第22章 一元二次方程精.ppt

第22章 一元二次方程第1页，本讲稿共52页我我们们将将按按此此流流程程复复习习一一元元二二次次方方程程一元二次方程的定义一元二次方程的定义一元二次方程的解法一元二次方程的解法一元二次方程的应用一元二次方程的应用直接开平方法直接开平方法配方法配方法公式法公式法因式分解法因式分解法一元二次方程的根的判别式一元二次方程的根的判别式一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的根与系数的关系二次三项式的因式分解二次三项式的因式分解列方程解应用题列方程解应用题第2页，本讲稿共52页 一元二次方程一元二次方程一元二次方程一元二次方程定义定义只含有一个未知数，且未知数的最高只含有一个未知数，且未知数的最高只含有一个未知数，且未知数的最高只含有一个未知数，且未知数的最高次数是次数是次数是次数是2 2的方程的方程的方程的方程二次项系数二次项系数二次项系数二次项系数二次项二次项二次项二次项一次项一次项一次项一次项一次项系数一次项系数一次项系数一次项系数常数项常数项常数项常数项一般形式 a x2+b x+c=0当当b0,c 0时，时，当当b=0或或c=0时，时，方程方程ax2+b x+c=0(a0)叫一般的叫一般的方程方程ax2+c=0(a0)或或ax2+b x=0都叫都叫特殊的特殊的.(是一元二次方程是一元二次方程)(a 0)二次项二次项一次项一次项一次项一次项第3页，本讲稿共52页下面给出一些常见的一元二次方程下面给出一些常见的一元二次方程第4页，本讲稿共52页（不是整式方程）（不是整式方程）（不是整式方程）（不是整式方程）（不是一元方程）（不是一元方程）下面给出一些常见的方程下面给出一些常见的方程,不是一元二次方程不是一元二次方程(一元二次方程是整式方程一元二次方程是整式方程)第5页，本讲稿共52页 一元二次方一元二次方程的一般形式程的一般形式 ax2+bx+c=0 (a0)完全的一元二次方程完全的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a0,b0,c0)特殊的特殊的一元二次方程一元二次方程ax2+c=0(a0,c0)ax2+bx=0(a0,b0)ax2=0 (a0)第6页，本讲稿共52页例、方程是否为一元二次方程？如果不是，说明理由；如果是，指出它的二次项、一次项系数及常数项.解：去括号，得解：去括号，得 3x2-3x=2x+4+8.移项，得移项，得 3x2-3x-2x-4-8=0.合并同类项，得合并同类项，得 3x2-5x-12=0.原方程是一元二次方程；二次项系数是原方程是一元二次方程；二次项系数是，一，一次项系数是次项系数是 -5-5，常数项是常数项是 12 12.第7页，本讲稿共52页当ac=b2-4ac=0 =b2-4ac0 =有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根有两个相等的实数根有两个相等的实数根没有实数根没有实数根其中 叫做一元二次方程根的判别式第25页，本讲稿共52页例10若关于x的一元二次方程(m-1)x2-2mx+m=0有两个实数根，则m的取值范围是（）A m 0 B m 0 C m 0 且m1 D m 0且m1解：由题意，得 m-10 =（2m)2-4（m-1）m0解之得，m0且m1，故应选DD第26页，本讲稿共52页 练习1 选择题1 不解方程，判断方程0.2x2-5=1.5x的根的情况是（）A)有两个不相等的实数根 B)有两个相等的实数根C)没有实数根 D)无法确定2.若关于的一元二次方程（k-1）x2+2kx+k+3=0有实数根，则k的取值范围是（）A)k 1.5 B)k 1.5 C)k 1.5 且k1 D)k1.5 AC练一练练一练第27页，本讲稿共52页例11求证：不论m取何值，关于x的一元二次方程9x2-（m+7）x+m-3=0都有两个不相等的实数根证明：=-（m+7）2-49（m-3）=m2+14m+49-36m+108=m2-22m+157=（m-11）2+36不论m取何值，均有（m-11）20（m-11）2+360，即0不论m取何值，方程都有两个不相等的实数根第28页，本讲稿共52页练习2 一、填空题1、关于x的方程x+2kx+k-0的根的情况是 _ 二、求证:不论a为任何实数,2x2+3(a-1)+a2-4a-7=0必有两个不相等的实数根.有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根提示：只要证明b2-4ac=0即可第29页，本讲稿共52页例12已知关于x的一元二次方程 没有实数根，求k的最小整数值。解：将原方程整理，得（2 k-1）x2-8x+6=0 根据题意，得 =（-8）2-4（2k-1）6 k的最小整数值是2第30页，本讲稿共52页练习3若关于x的一元二次方程x2+2x-m+1=0没有实数根，求证关于y的方程y2+my+12m=1一定有两个不相等的实数根。提示：由方程x2+2x-m+1=0没有实数根，得出m的取值范围，然后，将y2+my+12m=1化为一般形式 y2+my+12m-1=0，再证明方程y2+my+12m-1=0的b2-4ac 0。证明：因为x2+2x-m+1=0没有实数根，所以22-4 1（-m+1)0,解得m 0,整理方程y2+my+12m=1得y2+my+12m-1=0，因为b2-4ac=m2-4(12m-1)=m2-48m+4又m 0,所以m2 0，-48m0，所以m2-48m+4 0即 b2-4ac0，因此方程y2+my+12m=1一定有两个不相等的实数根第31页，本讲稿共52页达标练习达标练习一、选择题：1、已知关于X的一元二次方程kx2-2x+1=0有实数根，则k的取值范围是（）k）k）k0，方程有两个不相等的实根方程有两个不相等的实根,8k+9 0,即即 (2).当当=0，方程有两个相等的实根方程有两个相等的实根,8k+9=0,即即 (3).当当 0，方程有没有实数根方程有没有实数根,8k+9 03、证明方程根的情况说明：说明：此类题目要先把方程化成一般形式，再计算出，如果不能直接判断情况，就利用配方法把配成含用完全平方的形式，根据完全平方的非负性，判断的情况，从而证明出方程根的情况第39页，本讲稿共52页练习练习：1、不解方程，判别下列方程的根的情况不解方程，判别下列方程的根的情况（1）（3）（2）2、已知关于、已知关于x 的方程：的方程：有两个有两个 不相等的实数根，不相等的实数根，k为实数，求为实数，求k 的取值范围。的取值范围。3、设关于、设关于x 的方程：的方程：，证明，不论，证明，不论m为何为何 值时，方程总有两个不相等的实数根。值时，方程总有两个不相等的实数根。第40页，本讲稿共52页二、一元二次方程根与系数的关系二、一元二次方程根与系数的关系以两个数以两个数x1、x2为根的一元二次方程为根的一元二次方程（二次项系数为（二次项系数为1）是）是 第41页，本讲稿共52页设设 x1、x2是下列一元二次方程的两个根，填写下表是下列一元二次方程的两个根，填写下表 x1 x2 x1+x2一元二次方程56第42页，本讲稿共52页解：设方程的另一个根为x1，那么第43页，本讲稿共52页例例2、利用根与系数的关系，求一元二次方程、利用根与系数的关系，求一元二次方程 两个根的；（两个根的；（1）平方和；（）平方和；（2）倒数和）倒数和解：设方程的两个根是解：设方程的两个根是x1 x2，那么，那么第44页，本讲稿共52页例例6.已知方程已知方程x22(m2)xm240有两个实数根，有两个实数根，且这两个根的平方和比两根的积大且这两个根的平方和比两根的积大21，求，求m的值的值解：设解：设x x1 1、x x2 2为方程的两根为方程的两根方程有两个实数根，方程有两个实数根，解得解得m0依题意，得 m0，m1(x12+x22)-x1x2=21第45页，本讲稿共52页例例7.试确定试确定m的值，使关于的值，使关于x的方程的方程8x2(2m2m6)x2m10的两根互为相反数的两根互为相反数解：设此方程的两个根为解：设此方程的两个根为x1、x2,要使方程的两个根要使方程的两个根互为相反数互为相反数,必需满足条件必需满足条件:x1x20,x1x200,得2m2m60当m2时，原方程的两根互为相反数第46页，本讲稿共52页1、下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？、下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？2、已知方程、已知方程 的一个根是的一个根是 1，求它的另一个根和求它的另一个根和m的值。的值。3、设、设 x1、x2是方程是方程 利用利用 根与系数的根与系数的 关系，求下列各式的值：关系，求下列各式的值：第47页，本讲稿共52页三、二次三项式的因式分解三、二次三项式的因式分解1、ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)等式右边中的因式等式右边中的因式 千万不能忽略。千万不能忽略。2.在分解二次三项式在分解二次三项式的因式时，可先用求根公式求出方程的因式时，可先用求根公式求出方程的两个根的两个根x1,x2然后然后,写成写成a第48页，本讲稿共52页例题讲解例题讲解例例1 把把分解因式分解因式此步的目的是去掉括号内的分母第49页，本讲稿共52页 在长方形钢片上冲去一个长在长方形钢片上冲去一个长方形，制成一个四周宽相等的长方形，制成一个四周宽相等的长方形框。已知长方形钢片的长为方形框。已知长方形钢片的长为30cm，宽为，宽为20cm,要使制成的长要使制成的长方形框的面积为方形框的面积为400cm2，求这个，求这个长方形框的框边宽。长方形框的框边宽。XX30cm20cm解解:设长方形框的边宽为设长方形框的边宽为xcm,依题意依题意,得得3020(302x)(202x)=400整理得整理得 x2 25+100=0得得 x1=20,x2=5当当=20时时,20-2x=-20(舍去舍去);当当x=5时时,20-2x=10答答:这个长方形框的框边宽为这个长方形框的框边宽为5cm四.应用题第50页，本讲稿共52页1月的数量为月的数量为A，3月的数量为月的数量为B，经过两个，经过两个月，求平均每月增长率月，求平均每月增长率x。某季度数量为某季度数量为B，头一个月数量为，头一个月数量为A，求后两个月的增长率求后两个月的增长率x.1月的数量月的数量A，经过两个月后数量，经过两个月后数量增加增加m%，求平均每月增长率，求平均每月增长率.比较比较A1月月A(1+x)2月月A(1+x)23月月AA(1+m%)增加增加m%=A+A(1+x)+A(1+x)2=B第51页，本讲稿共52页 有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙长a=10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x厘米，面积为S平方米。(1)求S与x的函数关系式（2）如果要围成面积为45 平方米的花圃，AB的长是多少？（3）能围成面积比45 平方米更大的花圃吗？如果能，请求出最大的面积。并说明围法，如果不能，说明理由。ABCDa第52页，本讲稿共52页