第09章随机过程引论课件.ppt

第09章随机过程引论第1页，此课件共32页哦第一节第一节随机过程的概念随机过程的概念第2页，此课件共32页哦 随机过程研究的对象是随时间而变化的随机现象。随机过程研究的对象是随时间而变化的随机现象。例：热噪声电压例：热噪声电压 假如我们对某电子元件两端的热噪声电压作一次假如我们对某电子元件两端的热噪声电压作一次“长时间长时间”观观察测量，得到如图中所示的一条电压时间函数察测量，得到如图中所示的一条电压时间函数 。如在相同条件下，独立地再进行一次测量，得到的如在相同条件下，独立地再进行一次测量，得到的电压时间电压时间函数函数是不同的，可能是是不同的，可能是 或或 等等。这样，不断地独等等。这样，不断地独立地再进行一次次的测量，就可以得到一簇不同的立地再进行一次次的测量，就可以得到一簇不同的电压时间函电压时间函数数，这簇函数从另一角度刻画了热噪声电压。，这簇函数从另一角度刻画了热噪声电压。t t第3页，此课件共32页哦族中的每一个函数称为这个随机过程的族中的每一个函数称为这个随机过程的样本函数样本函数。定义定义1 1：设是随机试验，样本空间为：设是随机试验，样本空间为 ，若对每个，若对每个 总有一个时间函数总有一个时间函数 与它相对应，这样对于所有与它相对应，这样对于所有的的 得到一族时间的函数，称为得到一族时间的函数，称为随机过程随机过程。简简记为记为记为记为t tS S第4页，此课件共32页哦定义定义2：设设 ，如果对于每一个，如果对于每一个，都有一个随机，都有一个随机变量变量 与它相对应与它相对应，则称随机变量族，则称随机变量族 为随机过程。为随机过程。称称 为时间参数集，称为时间参数集，称 为时刻为时刻 时过程的时过程的状态，状态，而而 说成是说成是 时过程处于状态时过程处于状态 。对于一切对于一切 所能取的一切值组成的集合，称为过所能取的一切值组成的集合，称为过程的状态空间。程的状态空间。第5页，此课件共32页哦通常称通常称 为随机相位正弦波。为随机相位正弦波。第6页，此课件共32页哦第7页，此课件共32页哦(1)(1)如果一个随机过程如果一个随机过程 对于任意的对于任意的 都是连续型都是连续型随机变量，则称此随机过程为随机变量，则称此随机过程为连续型随机过程连续型随机过程；若对任意的；若对任意的 是离散型随机变量，称此随机过程为是离散型随机变量，称此随机过程为离散型随机过离散型随机过程程。随机过程可以根据其随机过程可以根据其状态空间状态空间和和参数集参数集的的连续连续或或离散离散进行分类进行分类(2)(2)当参数集当参数集 为有限区间或无限区间时，则称为有限区间或无限区间时，则称 是是连续参数连续参数随机过程随机过程。以后若没特别指出，随机过程一词总是指。以后若没特别指出，随机过程一词总是指连续参数随连续参数随机过程机过程。若参数集。若参数集 为离散集合，则称为为离散集合，则称为随机序列随机序列；若随机序列；若随机序列的状态空间还是离散的，则称为的状态空间还是离散的，则称为离散参数链离散参数链。第8页，此课件共32页哦第二节第二节随机过程的统计描述随机过程的统计描述第9页，此课件共32页哦第10页，此课件共32页哦科尔莫戈罗夫定理：科尔莫戈罗夫定理：有限维分布函数族完全决定了随机过程的统计有限维分布函数族完全决定了随机过程的统计特性。特性。第11页，此课件共32页哦第12页，此课件共32页哦第13页，此课件共32页哦第14页，此课件共32页哦第15页，此课件共32页哦第16页，此课件共32页哦第17页，此课件共32页哦第三节第三节几类重要过程几类重要过程第18页，此课件共32页哦第19页，此课件共32页哦第20页，此课件共32页哦例子：随时间推移迟早会重复出现的事件例子：随时间推移迟早会重复出现的事件1.自电子管阴极发射的电子到达阳极自电子管阴极发射的电子到达阳极2.意外事故或意外差错的发生意外事故或意外差错的发生3.要求服务的顾客到达服务站要求服务的顾客到达服务站第21页，此课件共32页哦第22页，此课件共32页哦定理定理 定义定义1 1与定义与定义2 2是等价的是等价的证：证：由定义由定义1 1推出定义推出定义2 2成立，只要由成立，只要由条件条件和和式导出式导出增量的增量的分布分布即可。即可。这可用数学归纳法通过确定概率这可用数学归纳法通过确定概率 来来证明。证明。首先我们来确定首先我们来确定为此对充分小的为此对充分小的考虑考虑 第23页，此课件共32页哦故故由条件由条件可写成可写成上式两边除以上式两边除以 ，并令，并令得微分方程得微分方程:由由 把它作为初始条件把它作为初始条件第24页，此课件共32页哦即得方程的解为：即得方程的解为：因此因此当当k=0k=0时时,增量的分布服从泊松分布式增量的分布服从泊松分布式用同样的方法我们可以确定用同样的方法我们可以确定根据全概率公式和条件根据全概率公式和条件考虑考虑第25页，此课件共32页哦得得初始条件初始条件设设即假设取即假设取k-1k-1时时增量的分布服从泊松分布式增量的分布服从泊松分布式代入上述方程并利用初始条件即可解得：代入上述方程并利用初始条件即可解得：令令 即即得得 所满足的微分方程所满足的微分方程由数学归纳法可由数学归纳法可得得 定义定义2 2。第26页，此课件共32页哦第27页，此课件共32页哦例例:某种产品有某种产品有3个存货，个存货，求这些存货维持不了一天的概率求这些存货维持不了一天的概率。如果货物如果货物的销售构成如下的销售构成如下:（1）销售量是日平均为）销售量是日平均为 4 个的泊松过程；个的泊松过程；（2）销售量是一个泊松过程，它的日平均量是一个随机变量）销售量是一个泊松过程，它的日平均量是一个随机变量,以概以概率率0.25、0.50和和0.25 分别取值分别取值3、4、5。则存货维持不了一天的概率为：则存货维持不了一天的概率为：解（解（1）销售量销售量 为泊松过程，这里为泊松过程，这里 取取（2 2）由于它的日平均量是一个随机变量由于它的日平均量是一个随机变量,所以在（所以在（1）中分别取）中分别取 第28页，此课件共32页哦证证:例例:设设 和和 为两个相互独立的泊松过为两个相互独立的泊松过程程,强度分别为强度分别为 和和 求证求证:为强度是为强度是 的泊松过程的泊松过程.分析分析:只要证明对任意的只要证明对任意的 及整数及整数 有有第29页，此课件共32页哦所以所以 为强度是为强度是 的泊松过程的泊松过程.第30页，此课件共32页哦三、三、正态过程正态过程定义：定义：如果随机过程如果随机过程 的任何有限维分布都是正态分布，则的任何有限维分布都是正态分布，则称称 为为正态过程，正态过程，或称或称高斯（高斯（Gauss)Gauss)过程。过程。由第四章第三，第四节知：由第四章第三，第四节知：正态过程的均值函数和自协方差函数正态过程的均值函数和自协方差函数（或自相关函数）完全地确定了过程的概率分布。（或自相关函数）完全地确定了过程的概率分布。例例:设设 其中其中A,B 是相互独立，且都服从正态分布是相互独立，且都服从正态分布 的随机变量，的随机变量，是常是常数。试证明数。试证明 是是正态过程，并且求它的均值函数和自相关函正态过程，并且求它的均值函数和自相关函数数解：解：A,B 是相互独立的正态变量，是相互独立的正态变量，（,）是二）是二维维正态正态变量。对变量。对都是都是,的线性组合，于是的线性组合，于是 是是正态变量正态变量P119性质性质3第31页，此课件共32页哦所以，所以，是是正态过程。正态过程。因为因为 所以所以第32页，此课件共32页哦