基础上，也许会不知不觉也许会不知不觉“上当上当”误选答案（误选答案（C）；）；其实，正确答案为其实，正确答案为 ，作一个图形作一个图形就可以发现结论。就可以发现结论。（D）第43页，本讲稿共46页练练1、平面与空间中的余弦定理：、平面与空间中的余弦定理：见书阅读材料见书阅读材料平面：平面：三角形三角形ABC中，中，空间：空间：四面体四面体A-BCD中，中，设二面角设二面角B-AC-D，C-AD-B，D-AB-C的大小依次为的大小依次为第44页，本讲稿共46页3.如图，已知如图，已知O是是 ABC内任意一点，内任意一点，连接连接AO、BO、CO，并延长交对边，并延长交对边 于于A、B、C，则，则 其证明方法常用面积法。其证明方法常用面积法。通过类比推理，可以猜测怎样的结论？通过类比推理，可以猜测怎样的结论？OABCA B C 第45页，本讲稿共46页第46页，本讲稿共46页