2022届高三数学一轮复习（原卷版）第三章 3.2导数的应用-教师版.docx

导数的应用知识梳理1函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f(x)>0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果f(x)<0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递减2函数的极值(1)一般地，求函数yf(x)的极值的方法解方程f(x)0，当f(x0)0时：如果在x0附近的左侧f(x)>0，右侧f(x)<0，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f(x)<0，右侧f(x)>0，那么f(x0)是极小值(2)求可导函数极值的步骤：求f(x)；求方程f(x)0的根；考察f(x)在方程f(x)0的根附近的左右两侧导数值的符号如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值3函数的最值(1)在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值(2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值(3)设函数f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤如下：求函数yf(x)在(a，b)内的极值；将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值【知识拓展】1在某区间内f(x)>0(f(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件2可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对任意x(a，b)，都有f(x)0(f(x)0)且f(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零3对于可导函数f(x)，f(x0)0是函数f(x)在xx0处有极值的必要不充分条件例题解析题型一 基础【例1】1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f(x)>0.(×)(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f(x)0，则f(x)在此区间内没有单调性()(3)函数的极大值不一定比极小值大()(4)对可导函数f(x)，f(x0)0是x0点为极值点的充要条件(×)(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值()(6)三次函数在R上必有极大值和极小值(×)【同步练习】1f(x)x36x2的单调递减区间为()A(0,4) B(0,2)C(4，) D(，0)答案A解析f(x)3x212x3x(x4)，由f(x)<0，得0<x<4，单调递减区间为(0,4)2如图是函数yf(x)的导函数yf(x)的图象，则下面判断正确的是()A在区间(2,1)上f(x)是增函数B在区间(1,3)上f(x)是减函数C在区间(4,5)上f(x)是增函数D当x2时，f(x)取到极小值答案C解析在(2,1)上，导函数的符号有正有负，所以函数f(x)在这个区间上不是单调函数；同理，函数在(1,3)上也不是单调函数；在x2的左侧，函数在(，2)上是增函数，在x2的右侧，函数在(2,4)上是减函数，所以当x2时，f(x)取到极大值；在(4,5)上导函数的符号为正，所以函数在这个区间上为增函数3已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)3，且f(x)的导数f(x)在R上恒有f(x)<2(xR)，则不等式f(x)<2x1的解集为()A(1，) B(，1)C(1,1) D(，1)(1，)答案A解析令g(x)f(x)2x1，g(x)f(x)2<0，g(x)在R上为减函数，g(1)f(1)210.由g(x)<0g(1)，得x>1，故选A.4设aR，若函数yexax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是_答案(，1)解析yexax，yexa.函数yexax有大于零的极值点，则方程yexa0有大于零的解，x>0时，ex<1，aex<1.题型二不含参数的函数的单调性【例2】(1)函数yx2ln x的单调递减区间为()A(1,1) B(0,1)C(1，) D(0，)(2)已知定义在区间(，)上的函数f(x)xsin xcos x，则f(x)的单调递增区间是_答案(1)B(2)和解析(1)yx2ln x，yx(x>0)令y<0，得0<x<1，单调递减区间为(0,1)(2)f(x)sin xxcos xsin xxcos x.令f(x)xcos x>0，则其在区间(，)上的解集为和，即f(x)的单调递增区间为和.思维升华确定函数单调区间的步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f(x)；(3)解不等式f(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间【同步练习】1、(1)函数y4x2的单调增区间为()A(0，) B.C(，1) D.(2)已知函数f(x)xln x，则f(x)()A在(0，)上递增 B在(0，)上递减C在(0，)上递增 D在(0，)上递减答案(1)B(2)D解析(1)由y4x2，得y8x，令y>0，即8x>0，解得x>，函数y4x2的单调增区间为.故选B.(2)因为函数f(x)xln x，定义域为(0，)，所以f(x)ln x1(x>0)，当f(x)>0时，解得x>，即函数的单调递增区间为(，)；当f(x)<0时，解得0<x<，即函数的单调递减区间为(0，)，故选D.题型三含参数的函数的单调性【例3】已知函数f(x)ln(ex1)ax(a>0)(1)若函数yf(x)的导函数是奇函数，求a的值；(2)求函数yf(x)的单调区间解(1)函数f(x)的定义域为R.由已知得f(x)a.函数yf(x)的导函数是奇函数，f(x)f(x)，即aa，解得a.(2)由(1)知f(x)a1a.当a1时，f(x)<0恒成立，当a1，)时，函数yf(x)在R上单调递减当0<a<1时，由f(x)>0，得(1a)(ex1)>1，即ex>1，解得x>ln ，由f(x)<0，得(1a)(ex1)<1，即ex<1，解得x<ln .当a(0,1)时，函数yf(x)在(ln ，)上单调递增，在(，ln )上单调递减综上，当a1时，f(x)在R上单调递减；当0<a<1时，f(x)在上单调递增，在上单调递减思维升华(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点(3)个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f(x)x3，f(x)3x20(f(x)0在x0时取到)，f(x)在R上是增函数【同步练习】1、讨论函数f(x)(a1)ln xax21的单调性解f(x)的定义域为(0，)，f(x)2ax.当a1时，f(x)>0，故f(x)在(0，)上单调递增；当a0时，f(x)<0，故f(x)在(0，)上单调递减；当0<a<1时，令f(x)0，解得x ，则当x(0, )时，f(x)<0；当x( ，)时，f(x)>0，故f(x)在(0, )上单调递减，在( ，)上单调递增题型四已知函数单调性求参数【例4】已知函数f(x)ln x，g(x)ax22x(a0)(1)若函数h(x)f(x)g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；(2)若函数h(x)f(x)g(x)在1,4上单调递减，求a的取值范围解(1)h(x)ln xax22x，x(0，)，所以h(x)ax2，由于h(x)在(0，)上存在单调递减区间，所以当x(0，)时，ax2<0有解，即a>有解设G(x)，所以只要a>Gmin即可而G(x)(1)21，所以G(x)min1.所以a>1.(2)由h(x)在1,4上单调递减得，当x1,4时，h(x)ax20恒成立，即a恒成立所以aG(x)max，而G(x)(1)21，因为x1,4，所以，1，所以G(x)max(此时x4)，所以a，即a的取值范围是，)【同步练习】1本题(2)中，若函数h(x)f(x)g(x)在1,4上单调递增，求a的取值范围解由h(x)在1,4上单调递增得，当x1,4时，h(x)0恒成立，当x1,4时，a恒成立，又当x1,4时，()min1(此时x1)，a1，即a的取值范围是(，12本题(2)中，若h(x)在1,4上存在单调递减区间，求a的取值范围解h(x)在1,4上存在单调递减区间，则h(x)<0在1,4上有解，当x1,4时，a>有解，又当x1,4时，()min1，a>1，即a的取值范围是(1，)思维升华根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：yf(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x(a，b)都有f(x)0且在(a，b)内的任一非空子区间上f(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解(3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题3、已知函数f(x)exln xaex(aR)(1)若f(x)在点(1，f(1)处的切线与直线yx1垂直，求a的值；(2)若f(x)在(0，)上是单调函数，求实数a的取值范围解(1)f(x)exln xex·aex(aln x)ex，f(1)(1a)e，由(1a)e·1，得a2.(2)由(1)知f(x)(aln x)ex，若f(x)为单调递减函数，则f(x)0在x>0时恒成立即aln x0在x>0时恒成立所以aln x在x>0时恒成立令g(x)ln x(x>0)，则g(x)(x>0)，由g(x)>0，得x>1；由g(x)<0，得0<x<1.故g(x)在(0,1)上为单调递减函数，在(1，)上为单调递增函数，此时g(x)的最小值为g(1)1，但g(x)无最大值(且无趋近值)故f(x)不可能是单调递减函数若f(x)为单调递增函数，则f(x)0在x>0时恒成立，即aln x0在x>0时恒成立，所以aln x在x>0时恒成立，由上述推理可知此时a1.故实数a的取值范围是(，1【例5】已知函数f(x)ln x，g(x)f(x)ax2bx，其中函数g(x)的图象在点(1，g(1)处的切线平行于x轴(1)确定a与b的关系；(2)若a0，试讨论函数g(x)的单调性思想方法指导含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论，常见的分类讨论标准有以下几种可能：(1)方程f(x)0是否有根(2)若f(x)0有根，求出根后判断其是否在定义域内(3)若根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法规范解答解(1)依题意得g(x)ln xax2bx，则g(x)2axb.3分由函数g(x)的图象在点(1，g(1)处的切线平行于x轴得g(1)12ab0，b2a1.5分(2)由(1)得g(x).函数g(x)的定义域为(0，)，当a0时，g(x).由g(x)>0，得0<x<1，由g(x)<0，得x>1，7分当a>0时，令g(x)0，得x1或x，9分若<1，即a>，由g(x)>0，得x>1或0<x<，由g(x)<0，得<x<1；11分若>1，即0<a<，由g(x)>0，得x>或0<x<1，由g(x)<0，得1<x<，若1，即a，在(0，)上恒有g(x)0.13分综上可得：当a0时，函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减；当0<a<时，函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，在(，)上单调递增；当a时，函数g(x)在(0，)上单调递增；当a>时，函数g(x)在(0，)上单调递增，在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增反思总结1求可导函数单调区间的一般步骤和方法：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f(x)，令f(x)0，求出它在定义域内的一切实根；(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；(4)确定f(x)在各个开区间内的符号，根据f(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性2可导函数极值存在的条件：(1)可导函数的极值点x0一定满足f(x0)0，但当f(x1)0时，x1不一定是极值点如f(x)x3，f(0)0，但x0不是极值点(2)可导函数yf(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0)0，且在x0左侧与右侧f(x)的符号不同3函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出来的函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值4求函数的最值以导数为工具，先找到极值点，再求极值和区间端点函数值，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 课后练习1函数f(x)(x3)ex的单调递增区间是()A(，2) B(0,3)C(1,4) D(2，)答案D解析函数f(x)(x3)ex的导数为f(x)(x3)exex(x3)ex(x2)ex.由函数导数与函数单调性的关系，得当f(x)>0时，函数f(x)单调递增，此时由不等式f(x)(x2)ex>0，解得x>2.2已知函数f(x)x3ax4，则“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析f(x)x2a，当a0时，f(x)0恒成立，故“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件3已知f(x)1xsin x，则f(2)，f(3)，f()的大小关系正确的是()Af(2)>f(3)>f()Bf(3)>f(2)>f()Cf(2)>f()>f(3)Df()>f(3)>f(2)答案D解析因为f(x)1xsin x，所以f(x)1cos x，当x(0，时，f(x)>0，所以f(x)在(0，上是增函数，所以f()>f(3)>f(2)故选D.4已知函数f(x)x在(，1)上单调递增，则实数a的取值范围是()A1，) B(，0)(0,1C(0,1 D(，0)1，)答案D解析函数f(x)x的导数为f(x)1，由于f(x)在(，1)上单调递增，则f(x)0在(，1)上恒成立，即x2在(，1)上恒成立，由于当x<1时，x2>1，则有1，解得a1或a<0.5已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是()Af(b)>f(c)>f(d)Bf(b)>f(a)>f(e)Cf(c)>f(b)>f(a)Df(c)>f(e)>f(d)答案C解析依题意得，当x(，c)时，f(x)>0，所以函数f(x)在(，c)上是增函数，因为a<b<c，所以f(c)>f(b)>f(a)，因此C正确6设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数，f(1)0，当x>0时，xf(x)f(x)0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是()A(，1)(0,1)B(1,0)(1，)C(，1)(1,0)D(0,1)(1，)答案A解析因为f(x)(xR)为奇函数，f(1)0，所以f(1)f(1)0.当x0时，令g(x)，则g(x)为偶函数，g(1)g(1)0.则当x0时，g(x)0，故g(x)在(0，)上为减函数，在(，0)上为增函数所以在(0，)上，当0x1时，g(x)g(1)00f(x)0；在(，0)上，当x1时，g(x)g(1)00f(x)0.综上，知使得f(x)0成立的x的取值范围是(，1)(0,1)，故选A.7若函数f(x)x3bx2cxd的单调减区间为(1,3)，则bc_.答案12解析f(x)3x22bxc，由题意知1<x<3是不等式3x22bxc<0的解集，1,3是f(x)0的两个根，b3，c9，bc12.8已知函数f(x)(xR)满足f(1)1，f(x)的导数f(x)<，则不等式f(x2)<的解集为_答案(，1)(1，)解析设F(x)f(x)x，F(x)f(x)，f(x)<，F(x)f(x)<0，即函数F(x)在R上单调递减，f(x2)<，f(x2)<f(1)，F(x2)<F(1)，而函数F(x)在R上单调递减，x2>1，即x(，1)(1，)9若函数f(x)x3x22ax在，)上存在单调递增区间，则a的取值范围是_答案(，)解析对f(x)求导，得f(x)x2x2a(x)22a.当x，)时，f(x)的最大值为f()2a.令2a>0，解得a>，所以a的取值范围是(，)10若函数f(x)2x33mx26x在区间(2，)上为增函数，则实数m的取值范围为_答案(，解析f(x)6x26mx6，当x(2，)时，f(x)0恒成立，即x2mx10恒成立，mx恒成立令g(x)x，g(x)1，当x>2时，g(x)>0，即g(x)在(2，)上单调递增，m2.11设函数f(x)xeaxbx，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y(e1)x4.(1)求a，b的值；(2)求f(x)的单调区间解(1)f(x)的定义域为R.f(x)eaxxeaxb(1x)eaxb.依题设，即解得a2，be.(2)由(1)知f(x)xe2xex，由f(x)e2x(1xex1)及e2x0知，f(x)与1xex1同号令g(x)1xex1，则g(x)1ex1.所以，当x(，1)时，g(x)0，g(x)在区间(，1)上单调递减；当x(1，)时，g(x)0，g(x)在区间(1，)上单调递增故g(1)1是g(x)在区间(，)上的最小值，从而g(x)0，x(，)，综上可知，f(x)0，x(，)故f(x)的单调递增区间为(，)12已知函数f(x)ln x，其中aR，且曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线yx.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间解(1)对f(x)求导得f(x)(x>0)，由f(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线yx，知f(1)a2，解得a.(2)由(1)知f(x)ln x，则f(x)(x>0)令f(x)0，解得x1或x5.因为x1不在f(x)的定义域(0，)内，故舍去当x(0,5)时，f(x)<0，故f(x)在(0,5)内为减函数；当x(5，)时，f(x)>0，故f(x)在(5，)内为增函数综上，f(x)的单调增区间为(5，)，单调减区间为(0,5)13已知函数f(x)ln x，g(x)axb.(1)若f(x)与g(x)在x1处相切，求g(x)的表达式；(2)若(x)f(x)在1，)上是减函数，求实数m的取值范围解(1)由已知得f(x)，f(1)1a，a2.又g(1)0ab，b1，g(x)x1.(2)(x)f(x)ln x在1，)上是减函数(x)0在1，)上恒成立即x2(2m2)x10在1，)上恒成立，则2m2x，x1，)，x2，)，2m22，m2.故实数m的取值范围是(，2 数形结合思想（教师版）