2021-2022学年高二物理竞赛课件：波函数的空间对称性.pptx

波函数的空间对称性2同样定态能量可写为同样定态能量可写为其中其中假设粒子是非全同的假设粒子是非全同的，就不用考虑因粒子交换，就不用考虑因粒子交换 所引起的波函数的空间对称性所带来的能量变化所引起的波函数的空间对称性所带来的能量变化基态肯定是基态肯定是N=0的态的态，但因，但因 ，故，故S=1能量能量最低。最低。可见，不管总自旋是多少，定态能量只与可见，不管总自旋是多少，定态能量只与ni有关。有关。波函数的空间对称性3两粒子自旋两粒子自旋S=1/2的全同粒子的全同粒子，对交换两粒子的全部坐标是反对称的。根据对交换两粒子的全部坐标是反对称的。根据已经知道，已经知道，S=0时，时，是反对称的，所以是反对称的，所以 对交换对交换 是对称的；是对称的；S=1时，时，是对称的，所以是对称的，所以 对交换对交换 是反对称的；是反对称的；S=0的最低能量是的最低能量是(n1n2n3)=(000)态的态的而位置空间部分波函数的对称性决定了谐振而位置空间部分波函数的对称性决定了谐振子最低能级能量量子数取值，即子最低能级能量量子数取值，即4而而S=1的最低能量是的最低能量是 (n1n2n3)=(100)，(010)，(001)三个态所共有的三个态所共有的显然显然 ，故体系的基态能量是，故体系的基态能量是由于对此基态是由于对此基态是（n1n2n3）有三个，而每个）有三个，而每个（n1n2n3）又对应）又对应3个自旋三重态，故基态能量个自旋三重态，故基态能量的简并度为的简并度为5 设有两个质量为设有两个质量为 的一维全同粒子，它们之间的一维全同粒子，它们之间 的相互作用为的相互作用为 (1)若粒子自旋为若粒子自旋为0，写出它们的相对运动态的，写出它们的相对运动态的 能量和波函数；能量和波函数；(2)若粒子自旋为若粒子自旋为S=，写出它们的相对运动，写出它们的相对运动 基态及第一激发态的能量和波函数。基态及第一激发态的能量和波函数。分析：无外磁场，无须考虑自旋对能量的贡献！分析：无外磁场，无须考虑自旋对能量的贡献！另外，当自旋为另外，当自旋为0 0时，自旋波数是交换对时，自旋波数是交换对 称的，故要求空间波函数交换对称。称的，故要求空间波函数交换对称。6解：解：（1 1）当粒子的自旋为）当粒子的自旋为0 0时时，只需考虑位置空，只需考虑位置空间的波函数是交换对称的就可以。间的波函数是交换对称的就可以。先求看体系的波函数。先求看体系的波函数。体系的哈密顿量为体系的哈密顿量为作变量代换，将两体问题化为单体问题作变量代换，将两体问题化为单体问题引入质心坐标引入质心坐标 X与相对坐标与相对坐标x：则哈密顿量变为则哈密顿量变为7我我们只关心相对运动，其哈密顿量变为们只关心相对运动，其哈密顿量变为这显然是一维这显然是一维线线性谐振子体系，其相对运动的能性谐振子体系，其相对运动的能量及波函数分别为量及波函数分别为由于位置空间的波函数要求满足交换对称性，即由于位置空间的波函数要求满足交换对称性，即所以量子数所以量子数n只能取只能取偶偶数数n=0,2,4,8当粒子的自旋为当粒子的自旋为1/2时，时，全波函数要求是交换反对全波函数要求是交换反对称的，而位置空间波函数的交换对称性则由一维称的，而位置空间波函数的交换对称性则由一维谐振子波函数的谐振子波函数的奇偶奇偶性反性反映映出来。出来。其相对运动能量与自旋没有关系其相对运动能量与自旋没有关系位置空间的波函数为位置空间的波函数为偶宇偶宇称时，自旋波函数称时，自旋波函数必必须是须是交换反对称波函数；反之交换反对称波函数；反之亦亦然。然。从从而体系波函数为而体系波函数为9其中自旋波函数意其中自旋波函数意义义同前定同前定义义体系的基态能量及波函数为体系的基态能量及波函数为第一激发态能量及波函数为第一激发态能量及波函数为10 氯化钠晶体中有些负离子空穴，每个空穴束缚氯化钠晶体中有些负离子空穴，每个空穴束缚 一个电子，可将这些电子看成是束缚在一个尺一个电子，可将这些电子看成是束缚在一个尺 度为晶格常数的三维无限深势阱中，晶体处于度为晶格常数的三维无限深势阱中，晶体处于 室温。试粗略估计被这些电子强烈吸收的电磁室温。试粗略估计被这些电子强烈吸收的电磁 波的最长波长。已知波的最长波长。已知晶格常数晶格常数电子质量电子质量分析：（分析：（1 1）束缚电子可以）束缚电子可以认认为是可分为是可分辨辨的。的。（2 2）最长波长对应最）最长波长对应最小频小频率（吸收能量）率（吸收能量）11解：解：电子是可分电子是可分辨辨的，不考虑全同性原理。通过的，不考虑全同性原理。通过 能级表能级表达达式求最式求最小小吸收的能量吸收的能量这是个三维立方势阱问题，其能级表这是个三维立方势阱问题，其能级表达达式为式为最最小小吸收能量是基态吸收能量是基态到到第一激发态的能量只差第一激发态的能量只差能量只差为能量只差为根据根据求电磁波的最长波长。求电磁波的最长波长。12补充题：补充题：设有两个电子，自旋态分别是设有两个电子，自旋态分别是证明两电子处于自旋单态及自旋三重态的几率分证明两电子处于自旋单态及自旋三重态的几率分别为别为(提示：将两电子自旋态向提示：将两电子自旋态向 的共同本征态的共同本征态 展开展开)13分析分析：关键是给出目前两个电子所处的状态，这是任意态关键是给出目前两个电子所处的状态，这是任意态中的一个。中的一个。证明证明：不妨设目前两个电子所处状态为不妨设目前两个电子所处状态为按照提示，则有按照提示，则有14其中其中由此得出由此得出