2022届高三数学一轮复习（原卷版）课后限时集训71 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 作业.doc

1 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 建议用时：45 分钟 一、选择题 1(2019 陕西省第三次联考)同时抛掷 2 枚质地均匀的硬币 4 次，设 2 枚硬币均正面向上的次数为 X，则 X 的数学期望是( ) A1 B2 C.32 D.52 A 一次同时抛掷 2 枚质地均匀的硬币， 恰好出现 2 枚正面向上的概率为121214， XB(4，14)，E(X)4141.故选 A. 2(2019 广西桂林市、崇左市二模)在某项测试中，测量结果 服从正态分布 N(1，2)(0)，若 P(01)0.4，则 P(02)( ) A0.4 B0.8 C0.6 D0.2 B 由正态分布的图象和性质得 P(02)2P(020，所以从采购商的角度考虑，应该采用第一种方案 (3)用分层抽样的方法从 100 个水果中抽取 10 个，则其中精品果 4 个，非精品果 6 个，现从中抽取 3 个，则精品果的数量 X 服从超几何分布，所有可能的取值为 0，1，2，3， 则 P(X0)C36C31016；P(X1)C26C14C31012； P(X2)C16C24C310310；P(X3)C34C310130， 所以 X 的分布列如下： X 0 1 2 3 P 16 12 310 130 所以 E(X)0161122310313065. 10某市高中某学科竞赛中，某区 4 000 名考生的竞赛成绩的频率分布直方图如图所示 (1)求这4 000名考生的平均成绩x(同一组中数据用该组区间中点值作代表)； (2)认为考生竞赛成绩 Z 服从正态分布 N(，2)，其中 ，2分别取考生的平5 均成绩 x 和考生成绩的方差 s2， 那么该区 4 000 名考生成绩超过 84.81 分(含 84.81分)的人数大约为多少？ (3)如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市参赛考生成绩的情况，现从全市参赛考生中随机抽取 4 名考生，记成绩不超过84.81 分的考生人数为 ，求P(3)(精确到 0.001) 附：s2204.75， 204.7514.31； ZN(，2)，则 P(Z)0.682 6， P(2Z2)0.954 4； 0.841 340.501. 解 (1)由题意知： 中间值 45 55 65 75 85 95 概率 0.1 0.15 0.2 0.3 0.15 0.1 x 450.1550.15650.2750.3850.15950.170.5(分)， 这 4 000 名考生的平均成绩 x 为 70.5 分 (2)由题知 Z 服从正态分布 N(，2)，其中 x70.5， 2204.75，14.31， Z 服从正态分布 N(，2)，即 N(70.5，14.312) 而 P(Z)P(56.19Z84.81)0.682 6， P(Z84.81)10.682 620.158 7. 竞赛成绩超过 84.81 分的人数大约为 0.158 74 000634.8634. (3)全市参赛考生成绩不超过 84.81 分的概率为 10.158 70.841 3. 而 B(4，0.841 3)， P(3)1P(4)1C440.841 3410.5010.499. 1(2019 西安质检)已知随机变量 的分布列如下： 0 1 2 P a b c 其中 a，b，c 成等差数列，则函数 f(x)x22x 有且只有一个零点的概率6 为( ) A.16 B.13 C.12 D.56 B 由题意知 a，b，c0，1，且2bac，abc1，解得 b13，又函数 f(x)x22x 有且只有一个零点，故对于方程 x22x0，440，解得 1，所以 P(1)13. 2(2019 浙江高考)设 0a1，则随机变量 X 的分布列是 X 0 a 1 P 13 13 13 则当 a 在(0，1)内增大时，( ) AD(X)增大 BD(X)减小 CD(X)先增大后减小 DD(X)先减小后增大 D 法一：由分布列得 E(X)1a3，则 D(X)(1a30)213(1a3a)213(1a31)21329(a12)216，则当 a在(0，1)内增大时，D(X)先减小后增大故选 D. 法二：则 D(X)E(X2)E(X)0a2313（a1）29， 2a22a2929(a12)234， 则当 a 在(0，1)内增大时，D(X)先减小后增大故选 D. 3体育课的排球发球项目考试的规则是：每名学生最多可发球 3 次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到 3 次为止设某学生每次发球成功的概率为 p(0p1)，发球次数为 X，若 X 的数学期望 E(X)1.75，则 p 的取值范围是( ) A.0，712 B.712，1 7 C.0，12 D.12，1 C 由已知条件可得 P(X1)p，P(X2)(1p)p， P(X3)(1p)2p(1p)3(1p)2，则 E(X)p2(1p)p3(1p)2p23p31.75，解得 p52或 p12.由 p(0，1)，可得 p0，12. 4(2018 全国卷)某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验， 如检验出不合格品， 则更换为合格品 检验时，先从这箱产品中任取 20 件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验设每件产品为不合格品的概率都为 p(0p1)，且各件产品是否为不合格品相互独立 (1)记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 f(p)，求 f(p)的最大值点 p0. (2)现对一箱产品检验了 20 件，结果恰有 2 件不合格品，以(1)中确定的 p0作为 p 的值已知每件产品的检验费用为 2 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 25 元的赔偿费用 若不对该箱余下的产品作检验， 这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 X，求 E(X)； 以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据， 是否该对这箱余下的所有产品作检验？ 解 (1)20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 f(p)C220p2(1p)18.因此 f(p)C2202p(1p)1818p2(1p)172C220p(1p)17(110p) 令 f(p)0，得 p0.1.当 p(0，0.1)时，f(p)0； 当 p(0.1，1)时，f(p)0. 所以 f(p)的最大值点为 p00.1. (2)由(1)知，p0.1. 令 Y 表示余下的 180 件产品中的不合格品件数， 依题意知 YB(180， 0.1)，X20225Y， 即 X4025Y. 所以 E(X)E(4025Y) 4025E(Y)490. 如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为 400 元 8 由于 E(X)400， 故应该对余下的产品作检验 1某篮球队对队员进行考核，规则是：每人进 3 个轮次的投篮；每个轮次每人投篮 2 次，若至少投中 1 次，则本轮通过，否则不通过已知队员甲投篮 1 次投中的概率为23，如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲 3 个轮次通过的次数 X 的期望是( ) A3 B.83 C2 D.53 B 在一轮投篮中，甲通过的概率为 p89，通不过的概率为19. 由题意可知，甲 3 个轮次通过的次数 X 的取值分别为 0，1，2，3， 则 P(X0)(19)31729； P(X1)C1389(19)224729； P(X2)C23(89)219192729； P(X3)512729. 随机变量 X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 1729 24729 192729 512729 数学期望 E(X)017291247292192729351272983，或由二项分布的期望公式可得 E(X)83. 2在一次随机试验中，事件 A 发生的概率为 p，事件 A 发生的次数为 ，则数学期望 E()_，方差 D()的最大值为_ p 14 记事件 A 发生的次数 可能的值为 0，1. 0 1 9 P 1p p 数学期望 E()0(1p)1pp， 方差 D()(0p)2(1p)(1p)2pp(1p)14. 故数学期望 E()p，方差 D()的最大值为14.