2017年高考全国卷Ⅰ理科数学试题及详细解析.doc

绝密启用前理科数学3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一项是符合题目要求的。1. 已知集合 =Ax x<1 ， = 3 <1 ，则（）x xA B = R=x x< 0>1x x【答案】A x A B=x x<0 ， A B = x x < 1 ，84【答案】B【详解】设正方形边长为 ，则圆半径为212 则此点取自黑色部分的概率为 2 =4 8故选B3. 设有下面四个命题（）1：若复数 z 满足 Î ，则 Î ；p1RzRz：若复数 z 满足 2，则 Î ；zRppz RÎ2z z：若复数 ， 满足z z R2Î ，则 = ；z z312112：若复数 Î ，则pzz RÎR4p pA ，p pB ，C ，ppp pD ，13142324【答案】B11a - bi【详解】ÎR ，得到b = 0 ，所以 z Î R .故 P 正确；p : z = a + bi设，则 =+ bi a + b1z a221，满足zÎR，而 z = i ，不满足z ÎR2，故 p不正确；p : z2= -1若222p :3若 z =1，z = 2，则z z = 2 ，满足z z Î ，而它们实部不相等，不是共轭复R121 21 2数，故 p不正确；3p :4实数没有虚部，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，故 正确；p4 4. 记 为等差数列的前 项和，若 + = 24， = 48 ，则的公差为（）Sana aSann456nA1B2C4D8【答案】C【详解】a + a = a + 3d + a + 4d = 2445116´5S = 6a +d = 48261ï aì2 + 7 = 24 d联立求得í16a +15d = 48 ïî1( )得 21-15 = 24d´3- 6d = 24d = 4选 C( ) ()( )1 = -1( )-1f x - 2 1，则满足 的5. 函数 f x 在 -¥，+ ¥ 单调递减，且为奇函数若 fx 的取值范围是（） -1，1 0，4 1，3A -2，2BCD【答案】D( )( ) ( )f【详解】因为 f x 为奇函数，所以 -1 = - 1 =1，f( )( ) ( ) ( )f x f- 2 -1于是 -1f x- 2 1等价于 1 f|- 2 - 又在 -¥，+ ¥ 单调递减故选 D1ö( )x 展开式中 的系数为x26.6÷1 ( ) ( ) 1 ( )ö÷1+66çx22( )6对 1+ x 的 项系数为C =15x221( )6x2x227. 某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2 ，俯视图为等腰直角三角形、该多面体的各个面中有若干是梯形，这些梯形的面积之和为【答案】B【详解】由三视图可画出立体图S = 2 + 4 ´ 2 ¸ 2 = 6全梯故选 B 的最小偶数n ，那么在和两nn个空白框中，可以分别填入A >1000 和 = +1n nB >1000 和 = + 2n nAAAA【详解】因为要求A 大于 1000 时输出，且框图中在“否”时输出“”中 n 依次加 2 可保证其为偶故选 Dæx C y9. 已知曲线 : = cos ， : = sin 2 +，则下面结论正确的是（）231èA把 上各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移62B把 上各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移1221262D把 上各点的横坐标缩短到原来的2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移122【答案】Dæ【详解】23èø1首先曲线CCC y、 统一为一三角函数名，可将 : = cos 用诱导公式处理x121 ææ横坐标变换需将w =1 变成w = 2，çç2èèæææ1即y =C1上各点¾横坐¾标¾缩来yx +xççç2224èøèæçç÷33èèø注意 的系数，在右平移需将提到括号外面，这时wx43根据“左加右减”原则，“，即再向左平移 12 1243FC2Fl lCA12BDE2轴AK12ìï（几何关系）ï1ï易知1ïïç÷ï22îèø AF ×cosq + P = AFPP1+ cosq=1- cos q sin q222DE =cos q2+q2而 y2 = 4x ，即 P = 2411qæ422+= 4=çè2222 16sin22q+16 ，当q = 取等号=4即最小值为 ，故选AAB DE1611. 设 ， y ， 为正数，且2 = 3 = 5 ，则（）zxzxyA 2 < 3 < 5xyzB5 < 2 < 3zxyy z xC3 < 5 < 2yx zD3 < 2 < 5【答案】D【详解】取对数： xln2 = yln3 = ln5x ln3 3.=>y ln2 22x > 3yxln2 = zln5x ln5 5则 =<z ln2 23y < 2x < 5z ，故选 Dx z 2 < 5 12. 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1, 1, 2 , 1, 2 , 4 , 1, 2 , 4 , 8 , 1, 2 , 4 , 8 , 16 ，其中第一项是2 ，0接下来的两项是2 ，2 ，在接下来的三项式2 ， 2 ， 2 ，依次类推，求满足如下条件01612N N的最小整数 ： >100 且该数列的前 项和为2 的整数幂那么该款软件的激活码是N（）A440B330C220D110【答案】A【详解】设首项为第 组，接下来两项为第 组，再接下来三项为第 组，以此类推123( )n 1+ n设第 组的项数为 ，则 组的项数和为nnn2( )n 1+ n由题， N >100 ，令，即 出现在第 组之后13*>100 n14 且n NÎN21- 2n第 组的和为= 2 -1nn1- 2( )2 1- 2n组总共的和为n- n = 2 - 2 - nn1- 2( )n 1+ n若要使前 项和为 的整数幂，则项的和2k -1应与 -2 - n 互为相反2NN -2数()即2 -1= 2 + n k ÎN ，n14k*( )k = log n + 32 = 29，k = 5n( )29´ 1+ 29则 N =+ 5 = 4402故选 A- 6 - 二、 填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13. 已知向量 ， 的夹角为60° ， = 2 ， b =1a，则 a + 2b = _a b【答案】2 3【详解】( )1a + 2b2= (a + 2b) = a2+ 2× a × 2b ×cos60° + 2 b = 2 + 2´ 2´ 2´ + 222222= 4 + 4 + 4 = 12 + 2 = 12 = 2 3abìx +2y £1ï14. 设 ， y 满足约束条件 2 + ³ -1 ，则 = 3 - 2 的最小值为_xí x yzxyïx - y £ 0î【答案】-5ìx + 2y £1【详解】不等式组ï表示的平面区域如图所示í2x + y ³ -1ïx - y £ 0îyAB1xCx y+2 -1=02x+y+1=0= 3x - ，z由 = 3 - 2 得zxyy22x= 3 - z的纵截距的最大值求 的最小值，即求直线zy223z当直线y = x - 过图中点 时，纵截距最大A222x + y = -1ì由解得 点坐标为(-1,1)，此时 = 3´(-1)- 2´1= -5zíAîx + 2y =1x2y215. 已知双曲线C : - ，（ > 0 ， > 0 ）的右顶点为 ，以 为圆心， 为半径作圆 ，abAAbAa2b2圆 与双曲线 的一条渐近线交于 ， 两点，若ÐCNMAN C= 60° ，则 的离心率为AM_2 3【答案】3【详解】如图，- 7 - ，=33= 60°， APb， OP =- PA 2=2OA23b tanq =3a2243bbb2又tanq = ，=a23aaa224e33、 、 为元 上的点，DBC ，ECA，FAB 分别是一 BC ，CAODEF，BC CA， AB 为折痕折起DBC ，ECA，ABC 的边长变化时，所得三棱锥体DEF3【详解】由题，连接OD ，交 BC 与点 ，由题，G36三棱锥的高h = DG2 - OG2 = 25 -10x + x2 - x = 25-10x1= 2 3 ×3x × = 3 3x221则× h = 3x× 25 -10x = 3 × 25 -10x x2453ABC ( )5( )令， xÎ(0, ) ， ¢f x = 25x-10xf x =100x- 50x45342令 ¢则a2的内角 ， ， 的对边分别为a ， ，c ，已知ABC 的面积为B CAb（2）若6cos cos =1， = 3 ，求ABC 的周长BCaSa2【详解】（ ）13sinA2a213 a = bc2223由正弦定理得sin A = sin BsinCsin A，2222由得.323，cosBcosC = 1216()( )cos A = cos - B - C = -cos B + C = sin BsinC- cosBcosC =( )又 AÎ 0， A由余弦定理得a222a×sinC a2 bc =×sin BsinC = 82由得b + c = 33中，AB CD 中，且ÐBAP = ÐCDP = 90° （1）证明：平面PAB 平面 PAD；=1 PA AB ， PD CD又 ABCD ， PD AB又 PD PA = P ， PD 、 PA Ì 平面 PAD AB 平面 PAD ，又 AB Ì 平面 PAB平面 PAB 平面 PAD，OEPO2AD AB CDOBCE四边形 ABCD 为平行四边形1AB OE 平面 PAD ，又 PO 、 AD Ì 平面 PADOE PO ，OE AD又 PA = PD ， PO AD以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O( ) ( ) ( )2- 2 ，0，0P C、 B 2 ，2，0 、 0，0， 2 、 - 2 ，2，0 ，D()、()设由ìì 22ííîn× BC = 0ï( ) ÐAPD = 90° ，又知 AB 平面 PAD ， PD Ì 平面 PAD PD AB ，又 PA AB = A PD 平面 PAB ()即 PD 是平面 PAB 的一个法向量， PD= - 2 ,0 ,- 2 cos PD ,n = PD×n = -2= -32 33PD × n3由图知二面角 A - PB - C 为钝角，所以它的余弦值为-319. （12 分）为了抽检某种零件的一条生产线的生产过程，实验员每天从该生产线上随机抽取16 个cm零件，并测量其尺寸（单位： ）根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状( )m，s态下生产的零件的尺寸服从正态分布N2()（1）假设生产状态正常，记 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在 m - 3s ，m 3s+X(P X)之外的零件数，求1 及 的数学期望；X()之外的零件，就认为这（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 -m 3s ，m 3s+条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查（I）试说明上述监控生产过程方法的合理性：（II）下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.0410.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.951ååö16( )- =x xå9.971616经计算得 x= x =， =2x -216x » 0.212 ，其中 为2xisç÷1616iièiøi=1i=1i=1抽取的第 个零件的尺寸，ii =1，2， ，16 mms用样本平均数 作为 的估计值 ，用样本标准差s 作为 的估计值s ，利用估计x值判断是否需对当天的生产过程进行检查，剔除(m - 3s ，m + 3s )之外的数据，用剩下ms的数据估计 和 （精确到0.01）( )()= 0.997 4m，s ,m 3sm 3s< < +附：若随机变量 服从正态分布 NZ则 P-2Z0.997 416» 0.9592 ， 0.008 0.09 »()【详解】（ ）m 3s ，m + 3s1 由题可知尺寸落在 -之内的概率为0.9974，落在()之外的概率为0.0026m 3s ，m 3s-+() (1- 0.9974 )0 0.997416 » 0.9592P X = 0 = C016( )()P X ³ 1 = 1- P X = 0 » 1- 0.9592 = 0.0408()X B 16 ，0.0026由题可知( ) E X = 16 ´ 0.0026 = 0.0416()之外的概率为0.0026，m 3s ，m 3s（2）（i）尺寸落在-+()之外为小概率事件，m 3s ，m 3s由正态分布知尺寸落在 -+因此上述监控生产过程的方法合理（ii）m 3s 9.97 3 0.212 9.334- ´-=m 3s 9.97 3 0.212 10.606+=+ ´=() ()m 3s ，m 3s=9.334 ，10.606-+- 11 - ()9.22 Ï 9.334 ，10.606 ， 需对当天的生产过程检查因此剔除9.229.97´16 - 9.22剔除数据之后：m =10.0215() () () () ()2s = 9.95 -10.02+ 10.12 -10.02+ 9.96 -10.02+ 9.96 -10.02 + 10.01-10.0222222() () () () ()2+ 9.92 -10.02+ 9.98-10.02+ 10.04 -10.02+ 10.26 -10.02 + 9.91-10.022222+ 10.13-10.02+ 10.02 -10.02+ 10.04 -10.02+ 10.05-10.02+ 9.95-10.02 ´ 1() () () () ()2222215» 0.008s = 0.008 » 0.0920. （12 分）æ3 öæ3 öx2y2()( ) ( )P=1 > > 0 ，四点 1，1 ，P 0，1 ， -1，P ç， 1，÷ P ç已知椭圆 ： +÷Ca bç÷ç÷221234a2b2èøèø中恰有三点在椭圆 上C（1）求 的方程；C（2）设直线 不经过 P 点且与 相交于 、 两点，若直线 P A 与直线 P B 的斜率的lCAB222和为 -1，证明： 过定点l【详解】（1）根据椭圆对称性，必过P、 P34又 横坐标为 1，椭圆必不过 ，所以过 ， ， 三点P4P1P P P234æ3 ö( )P 0，1 ，P -1，将ç÷代入椭圆方程得ç3÷22èøì 1=1ïb2ï，解得 = 4 ， =1í3a2b2ï1ï +4 =1bîa22x2椭圆 的方程为： + =1yC24() ()（2）当斜率不存在时，设l-2: x = m ，A m ，y ，B m ，- yAAy -1 -y -1k + k =+= -1AAmmmP2 AP2B得 m = ，此时 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足2l( )当斜率存在时，设 =l y kx b b¹ 1+() ()A x ，y ，B x ，y1122ìy = kx + b( )2 2联立 í，整理得 1+ 4k x b+ 8kbx + 4 - 4 = 02îx2+ 4y - 4 = 02-8kbb4 - 42x + x =x x， × =1+ 4k21+ 4k21212(x kx b)(x kx)b xy -1 y -1+ - +x+ -则 k + k =+=12212121xx2P AP Bx x2211 2- 12 - 8kb -8k -8kb + 8kb221+ 4k2=4b - 421+ 4k2( )8k b -1= -1，又 ¹1b( )( )4 b +1 b -1Þ b = -2k -1，此时D = -64k ，存在k 使得D > 0 成立直线 的方程为 yl= kx - 2k -1当 = 2 时， y= -1x()所以 过定点 2 ，-1 l21. （12 分）已知函数( )( )ax= e + - 2 e - xf x a 2xf (x)的单调性；（1）讨论f (x)有两个零点，求a 的取值范围（2）若( )( )x【详解】（1）由于e22 ef x = a + a - xx( )( )( )= 2 e + - 2 e -1 = e -1 2e +1x x xa 2 x a a( )故 ¢f x+ > f x( )< 0 恒成立1 0从而 ¢当 £ 0 时， ea-1< 0 ， 2eaxx( )f x在 上单调递减R( )当 > 0时，令 ¢= 0 ，从而 e1 0 ，得 = -ln af x- =xaax(-¥ ，- ln a)(- ln a ，+ ¥)x( )+( )f x单调减极小值单调增(x)综上，当 £ 0 时， f 在 上单调递减；aR(x) (-¥,-lna) 上单调递减，在(-lna,+¥) 上单调递增当 > 0 时， f 在a（2）由（1）知，( )( )在 上至多一个零点，不满足条件f xR当 a £ 时，0在 上单调减，故Rf x1( )当 a > 0时，= -ln =1- + lna ffamina1( )令令=1- + ln g aaa11 1= + > 0 从而( )g a( )a a( )( ) (在g a)=1- + lng a> 0 ，则 '0 ，+ ¥ 上单调aa2a( )1 = 0( )( )( )0 < <1a时，g a < 0 当a=1 g a = 0时>1 g a > 0当a增，而 g故当时1( )a g a> 0( )( )若 a > ，则1=1- + ln =，故 f x 恒成立，从而 f x 无零点，> 0fmina不满足条件1( )f x= 0 仅有一个实根 x = -lna = 0 ，不满足若 a =1，则 f=1- + ln = 0，故amina条件1a a2( )0 < a <1，则 f =1- + ln < 0 ，注意到-lna > 0a-1 = + +1- > 0 若 fe2eemina- 13 - 31æö÷ø( ) ()故且f x在 -1，- ln a 上有一个实根，而又ln -1 > ln = -ln a çè aaæ 3ö÷øææ 3ö÷øöæö33æöln -1ln -1ln( -1) = eçça ×eç+ a - 2÷ - ln -1fç÷ç÷è aè açè÷è aøè a øø3333ææöæö æ-1 =öö()=-1 × 3 - a + a - 2 - ln-1 - ln-1 > 0 ç÷ç÷ ç÷ç÷è aøè a ø è aøè aøææ 3öö( )故又在 - ln ，ln-1 上有一个实根f xaçç÷÷èè a)øø( ) ()( )f x在 -¥ ，- ln a 上单调减，在 - ln a ，+ ¥ 单调增，故 f x 在 上至多两R个实根ææ 3öö÷÷øø( ) ()( )上均至少有一个实数根，故 f x 在R又f x在 - - ln a 及 - ln a ，ln1，-1ççèè a上恰有两个实根综上，0 < a <1（二）选考题：共10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22. 选修 4-4：坐标系与参考方程ìx =在直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为í3cosq ，（q 为参数），直线l 的参数= sinq ，îyìx = a + 4t ，方程为 íîy =1- t ， （ 为参数）t1C l（1）若a = - ，求 与 的交点坐标；（2）若 上的点到 距离的最大值为 ，求 a 17Cl【详解】（ ） a = -1时，直线l 的方程为 + 4 - 3 = 0 xy1x2曲线C 的标准方程是+ y =1，2921ììx + 4y - 3 = 0联立方程ïx = -3ïìx =ï25，解得：或，íííïx2y = 0y = 24+ y =1îï2î 9ï25î21 24( ) æö÷ø则C 与l 交点坐标是 3 0 和，-，ç25 25è（ ）直线l 一般式方程是 + 4 - 4 - = 0 xya2()设曲线C 上点 3cos q sinq p，( )3cosq + 4sin q - 4 - aq + j - 4 -34则 到l 距离Pd =a ，其中 tanj=1717依题意得：17 ，解得 = -16或 =8d =maxaa- 14 - 23. 选修 4-5：不等式选讲( )f x( )g x已知函数ax= - + + 4，= +1 + -1 x2xx( ) ( )（1）当 = 时，求不等式 f x1g x 的解集；a( ) ( ) f x g x 的解集包含 -1，1（2）若不等式，求a 的取值范围= 1( )【详解】（1）当 = 时，1a= - + + ，是开口向下，对称轴x4的二次函数f xx2x22x，x >1ìï( )g x = x +1 + x -1 = í2，-1 x1，ï-2x，x < -1î17 -1当 xÎ(1,+¥) 时，令- + + 4 = 2 ，解得 =x2xxx2( ) ()( ) ()g x 在 1，+ ¥ 上单调递增， f x 在 1，+ ¥ 上单调递减æçè17 1ù-( ) ( )f x g x 解集为ç1，此时ú 2û xÎ -1，1( )g x = 2( ) ( )f x f -1 = 2当时，Î -¥，-1)( )g x( )f x( ) ( )g -1 = f -1 = 2单调递增，且 当 x时，单调递减，é17 1ù-( ) ( )综上所述， f x g x 解集 ê-1，ú 2ëû -1，1（2）依题意得：- + + 42 在ax恒成立x2 -1，1即 - - 20 在ax恒成立x2ì1 - ×1- 20则只须 ï2a，解出：-1a1í( ) ( )-1- a -1 - 202ïî -1，1故a 取值范围是- 15 -