离散数学代数.pptx

离散数学代数现在学习的是第1页，共99页二元运算及其性二元运算及其性二元运算及其性二元运算及其性质质定义定义(P222(P222 定义定义15.1)15.1)设设A A为集合，函数为集合，函数 f：AAA 称为称为A上的二元运算上的二元运算。例例 f:NNN:NNN，f(f()x+yf:NNN:NNN，f(f()xy定义定义(定义定义15.2)15.2)设设A A为集合，函数为集合，函数 f：An nA 称为称为A上的上的n n元运算元运算。现在学习的是第2页，共99页二元运算的运算表二元运算的运算表anan ana2 ana1 ana2an a2a2 a2a1 a2a1an a1a2 a1a1 a1an a2a1 二元运算的表示二元运算的表示二元运算的表示二元运算的表示现在学习的是第3页，共99页例例设设S=1,2，给出给出P(S)上的运算上的运算 和和的运算表的运算表，其中全集为，其中全集为S。的的运算表运算表121,21,211,22221,2111,221 1,221的运算表的运算表1,212211,2 ai ai例例例例现在学习的是第4页，共99页例例设设S=1,2,3,4，定义定义S上的二元运算上的二元运算 如下：如下：x y(xy)mod5，x,ySS 求运算求运算 的运算表。的运算表。例例例例123411234224133314244321现在学习的是第5页，共99页定定义义 设设 为为S上上的的二二元元运运算算，如如果果对对于于任任意意的的x,yS都都有有x y=y x，则则称称运运算算 在在S上上满满足足交换律交换律。定定义义 设设 为为S上上的的二二元元运运算算，如如果果对对于于任任意意的的x,y,zS都都有有(x y)z=x(y z)，则则称称运运算算 在在S上满足上满足结合律结合律。(P223定义定义15.3)二元运算的性二元运算的性二元运算的性二元运算的性质质现在学习的是第6页，共99页定定义义 设设 为为S上上的的二二元元运运算算，如如果果对对于于任任意意的的xS有有x x=x，则则称称运运算算 在在S上上满满足足幂幂等等律律。如如果果S中中的的某某些些x满满足足x x=x，则则称称x为为运算运算 的的幂等元幂等元。(P223定义定义15.3)二元运算的性二元运算的性二元运算的性二元运算的性质质现在学习的是第7页，共99页例例题集合集合运算运算交换律交换律结合律结合律幂等律幂等律Z,Q,R普通加法普通加法+普通乘法普通乘法 Mn(R)矩阵加法矩阵加法+矩阵乘法矩阵乘法 P(B)并并交交相对补相对补 对称差对称差 AA函数复合函数复合 现在学习的是第8页，共99页例例题集合集合运算运算交换律交换律结合律结合律幂等律幂等律Z,Q,R普通加法普通加法+普通乘法普通乘法 有有有有有有有有无无无无Mn(R)矩阵加法矩阵加法+矩阵乘法矩阵乘法 有有无无有有有有无无无无P(B)并并交交对称差对称差 有有有有有有有有有有有有有有有有无无AA函数复合函数复合 无无有有无无现在学习的是第9页，共99页定义定义设设 和和 为为S上两个二元运算，如果对于任意上两个二元运算，如果对于任意的的x,y,zS，有有x(y z)(x y)(x z)（左分配律左分配律）(y z)x(y x)(z x)（右分配律右分配律）则称运算则称运算 对运算对运算 满足满足分配律分配律。P224 P224 定义定义15.515.5定义定义 设设 和和 为为S上两个可交换的二元运算，如果上两个可交换的二元运算，如果对于任意的对于任意的x,yS，都有都有x(x y)xx(x y)x则称运算则称运算 和和 满足满足吸收律吸收律。二元运算的性二元运算的性二元运算的性二元运算的性质质现在学习的是第10页，共99页集合集合运算运算分配律分配律吸收律吸收律Z,Q,R普通加法普通加法+与乘法与乘法 对对+可分配可分配+对对 不分配不分配无无Mn(R)矩阵加法矩阵加法+与乘法与乘法 对对+可分配可分配+对对 不分配不分配无无P(B)并并与交与交对对可分配可分配对对可分配可分配有有交交与对称差与对称差 对对 可分配可分配无无例例例例题题现在学习的是第11页，共99页定义定义 设设 为为S上的二元运算，上的二元运算，n如如果果存存在在元元素素el（或或er）S，使使得得对对任任意意xS都都有有el x=x(或或x er=x)则则称称el(或或er)是是S中中关关于于 运运算算的的一一个个左左单单位位元元(或或右单位元右单位元)。(P224-225定义定义15.6)n若若eS关关于于 运运算算既既是是左左单单位位元元又又是是右右单单位位元元，则则称称e为为S上上关关于于 运运算算的的单单位位元元。单单位位元元也也叫叫做做幺元幺元。二元运算中的特异元素二元运算中的特异元素二元运算中的特异元素二元运算中的特异元素单单位元位元位元位元现在学习的是第12页，共99页二元运算中的特异元素二元运算中的特异元素零零元元定义定义 设设 为为S上的二元运算，上的二元运算，n如果存在元素如果存在元素l（或或r）S，使得对任意使得对任意xS都有都有 l x=l(或或x r=r)，则称则称l(或或r)是是S上关于上关于 运算的运算的左零元左零元(或或右零元右零元)。n若若S关于关于 运算既是左零元又是右零元，则称运算既是左零元又是右零元，则称为为S上关上关于运算于运算 的的零元零元。P225 P225 定义定义15.615.6现在学习的是第13页，共99页二元运算中的特异元素二元运算中的特异元素逆元逆元定义定义 设设 为为S上的二元运算，上的二元运算，e S为为 运算的单运算的单位元，对于位元，对于xS，n如果存在如果存在yl（或或yr）S使得使得yl xe（或或x yre）则称则称yl（或或yr）是是x的的左逆元左逆元（或（或右逆元右逆元）。）。n若若yS既是既是x的左逆元又是的左逆元又是x的右逆元，则称的右逆元，则称y为为x的的逆元逆元。n如果如果x的逆元存在，则称的逆元存在，则称x是是可逆的可逆的。P225定义定义15.7现在学习的是第14页，共99页特异元素的特异元素的实例例集合集合运算运算单位元单位元零元零元逆元逆元Z,Q,R普通加法普通加法普通乘法普通乘法Mn(R)矩阵加法矩阵加法矩阵乘法矩阵乘法P(B)并并交交现在学习的是第15页，共99页特异元素的特异元素的实例例集合集合运算运算单位元单位元零元零元逆元逆元Z,Q,R普通加法普通加法普通乘法普通乘法01无无0 x的逆元的逆元 xx的逆元的逆元x 1Mn(R)矩阵加法矩阵加法矩阵乘法矩阵乘法n阶全阶全0矩阵矩阵n阶单位矩阵阶单位矩阵无无n阶全阶全0矩阵矩阵x逆元逆元 xx的逆元的逆元x 1（x可逆可逆）P(B)并并交交BB的逆元为的逆元为B的逆元为的逆元为B现在学习的是第16页，共99页定理定理定理定理 设设 为为S上的二元运算，上的二元运算，el、er分别为分别为 运运算的左单位元和右单位元，则有算的左单位元和右单位元，则有 el=er=e 且且e为为S上关于上关于 运算的唯一的单位元。运算的唯一的单位元。P225定理定理15.2现在学习的是第17页，共99页定理定理定理定理 设设 为为S上的二元运算，上的二元运算，l和和 r分别为分别为 运运算的左零元和右零元，则有算的左零元和右零元，则有 l=r=且且 为为S上关于上关于 运算的唯一的零元。运算的唯一的零元。P225定理定理15.3现在学习的是第18页，共99页定理定理定理定理 设设 为为S上的二元运算，上的二元运算，e和和 分别为分别为 运运算的单位元和零元，如果算的单位元和零元，如果S至少有两个元素，至少有两个元素，则则e。P225定理定理15.4现在学习的是第19页，共99页定理定理定理定理设设 为为S上上可结合的可结合的二元运算，二元运算，e为该运为该运算的单位元，对于算的单位元，对于xS，如果存在左逆元如果存在左逆元yl和右逆元和右逆元yr，则有则有yl=yr=y且且y是是x的唯一的逆元。的唯一的逆元。P226定理定理15.5现在学习的是第20页，共99页消去律消去律定义定义设设 为为S上的二元运算，如果对于任意的上的二元运算，如果对于任意的x,y,zS，满足以下条件：满足以下条件：（1）若若x yx z且且x，则，则yz（左消去（左消去律）律）（2）若）若y xz x且且x，则，则yz（右消去（右消去律）律）则称则称 运算满足运算满足消去律消去律。(P226定义定义15.8)例如：例如：整数集合上的加法和乘法都满足消去律。整数集合上的加法和乘法都满足消去律。幂集幂集P(S)上的并和交运算一般不满足消去律。上的并和交运算一般不满足消去律。现在学习的是第21页，共99页例例例例设设A=a,b,c，A上的二元运算上的二元运算、如表所示。如表所示。(1)说明说明、运算是否满足交换律、结合律、消运算是否满足交换律、结合律、消去律和幂等律。去律和幂等律。(2)求出关于求出关于、运算的单位元、零元和所有可运算的单位元、零元和所有可逆元素的逆元。逆元素的逆元。abcaabcbbcaccababcaabcbbbbccbcabcaabcbabccabc现在学习的是第22页，共99页代数系代数系统 定义定义 非空集合非空集合S和和S上上k个一元或二元运算个一元或二元运算f1,f2,fk组成的系统称为一个组成的系统称为一个代数系统代数系统，简称，简称代数代数，记，记做做。(P227定义定义15.9上一行上一行)例：例：n、都是代数系统，都是代数系统，其中其中+和和 分别表示普通加法和乘法。分别表示普通加法和乘法。Zn0,1,2,n-1n是代数系统，其中是代数系统，其中 和和 分别表示模分别表示模n n的加法和乘法。的加法和乘法。现在学习的是第23页，共99页定义定义设设V是代数系统，是代数系统，B S，如果，如果B对对f1,f2,fk都是都是封闭封闭的，则称的，则称是是V的的子代数系统子代数系统，简称，简称子代数子代数。(P228定义定义15.11)例如：例如：nN是是的子代数。的子代数。子代数子代数子代数子代数 现在学习的是第24页，共99页第十六章第十六章 半群半群现在学习的是第25页，共99页半群与独异点半群与独异点 定义定义 (1)(1)设设V VS,是代数系统，是代数系统，为为二元运算二元运算，如果运算是如果运算是可结合的可结合的，则称，则称V V为为半群半群（semigroup）。(2)(2)设设V VS,是是半群半群,若若eSeS是关于是关于 运算的运算的单位元单位元,则称则称V V是是含幺半群含幺半群，也叫做，也叫做独异点独异点（monoid）。(P240(P240 定义定义16.1)16.1)现在学习的是第26页，共99页半群与独异点的半群与独异点的实例例nZ,+，都是半都是半群群,+,+是普通加法。这些半群中除是普通加法。这些半群中除Z,+外都是外都是独异点。独异点。nZn,为半群为半群,也是独异点也是独异点,其中其中ZnZn0,1,0,1,n-1,n-1,为模为模n n加法加法。nA 为半群为半群,也是独异点也是独异点,其中其中 为函数的复为函数的复合运算。合运算。现在学习的是第27页，共99页第十七章第十七章 群群现在学习的是第28页，共99页群的定群的定义 定义定义 设设G,是代数系统，是代数系统，为为二元运算二元运算。如果。如果 运算是运算是可结合可结合的，的，存在单位元存在单位元eGeG，并且对，并且对G G中中的任何元素的任何元素x x都都有有x x-1-1G,G,则称则称G G为为群群（group）。(P249(P249定义定义17.1)17.1)例例,Z,+,是不是群？是不是群？Z 是群是群?现在学习的是第29页，共99页Klein四元群四元群设设G Ga,b,c,ea,b,c,e，为为G G上的二元运算，见下表。上的二元运算，见下表。eabceeabcaaecbbbceaccbaeG G是一个群：是一个群：(P249)(P249)e e为为G G中的单位元；中的单位元；运算是可结合的；运算是可结合的；运算是可交换的；运算是可交换的；G G中任何元素的逆元就是它自己；中任何元素的逆元就是它自己；在在a,b,ca,b,c三个元素中三个元素中,任何两个元素运任何两个元素运算的结果都等于另一个元素。算的结果都等于另一个元素。称这个群为称这个群为KleinKlein四元群四元群,简称简称四元群四元群。现在学习的是第30页，共99页群的定群的定义 例例 某二进制码的码字某二进制码的码字x=xx=x1 1x x2 2.x.x7 7，其中，其中 前前4 4位为位为数据位，后数据位，后3 3位是校验位，满足：位是校验位，满足：x x5 5=x=x1 1 x x2 2 x x3 3,x,x6 6=x=x1 1 x x2 2 x x4 4,x,x7 7=x=x1 1 x x3 3 x x4 4G G是所有码字的集合，定义是所有码字的集合，定义G G上的运算上的运算*：x*y=zx*y=z1 1z z2 2.z.z7 7，z zi i=x=xi i y yi i则则是群。是群。另外，所有长度为另外，所有长度为7 7位的二进制数全体关于位的二进制数全体关于 构成构成群，也称为群，也称为0,10,1上的上的n n维线性空间。维线性空间。现在学习的是第31页，共99页群群论中常用的概念或中常用的概念或术语定义定义(P250(P250 定义定义17.2 17.3)17.2 17.3)(1)(1)若群若群G G是是有穷集有穷集,则称则称G G是是有限群有限群，否则称为，否则称为无无限群限群。群群G G的基数的基数称为群称为群G G的的阶阶，有限群，有限群G G的阶记作的阶记作|G|G|。(2)(2)只含单位元只含单位元的群称为的群称为平凡群平凡群。(3)(3)若群若群G G中的二元运算是中的二元运算是可交换可交换的，则称的，则称G G为为交交换群换群或或阿贝尔阿贝尔(Abel)(Abel)群群。现在学习的是第32页，共99页群中元素的群中元素的n次次幂定义定义 设设G G是群，是群，aGaG，nZnZ，则，则a a的的n n次幂次幂P250 P250 定义定义17.417.4现在学习的是第33页，共99页群中元素的群中元素的阶定义定义 设设G G是群，是群，aGaG，使得等式，使得等式a ak ke e成立的成立的最最小正整数小正整数k k称为称为a a的阶的阶，记作，记作|a|a|k k，这时也称，这时也称a a为为k k阶元阶元。若不存在这样的正整数若不存在这样的正整数k,k,则称则称a a为无限阶元为无限阶元。例例n在在Z 中中n在在中中(P250(P250 定义定义17.5)17.5)现在学习的是第34页，共99页群的性群的性质群群的的幂运算运算规则 定理定理(P250(P250 定理定理17.2)17.2)设设G G为群为群,则则G G中的幂运中的幂运算满足：算满足：(1)aG,(a(1)aG,(a-1-1)-1-1a a。(2)a,bG(2)a,bG，(ab)(ab)-1-1b b-1-1a a-1-1。(3)aG(3)aG，a an na am ma an+mn+m，n,mZn,mZ。(4)aG(4)aG，(a(an n)m ma anmnm，n,mZn,mZ。(5)(5)若若G G为交换群，则为交换群，则(ab)(ab)n na an nb bn n。现在学习的是第35页，共99页消去律消去律定理定理(P251 (P251 定理定理17.5)17.5)G G为群为群,则则G G中适合消去中适合消去律，即对任意律，即对任意a,b,cG a,b,cG 有有(1)(1)若若ababacac，则，则b bc c。(2)(2)若若babacaca，则，则b bc c。现在学习的是第36页，共99页群中元素的群中元素的阶的性的性质定理定理 G G为群，为群，aGaG且且|a|a|r r。设。设k k是整数是整数,则则(1)a(1)ak ke e当且仅当当且仅当 r|kr|k(2)|a|(2)|a|a|a-1-1|(P251(P251 定理定理 17.8)17.8)例例 设设G G是群，若是群，若 xG(xxG(x2 2=e),=e),则则G G是交换群。是交换群。现在学习的是第37页，共99页子群的定子群的定子群的定子群的定义义定义定义(P253(P253 定义定义17.6)17.6)设设G G是群，是群，H H是是G G的的非空子非空子集集，如果，如果H H关于关于G G中的运算构成群中的运算构成群，则称，则称H H是是G G的的子群子群，记作记作 HGHG。若若H H是是G G的子群，且的子群，且H H G G，则称，则称H H是是G G的的真子群真子群，记作记作 H HG G。G G和和ee都是都是G G的子群，称为的子群，称为G G的的平凡子群平凡子群 。例：例：nZnZ（n n是自然数）是整数加群是自然数）是整数加群Z,+Z,+的子群。的子群。当当n1n1时时,nZ,nZ是是Z Z的真子群。的真子群。现在学习的是第38页，共99页子群的判定定理一子群的判定定理一定理（判定定理一）定理（判定定理一）设设G G为群，为群，H H是是G G的非空子集。的非空子集。H H是是G G的子群当且仅当下面的条件成立：的子群当且仅当下面的条件成立：(1)(1)a,bHa,bH，有，有 abHabH。(2)(2)aHaH，有，有 a a-1-1HH。P253 P253 定理定理17.917.9定理（判定定理二）定理（判定定理二）设设G G为群，为群，H H是是G G的非空子集。的非空子集。H H是是G G的子群当且仅当的子群当且仅当a,bHa,bH有有abab-1-1HH。定理定理 17.1017.10现在学习的是第39页，共99页子群的判定定理三子群的判定定理三定理定理(判定定理三判定定理三)设设G G为群，为群，H H是是G G的非空子集。的非空子集。如果如果H H是有穷集，则是有穷集，则H H是是G G的子群当且仅当的子群当且仅当 a,bHa,bH有有abHabH。P254 P254 定理定理17.1117.11例例 设设G G为群，为群，aGaG，令，令H Haak k|kZ|kZ，即，即a a的所的所有的幂构成的集合，则有的幂构成的集合，则H H是是G G的子群，称为由的子群，称为由a a生成的子群生成的子群，记作，记作。现在学习的是第40页，共99页子群子群实例例中心中心例例 设设G G为群，令为群，令C C是与是与G G中所有的元素都可交换的元中所有的元素都可交换的元素构成的集合，即素构成的集合，即C Ca|aGa|aG xG(axxG(axxa)xa)则则C C是是G G的子群，称为的子群，称为G G的中心的中心。n对于阿贝尔群对于阿贝尔群G G，因为，因为G G中所有的元素互相都可交中所有的元素互相都可交换，换，G G的中心的中心n但是对某些非交换群但是对某些非交换群G G，它的中心是，它的中心是ee。现在学习的是第41页，共99页例例例例(作业作业)设设H H是群是群G G的子群的子群,xG,xG,证明：证明：xHxxHx-1-1=xhx=xhx-1-1|hH|hH是是G G的子群的子群,称为称为H H的共轭的共轭子群。子群。例例(作业作业)设设G G是群，是群，H,KH,K是是G G的子群。证明的子群。证明(1)HK(1)HK也是也是G G的子群。的子群。(2)HK(2)HK是是G G的子群当且仅当的子群当且仅当 H H K K 或或 K K H H。现在学习的是第42页，共99页循循环群的定群的定义定义定义 设设G G是群，若存在是群，若存在aGaG使得使得G Gaak k|kZ|kZ则称则称G G是是循环群循环群，记作，记作G G，称，称a a为为G G的的生生成元成元。(P255(P255 定义定义17.8)17.8)例：例：对于任何群对于任何群G G，由，由G G中元素中元素a a生成的子群生成的子群是循环群。是循环群。例：例：任何素数阶的群都是循环群。任何素数阶的群都是循环群。现在学习的是第43页，共99页循循环群的分群的分类循环群循环群G G，根据生成元，根据生成元a a的阶分成两类：的阶分成两类：（1 1）若若a a是是n n阶元，则阶元，则G Gaa0 0e,ae,a1 1,a,a2 2,a,an-1n-1 那么那么|G|G|n n，称，称G G为为n n阶阶(有限有限)循环群循环群。（2 2）若若a a是无限阶元是无限阶元,则则G Gaa0 0e,ae,a11,a,a22,这时称这时称G G为为无限循环群无限循环群。(P255)(P255)现在学习的是第44页，共99页循循环群的生成元求法群的生成元求法定理定理(P255(P255 定理定理17.12)17.12)设设G G是循环群。是循环群。(1)(1)若若G G是无限循环群，则是无限循环群，则G G只有两个生成元，即只有两个生成元，即a a和和a a-1-1。(2)(2)若若G G是是n n阶循环群，则阶循环群，则G G含有含有(n)(n)个生成元。个生成元。对于任何小于等于对于任何小于等于n n且与且与n n互质的正整数互质的正整数r r，a ar r是是G G的生成元。的生成元。(n)(n)：欧拉函数。对于任何正整数欧拉函数。对于任何正整数n n，(n)(n)是小是小于等于于等于n n且与且与n n互质的正整数个数。互质的正整数个数。例如：例如：n n1212，小于或等于，小于或等于1212且与且与1212互质的数有互质的数有4 4个：个：1,5,7,111,5,7,11，所以，所以(12)(12)4 4。现在学习的是第45页，共99页循循环群的子群求法群的子群求法定理定理(P256(P256 定理定理17.13)17.13)(1)(1)设设G G是循环群，则是循环群，则G G的子群仍是循的子群仍是循环群。环群。(2)(2)若若G G是无限循环群，则是无限循环群，则G G的子群除的子群除ee以外都是无限循环群。以外都是无限循环群。(3)(3)若若G G是是n n阶循环群，则对阶循环群，则对n n的每个正的每个正因子因子d d，G G恰好含有一个恰好含有一个d d阶子群。阶子群。现在学习的是第46页，共99页定理定理说明明n求循环群的所有子群的方法求循环群的所有子群的方法:n如果如果G G是无限循环群，那么是无限循环群，那么a 是是G G的子的子群，其中群，其中m m是自然数，并且容易证明对于不同是自然数，并且容易证明对于不同的自然数的自然数m m和和t t，a 和和a 是不同的子群。是不同的子群。n如果如果G G是是n n阶循环群，先求出阶循环群，先求出n n的所有的的所有的正因子。对于每个正因子正因子。对于每个正因子d d，H Ha 是是G G的的唯一的唯一的d d阶子群。阶子群。nG G是无限循环群，其生成元为是无限循环群，其生成元为1 1和和-1-1。nG GZ Z1212是是1212阶循环群。阶循环群。现在学习的是第47页，共99页例例n例例 设设G G1 1是整数加群，是整数加群，G G1 1是模是模1212加群，分别求加群，分别求出所有子群。出所有子群。现在学习的是第48页，共99页n元置元置换及其表示及其表示 定义定义(P258)(P258)设设S S1,2,n1,2,n，S S上的任何双上的任何双射函数射函数：SSSS称为称为S S上的上的n n元置换元置换。定义定义(257 (257 定义定义17.10)17.10)设设,是是n n元置换，则元置换，则和和的的(右右)复合复合 也是也是n n元置换，称为元置换，称为与与的的乘积乘积，记作，记作。现在学习的是第49页，共99页n n元置换的分解式元置换的分解式(1)k阶轮换与轮换分解方法阶轮换与轮换分解方法定义定义设设是是S=1,2,n上的上的n元置换。元置换。若若(i1)=i2,(i2)=i3,(ik-1)=ik,(ik)=i1且保持且保持S中的其他元素不变中的其他元素不变,则称则称为为S上的上的k阶轮换阶轮换,记作记作(i1i2ik).若若k=2,这是也称这是也称为为S上的上的对换对换。P258定义定义11.11现在学习的是第50页，共99页n n元置换的分解式元置换的分解式n两个轮换作用于不同的元素上，称他们是两个轮换作用于不同的元素上，称他们是不不相交的相交的。(定义定义17.12)n定理定理：设设和和是不交的是不交的n n元置换，则元置换，则=(P259=(P259 定理定理17.15)17.15)n定理定理：任何任何n元置换都可以表示成不交的轮换元置换都可以表示成不交的轮换之积。之积。(P259定理定理17.16)现在学习的是第51页，共99页n n元置换的分解式元置换的分解式n例例：将它们表示成不交的轮换之积将它们表示成不交的轮换之积现在学习的是第52页，共99页对换与对换分解方法对换与对换分解方法n设设S=1,2,S=1,2,n,=(i,n,=(i1i i2i ik)是是S S上的上的k k阶轮换阶轮换,那么那么可以进一步表成对换之积可以进一步表成对换之积,即即(i(i1i i2i ik)=(i)=(i1i ik)(i)(i1i i3)(i(i1i i2)n回顾关于回顾关于n n元置换的轮换表示元置换的轮换表示,任何任何n n元置元置换都可以唯一地表示成不相交的轮换之积换都可以唯一地表示成不相交的轮换之积,而任何轮换又可以进一步表示成对换之积而任何轮换又可以进一步表示成对换之积,所以任何所以任何n n元置换都可以表成对换之积。元置换都可以表成对换之积。现在学习的是第53页，共99页对换分解式的特征对换分解式的特征n尽管尽管n n元置换的对换表示式是不唯一的元置换的对换表示式是不唯一的,但可但可以证明表示式中所含对换个数的奇偶性是不以证明表示式中所含对换个数的奇偶性是不变的。例如上面的变的。例如上面的4 4元置换元置换只能表示成偶数只能表示成偶数个对换之积个对换之积,而而4 4元置换元置换=（1 2 3 41 2 3 4）只能）只能表示成奇数个对换之积。如果表示成奇数个对换之积。如果n n元置换元置换可以可以表示成奇数个对换之积表示成奇数个对换之积,则称则称为奇置换为奇置换,否否则称为偶置换则称为偶置换,不难证明奇置换和偶置换各有不难证明奇置换和偶置换各有n!/2n!/2个。个。P262 P262 定义定义17.1517.15现在学习的是第54页，共99页置换群置换群n定理：设定理：设 1 1,2 2 r r是互不相交的轮换，长度是互不相交的轮换，长度分别为分别为L L1 1,L,L2 2LLr r，如果，如果=1 1 2 2 r r且且L L1 1,L,L2 2LLr r的最小公倍数为的最小公倍数为k,k,则则 的阶为的阶为k k。n定理：任何轮换可以表示为对换的乘积定理：任何轮换可以表示为对换的乘积,且对且对换个数的奇偶性不变。换个数的奇偶性不变。n偶置换偶置换：如果置换：如果置换f f可以表示为偶数个对换的可以表示为偶数个对换的乘积，则称乘积，则称f f是偶置换，否则称是偶置换，否则称f f是奇置换是奇置换。现在学习的是第55页，共99页n n元置换群及其实例元置换群及其实例n考虑所有的考虑所有的n元置换构成的集合元置换构成的集合Sn.n任何两个任何两个n元置换之积仍旧是元置换之积仍旧是n元置换元置换,Sn关于置换的乘法关于置换的乘法是封闭的。是封闭的。n置换的乘法满足结合律。置换的乘法满足结合律。n恒等置换恒等置换(1)是是Sn中的单位元。中的单位元。n对于任何对于任何n元置换元置换Sn,逆置换逆置换-1是是的逆元。的逆元。n这就证明了这就证明了Sn关于置换的乘法构成一个群关于置换的乘法构成一个群,称为称为n元对称群元对称群。P258例例17.18现在学习的是第56页，共99页例例n设设S=1,2,3,S=1,2,3,则则3 3元对称群元对称群 S S3 3=(1),(1 2),(1 3),(2 3),(1 2 3),(1 3 2)=(1),(1 2),(1 3),(2 3),(1 2 3),(1 3 2)运算表如表运算表如表10.510.5所示。所示。(1)(12)(13)(23)(123)(132)(1)(12)(13)(23)(123)(132)现在学习的是第57页，共99页着色问题（着色问题（PolyaPolya定理）定理）n例：使用黑白两色对例：使用黑白两色对2222的的4 4个方格进行着色，问有多少种个方格进行着色，问有多少种不同的着色方案？（旋转后重合的算一种。）不同的着色方案？（旋转后重合的算一种。）1243现在学习的是第58页，共99页着色问题（着色问题（PolyaPolya定理）定理）n定理定理（PolyaPolya）设）设N=1,2,.nN=1,2,.n是被着色物体的集合，是被着色物体的集合，G=G=1 1,2 2.g g 是是N N上的置换群。用上的置换群。用m m种颜色对种颜色对N N中的元素进行着中的元素进行着色，则在色，则在G G的作用下不同的着色方案数为（其中的作用下不同的着色方案数为（其中c(c(k k)是置换是置换 k k的轮换表达式中包含的轮换表达式中包含1-1-轮换在内的轮换个数）轮换在内的轮换个数）现在学习的是第59页，共99页着色问题（着色问题（PolyaPolya定理）定理）n例：使用黑白两色对例：使用黑白两色对2222的的4 4个方格进行着色，问有多少种个方格进行着色，问有多少种不同的着色方案？（旋转后重合的算一种。）不同的着色方案？（旋转后重合的算一种。）n2222的的4 4个方格所有（旋转）置换有个方格所有（旋转）置换有4 4种：种：(1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)(4)、（、（12341234）、（）、（13)(24)13)(24)、（、（14321432）M=M=（2 24 4+2+21 1+2+22 2+2+21 1）/4/41243现在学习的是第60页，共99页陪集陪集定义定义(P263(P263 定义定义17.16)17.16)设设H H是是G G的子群，的子群，aGaG。令。令HaHaha|hHha|hH称称HaHa是子群是子群H H在在G G中的中的右陪集右陪集(rightcoset)。称称a a为为HaHa的的代表元素代表元素。现在学习的是第61页，共99页陪集的基本性陪集的基本性质定理定理 设设H H是群是群G G的子群，则的子群，则(1)He(1)HeH H。(2)(2)aGaG有有 aHaaHa。P263 P263 定理定理17.2017.20定理定理 设设H H是群是群G G的子群，则的子群，则aGaG，HaH HaH P263 P263 定理定理17.2117.21现在学习的是第62页，共99页定理定理定理定理定理定理 设设H H是群是群G G的子群，则的子群，则 a,bG a,bG 有有aHbaHb Ha HaHb Hb abab-1-1HH(P263(P263 定理定理17.22)17.22)现在学习的是第63页，共99页定理定理定理定理 设设H H是群是群G G的子群，在的子群，在G G上定义二元关系上定义二元关系R R：a,bGa,bG，R R ab ab-1-1HH则则R R是是G G上的等价关系，且上的等价关系，且aaR RHaHa。(P264(P264 定理定理17.23)17.23)现在学习的是第64页，共99页推推论推论推论 设设H H是群是群G G的子群，则的子群，则(1)(1)任取任取a,bGa,bG，HaHaHb Hb 或或 HaHbHaHb(2)Ha|aG(2)Ha|aGG G(P264(P264 定理定理17.24)17.24)重要结果：重要结果：给定群给定群G G的一个子群的一个子群H H，H H的所有右陪的所有右陪集的集合集的集合Ha|aGHa|aG恰好构成恰好构成G G的一个划分的一个划分。现在学习的是第65页，共99页左陪集左陪集 P264例例17.26H H的右陪集定义，即的右陪集定义，即HaHaha|hHha|hH，aGaG右陪集的性质：右陪集的性质：1.He1.HeH H2.2.aGaG，aHa aHa 3.3.a,bGa,bG，aHbaHbabab-1-1HHHaHaHbHb4.4.若在若在G G上定义二元关系上定义二元关系R R，a,bG,Ra,bG,Rabab-1-1HH则则R R是是G G上的等价关系，上的等价关系，且且aaR RHaHa。5.5.aGaG，HHaHHa。H H的左陪集定义，即的左陪集定义，即aHaHah|hHah|hH，aGaG左陪集的性质：左陪集的性质：1.eH1.eHH H2.2.aGaG，aaH aaH 3.3.a,bGa,bG，abH abH b b-1-1aH aH aHaHbHbH4.4.若在若在G G上定义二元关系上定义二元关系R R，a,bG,Ra,bG,Rb b-1-1aHaH则则R R是是G G上的等价关系，上的等价关系，且且aaR RaHaH。5.5.aGaG，HaHHaH。现在学习的是第66页，共99页关于陪集的关于陪集的进一步一步说明明n右陪集和左陪集之间一一对应。不区分右陪集和左陪集之间一一对应。不区分H H的右的右陪集数和左陪集数，统称为陪集数和左陪集数，统称为H H在在G G中的陪集数中的陪集数，也叫做也叫做H H在在G G中的指数，中的指数，记作记作G:HG:H。(P265(P265 定义定义17.17)17.17)n拉格朗日定理拉格朗日定理:n定理定理 设设G G是有限群，是有限群，H H是是G G的子群，则的子群，则|G|G|G:HG:H|H|(|H|(定理定理17.26)17.26)推论推论 设设G G是是n n阶群，则阶群，则 aGaG，|a|a|是是n n的因子，的因子，且有且有a an ne e。现在学习的是第67页，共99页拉格朗日定理的拉格朗日定理的拉格朗日定理的拉格朗日定理的推推推推论论2 2推论推论 素数阶群都是循环群。素数阶群都是循环群。(P265(P265 推论推论2)2)命题：命题：如果群如果群G G只含只含1 1阶和阶和2 2阶元，则阶元，则G G是是AbelAbel群。群。例例 证明证明6 6阶群中必含有阶群中必含有3 3阶元。阶元。例例 证明阶小于证明阶小于6 6的群都是阿贝尔群。的群都是阿贝尔群。例例 6 6阶群在同构意义下只有阶群在同构意义下只有2 2个。个。现在学习的是第68页，共99页正正规子群的定子群的定义及及实例例定义定义 设设H H是群是群G G的子群。如果的子群。如果 aGaG都有都有HaHaaHaH,则称则称H H是是G G的的正规子群正规子群或或不变子群不变子群。记。记H GH G。(P269(P269 定义定义17.21)17.21)注意注意 n由由aHaHHaHa可否推出可否推出 hH(ahhH(ahha)ha)？n对对 h hHH，存在，存在h hHH，使，使ahahh ha a。现在学习的是第69页，共99页正正规子群的判定定理子群的判定定理n定理定理 设设N NG,G,以下条件等价以下条件等价(P269(P269 定理定理17.32)17.32)1.1.N GN G。2.2.对任意对任意g g G,gNgG,gNg-1-1=N=N。3.3.对任意对任意g g G,gNgG,gNg-1-1 N N。4.4.对任意对任意g g G,nG,n N,gngN,gng-1-1 N N。现在学习的是第70页，共99页正正规子群的判定定理子群的判定定理n例例 设设H H是群是群G G的子群，的子群，|H|=n|H|=n，若，若H H是是G G的唯一的的唯一的n n阶子群，则阶子群，则H H是是G G的正规子群。的正规子群。(P270)(P270)n例例 设设H H是群是群G G的子群，若的子群，若G:HG:H2 2，则，则H H是是G G的的正规子群。正规子群。