经典高等数学映射与函数课件.ppt

1第1页，此课件共29页哦二、数学、初等数学、高等数学二、数学、初等数学、高等数学 1.数学：数学：研究研究“数数”和和“形形”的科学。的科学。2.初等数学：初等数学：17世纪以前的数学。研究的世纪以前的数学。研究的“数数”是常数或是常数或常量；研究的常量；研究的“形形”是孤立的是孤立的,不变的不变的,规则的几何形体。规则的几何形体。(又称为常量数学又称为常量数学)3.高等数学：高等数学：17世纪以后的数学。研究的世纪以后的数学。研究的“数数”是变数或变是变数或变量；研究的量；研究的“形形”是连续的是连续的,变化的变化的,不规则的几何形体。不规则的几何形体。(又又称为变量数学称为变量数学)2第2页，此课件共29页哦1.分析基础分析基础:函数函数,极限极限,连续连续;2.微积分学微积分学:一元微积分一元微积分(上册上册);(下册下册);3.向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何;4.无穷级数无穷级数;5.常微分方程常微分方程.高等数学主要内容高等数学主要内容多元微积分多元微积分oyx3第3页，此课件共29页哦三、数学方法及特点1.数学方法：数学方法：2.特点：特点：3.高等数学（微积分）的方法及特点：高等数学（微积分）的方法及特点：用数学知识、理论、方法对所研究对象进行用数学知识、理论、方法对所研究对象进行定量定量分析、分析、描述、推到和计算，以便从描述、推到和计算，以便从量量的关系上认识事物发展变化的的关系上认识事物发展变化的规律性。规律性。高度的抽象性、严密的逻辑性、严格的确定性、应高度的抽象性、严密的逻辑性、严格的确定性、应用的广泛性。用的广泛性。用用变化变化的观点去观察问题；从的观点去观察问题；从变化变化的过程中去认识的过程中去认识解决问题。解决问题。(主要研究函数主要研究函数,工具是极限工具是极限)4第4页，此课件共29页哦四、怎样学习高等数学四、怎样学习高等数学1.认识高等数学的重要性认识高等数学的重要性,培养浓厚的学习兴趣培养浓厚的学习兴趣.马克思马克思 恩格斯恩格斯要辨证而又唯物地了解自然,就必须熟悉数学.一门科学,只有当它成功地运用数学时,才能达到真正完善的地步.2.学数学最好的方式是做数学学数学最好的方式是做数学.聪明在于学习聪明在于学习,天才在于积累天才在于积累.学习数学，不做练习题，如入宝山而空返学习数学，不做练习题，如入宝山而空返.由薄到厚由薄到厚,由厚到薄由厚到薄.华罗庚华罗庚五、具体要求：五、具体要求：具体要求：具体要求：1.重视每一节课重视每一节课.2.独立独立按时按时完成作业完成作业.把作业写在作业纸上把作业写在作业纸上,交给课代表交给课代表,要在下次上课要在下次上课前前交交给我给我,一旦上课一旦上课,不再收交作业不再收交作业.学习数学，不做练习题，如入宝山而空返学习数学，不做练习题，如入宝山而空返 .我讲课的方法：遇山开路遇水搭桥我讲课的方法：遇山开路遇水搭桥.目的：从举一反三到无师自通目的：从举一反三到无师自通.5第5页，此课件共29页哦第一章数学分析基础数学分析基础 函数函数 极限极限 连续连续 研究对象研究对象 研究方法研究方法 研究桥梁研究桥梁函数与极限二、映射二、映射 三、函数三、函数 一、集合一、集合第一节映射与函数6第6页，此课件共29页哦一、一、集合集合1.集合集合:具有某种特定性质的事物的具有某种特定性质的事物的总体称为集合总体称为集合.组成这个集合的事物称为该集合的组成这个集合的事物称为该集合的元素元素.有限集有限集无限集无限集注注:M 为数集为数集 表示表示 M 中排除中排除 0 的集的集;表示表示 M 中排除中排除 0 与负数的集与负数的集.简称简称集集简称简称元元7第7页，此课件共29页哦常用数集常用数集:N-自然数集自然数集Z-整数集整数集Q-有理数集有理数集R-实数集实数集数集间的关系数集间的关系:不含任何元素的集合称为不含任何元素的集合称为空集空集.例如例如,规定规定空集为任何集合的子集空集为任何集合的子集.直积直积(笛卡尔乘积笛卡尔乘积)：8第8页，此课件共29页哦2.2.区间：区间：是指介于某两个是指介于某两个实数实数之间的之间的全体实数全体实数.这两个这两个实数叫做区间的端点实数叫做区间的端点.称为开区间称为开区间,有限区间：有限区间：则实数集则实数集其中：其中：a称为区间称为区间 的左端点；的左端点；b称为称为 的右端点的右端点.注意：注意：几何表示：几何表示：区间长度区间长度:两端点间的距离两端点间的距离(线段的长度线段的长度)称为区间的长度称为区间的长度.9第9页，此课件共29页哦闭区间闭区间闭区间闭区间:半开区间：半开区间：半开区间：半开区间：和和区间长度区间长度区间长度区间长度：引进记号：引进记号：读作：无穷大读作：无穷大.类似的有：类似的有：读作：读作：正无穷大；正无穷大；读作：负无穷大；读作：负无穷大；10第10页，此课件共29页哦无限区间：无限区间：无限区间：无限区间：注：注：以后在不需要指明所说区间是否包含端点，以后在不需要指明所说区间是否包含端点，有限区间还是无限区间的场合，有限区间还是无限区间的场合，为为“区间区间”，且常用，且常用 I 表示表示.以及是以及是我们就简单的称它我们就简单的称它11第11页，此课件共29页哦则则数集数集记为：记为：(2)几何意义几何意义:3.邻域邻域:12第12页，此课件共29页哦注注:13第13页，此课件共29页哦4.常量与变量常量与变量:在某在某过程过程中数值保持不变的量称为中数值保持不变的量称为常量常量,注意注意:常量与变量是常量与变量是相对相对“过程过程”而言的而言的.通常用字母通常用字母a,b,c等表示常量等表示常量,而数值变化的量称为而数值变化的量称为变量变量.常量与变量的表示方法：常量与变量的表示方法：用字母用字母x,y,t等表示等表示变变量量.5.绝对值绝对值:绝对值不等式绝对值不等式:14第14页，此课件共29页哦二、映射二、映射:定义定义:设设 X,Y 是两个非空集合是两个非空集合,若存在一个对应规若存在一个对应规则则 f,使得使得有唯一确定的有唯一确定的与之对应与之对应,则称则称 f 为从为从 X 到到 Y 的的映射映射,记作记作元素元素 y 称为元素称为元素 x 在映射在映射 f 下的下的像像,记作记作元素元素 x 称为元素称为元素 y 在映射在映射 f 下的下的原像原像.集合集合 X 称为映射称为映射 f 的的定义域定义域;Y 的子集的子集称为称为 f 的的 值域值域.注意注意:1)映射的三要素映射的三要素 定义域定义域,对应规则对应规则,值域值域.2)元素元素 x 的像的像 y 是唯一的是唯一的,但但 y 的原像不一定唯一的原像不一定唯一.15第15页，此课件共29页哦3)对映射对映射若若,则称则称 f 为为满射满射;若若有有 则称则称 f 为为单射单射;若若 f 既是满射又是单射既是满射又是单射,则称则称 f 为为双射双射 或或一一映射一一映射.X(数集数集 或点集或点集)说明说明:在不同数学分支中有不同的在不同数学分支中有不同的X()Y(数集数集)f 称为称为X 上的上的泛函泛函;X()X f 称为称为X 上的上的变换变换;R f 称为定义在称为定义在 X 上的上的函数函数.映射又称为映射又称为算子算子.惯用名称惯用名称.例如例如,16第16页，此课件共29页哦定义域定义域函数的定义函数的定义:设数集设数集则称映射则称映射为定义在为定义在D 上的函数上的函数,记为记为函数图形函数图形:自变量自变量因变量因变量三、函数的概念三、函数的概念17第17页，此课件共29页哦定义域定义域与与对应法则对应法则.3.说明：说明：当两个函数的定义域及对应法则均相同时，则这两个当两个函数的定义域及对应法则均相同时，则这两个函数相同，否则就是不同的函数相同，否则就是不同的.与变量用什么字母无关与变量用什么字母无关.(1)函数的两要素函数的两要素:不同不同不同不同相同相同(对应规则对应规则)(值域值域)(定义域定义域)18第18页，此课件共29页哦 表示函数的记号除常用的表示函数的记号除常用的 f 外，还可用其它的英文字母或希外，还可用其它的英文字母或希腊字母腊字母.如如:为区别不同的函数，需用不同的记号来表示它们为区别不同的函数，需用不同的记号来表示它们.(3)单值与多值：单值与多值：如果自变量在定义域内任取一个数值时如果自变量在定义域内任取一个数值时,对对应的函数值总是只有一个应的函数值总是只有一个,这种函数叫做单值函数这种函数叫做单值函数,否则叫做多否则叫做多值函数值函数.一般把多值函数附加条件后化为单值函数进行研究一般把多值函数附加条件后化为单值函数进行研究.19第19页，此课件共29页哦(4)定义域及其求法：定义域及其求法：有实际背景的函数要考虑实际意义；对于有实际背景的函数要考虑实际意义；对于抽象地用算式表达的函数通常约定这种函数抽象地用算式表达的函数通常约定这种函数的定义域是的定义域是使函数解析式有使函数解析式有意义的意义的自变量的取值范围自变量的取值范围.(自然定义域自然定义域)在这个约定下在这个约定下,表示函数时表示函数时,不必写出不必写出1)分式函数：分式函数：分母不等于零的自变量的值分母不等于零的自变量的值.2)开偶次方：开偶次方：3)对数函数：对数函数：4)反三角函数：反三角函数：5)多个函数的代数和的定义域：多个函数的代数和的定义域：是其各自定义域的交集是其各自定义域的交集.20第20页，此课件共29页哦(5)表示法：表示法：对无实际背景的函数对无实际背景的函数,书写时可以省略定义域书写时可以省略定义域.对实际问题对实际问题,书写函数时必须写出定义域；书写函数时必须写出定义域；例如例如,反正弦函数反正弦函数定义域定义域值域值域21第21页，此课件共29页哦四、几个特殊的函数举例四、几个特殊的函数举例 1.常数函数常数函数 2.绝对值函数绝对值函数图形是平行于图形是平行于图形是平行于图形是平行于x轴的一条直线轴的一条直线轴的一条直线轴的一条直线.2xyoy=2yxo o图形如图图形如图.22第22页，此课件共29页哦称为称为符号函数符号函数.它的定义域它的定义域值域值域图形如上图形如上.注意到：注意到：对于一切对于一切x，有关系式，有关系式成立成立.3.符号函数符号函数23第23页，此课件共29页哦4.取整函数取整函数高斯函数高斯函数x表示不超过表示不超过x 的最大整数的最大整数如：如：一般地：一般地：-4 3 -2 -1 1 2 3 41234-1-2-3-4oxy图形称为图形称为阶梯曲线，阶梯曲线，而且在而且在x的整数值处的整数值处,图形发生图形发生跳跃跳跃,跳度为跳度为1.24第24页，此课件共29页哦有理数点有理数点无理数点无理数点1xyo5.狄利克雷函数狄利克雷函数德国数学家狄利克雷对函数作了德国数学家狄利克雷对函数作了广义的论述广义的论述：不管是否可用一个数学公式来表示对应关系，不管是否可用一个数学公式来表示对应关系，能作出图像，能作出图像，两个变量之间两个变量之间,只要有只要有数值上的确定法则对应关系数值上的确定法则对应关系,也不管是否也不管是否均可认为是函数关系均可认为是函数关系.25第25页，此课件共29页哦yxoyxo6.6.取最值函数取最值函数如：如：26第26页，此课件共29页哦定义：定义：自变量在不同的范围内用不同的式子来表示的函数自变量在不同的范围内用不同的式子来表示的函数,叫叫分段函数分段函数.如：如：高斯函数高斯函数-4 3 -2 -1 1 2 3 41234-1-2-3-4oxy,符号函数等符号函数等.注意：注意：(1)分段函数指的是分段函数指的是一个函数一个函数，而，而非非几个函数几个函数.(2)分段函数的分段函数的定义域定义域是是将将x的值并起来，的值并起来，值域值域也也并起来并起来.(3)求分段函数的求分段函数的函数值函数值时，时，一定要根据一定要根据x的取值范围的取值范围选取正确的式子选取正确的式子.27第27页，此课件共29页哦例例1.已知函数已知函数解解:写出写出 f(x)的定义域及值域的定义域及值域,并求并求f(x)的定义域的定义域 值域值域 28第28页，此课件共29页哦解解:例例2.求求的定义域和值域的定义域和值域.练习练习:29第29页，此课件共29页哦