2022届高三数学一轮复习（原卷版）专题23 立体几何中的角（原卷版）.docx

专题23 立体几何中的角 命题规律内 容典 型计算空间几何体中的异面直线所成角2020年高考江苏卷24计算简单几何体中的直线与平面的夹角2020年高考全国卷理数20计算简单几何体中的二面角2020年高考全国卷理数18简单几何体中的空间角综合问题2020年高考天津卷175以折叠为背景简单几何体中空间角的计算问题2018年高考全国卷理数命题规律一 计算空间几何体异面直线所成角【解决之道】异面直线所成角的求解思路：定义法：根据异面直线所成角的定义，通过过一点（通常在一条直线上取一点）作两条异面直线的平行线，转化为相交直线的夹角，通过解三角形求解，解题步骤，一找二作三证四解. 向量法：=（其中（）为异面直线所成角，分别表示异面直线的方向向量）【三年高考】1.【2018年高考全国卷理数】在长方体中，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）ABCD2.【2020年高考江苏卷24】在三棱锥ABCD中，已知CB=CD=，BD=2，O为BD的中点，AO平面BCD，AO=2，E为AC的中点（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；（2）若点F在BC上，满足BF=BC，设二面角FDEC的大小为，求sin的值3.【2018年高考江苏卷】如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值命题规律二 计算简单几何体中的直线与平面的夹角问题【解决之道】求线面角的思路几何法：根据定义转化为斜线与斜线在平面内的射影所成的角，通过解三角形求解，解题步骤，一找二作三证四解.向量法：建立空间在极坐标系，利用空间向量的有关知识计算出平面内的法向量为与直线的方向向量为，直线与平面的所成的角为，则=.【三年高考】1.【2020年高考山东卷4】日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间把地球看成一个球（球心记为），地球上一点的纬度是指与地球赤道所在平面所成角，点处的水平面是指过点且与垂直的平面在点处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点处的纬度为北纬，则晷针与点处的水平面所成角为（ ）A B CD2.【2020年高考全国卷理数20】如图，已知三棱柱的底面是正三角形，侧面是矩形，分别为的中点，为上一点过和的平面交于，交于（1）证明：/，且平面平面；（2）设为的中心，若，且，求直线与平面所成角的正弦值3.【2020年高考浙江卷19】如图，三棱台DEFABC中，面ADFC面ABC，ACB=ACD=45°，DC =2BC（I）证明：EFDB；（II）求DF与面DBC所成角的正弦值4.【2020年高考山东卷20】如图，四棱锥的底面为正方形，底面，设平面与平面的交线为（1）证明：平面；（2）已知，为上的点，求与平面所成角的正弦值的最大值5.【2019年高考浙江卷】如图，已知三棱柱，平面平面,，分别是AC，A1B1的中点.（1）证明：；（2）求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.7.【2018年高考浙江卷】如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2（1）证明：AB1平面A1B1C1；（2）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值命题规律三 计算简单几何体中的二面角【解决之道】二面角问题的解题思路：几何法：先找（作出）出二面角的平面角，在证明该角是二面角的平面角，在再相关三角形中，利用正余弦定理解出平面角，即为二面角大小.向量法：对二面角的大小问题，先求出平面、的法向量、，再求出、的夹角，在内取一点A，在内取一点B，设二面角大小为，若与同号，则=，若与异号，则=，注意二面角大小与法向量夹角的关系.面积射影定理法： .(平面多边形及其射影的面积分别是、，它们所在平面所成锐二面角的为).【三年高考】1.【2019年高考浙江卷】设三棱锥VABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点（不含端点）记直线PB与直线AC所成的角为，直线PB与平面ABC所成的角为，二面角PACB的平面角为，则（ ）A<，<B<，< C<，< D<，< 2.【2020年高考全国卷理数18】如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，是底面的内接正三角形，为上一点，（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值2.【2020年高考全国卷理数19】如图，在长方体中，点分别在棱上，且（1）证明：点在平面内；（2）证明：若时，求二面角的正弦值 3.【2019年高考北京卷理数】如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ADCD，ADBC，PA=AD=CD=2，BC=3E为PD的中点，点F在PC上，且（1）求证：CD平面PAD；（2）求二面角FAEP的余弦值；（3）设点G在PB上，且判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由4.【2018年高考北京卷理数】如图，在三棱柱ABC中，平面ABC，D，E，F，G分别为，AC，的中点，AB=BC=，AC=2（1）求证：AC平面BEF；（2）求二面角BCDC1的余弦值；（3）证明：直线FG与平面BCD相交命题规律四 简单几何体中空间角的综合问题【解决之道】解决此类问题，常先建立空间在极坐标系，计算出相关平面的法向量与直线的方向向量，再利用所给方法求解.【三年高考】1.【2020年高考天津卷17】如图，在三棱柱中，平面，点分别在棱和棱上，且为棱的中点（）求证：；（）求二面角的正弦值；（）求直线与平面所成角的正弦值2.【2018年高考浙江卷】已知四棱锥SABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为1，SE与平面ABCD所成的角为2，二面角SABC的平面角为3，则（ ）A123 B321C132 D2313.【2019年高考天津卷理数】如图，平面，（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）若二面角的余弦值为，求线段的长4.【2018年高考全国II卷理数】如图，在三棱锥中，为的中点（1）证明：平面；（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值5.【2018年高考天津卷理数】如图，且AD=2BC，,且EG=AD，且CD=2FG，DA=DC=DG=2.（1）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：；（2）求二面角的正弦值；（3）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长.命题规律五 以折叠为背景简单几何体中空间角的计算问题【解决之道】解决此类问题，首先注意折叠过程中的不变量及折叠前后的位置关系，然后建立空间在直角坐标系，计算出相关平面的法向量与直线的方向向量，再利用所给方法求解.【三年高考】1.【2018年高考全国卷理数】如图，四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.（1）证明：平面平面；（2）求与平面所成角的正弦值.