高考数学一轮复习总教案：9.5　圆锥曲线综合问题_20210103224752.doc

淘宝店铺：漫兮教育9.5圆锥曲线综合问题典例精析题型一求轨迹方程【例1】已知抛物线的方程为x22y，F是抛物线的焦点，过点F的直线l与抛物线交于A、B两点，分别过点A、B作抛物线的两条切线l1和l2，记l1和l2交于点M.(1)求证：l1l2；(2)求点M的轨迹方程.【解析】(1)依题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为ykx.联立消去y整理得x22kx10.设A的坐标为(x1，y1)，B的坐标为(x2，y2)，则有x1x21，将抛物线方程改写为yx2，求导得yx.所以过点A的切线l1的斜率是k1x1，过点B的切线l2的斜率是k2x2.因为k1k2x1x21，所以l1l2.(2)直线l1的方程为yy1k1(xx1)，即yx1(xx1).来源:同理直线l2的方程为yx2(xx2).联立这两个方程消去y得x2(xx2)x1(xx1)，整理得(x1x2)(x)0，注意到x1x2，所以x.此时yx1(xx1)x1(x1).由(1)知x1x22k，所以xkR.所以点M的轨迹方程是y.【点拨】直接法是求轨迹方程最重要的方法之一，本题用的就是直接法.要注意“求轨迹方程”和“求轨迹”是两个不同概念，“求轨迹”除了首先要求我们求出方程，还要说明方程轨迹的形状，这就需要我们对各种基本曲线方程和它的形态的对应关系了如指掌.【变式训练1】已知ABC的顶点为A(5,0)，B(5,0)，ABC的内切圆圆心在直线x3上，则顶点C的轨迹方程是()A.1B.1C.1(x3)D.1(x4)【解析】如图，|AD|AE|8，|BF|BE|2，|CD|CF|，所以|CA|CB|826，根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为1(x3)，故选C.题型二圆锥曲线的有关最值【例2】已知菱形ABCD的顶点A、C在椭圆x23y24上，对角线BD所在直线的斜率为1.当ABC60°时，求菱形ABCD面积的最大值.【解析】因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD.于是可设直线AC的方程为yxn.由得4x26nx3n240.因为A，C在椭圆上，所以12n2640，解得n.设A，C两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1x2，x1x2，y1x1n，y2x2n. 所以y1y2.因为四边形ABCD为菱形，且ABC60°，所以|AB|BC|CA|.所以菱形ABCD的面积S|AC|2.又|AC|2(x1x2)2(y1y2)2，所以S(3n216) (n).所以当n0时，菱形ABCD的面积取得最大值4.【点拨】建立“目标函数”，借助代数方法求最值，要特别注意自变量的取值范围.在考试中很多考生没有利用判别式求出n的取值范围，虽然也能得出答案，但是得分损失不少.【变式训练2】已知抛物线yx21上有一定点B(1,0)和两个动点P、Q，若BPPQ，则点Q横坐标的取值范围是.【解析】如图，B(1,0)，设P(xP，x1)，Q(xQ，x1)，由kBP·kPQ1，得·1.所以xQxP(xP1)1.因为|xP1|2，所以xQ1或xQ3.来源:题型三求参数的取值范围及最值的综合题【例3】(2013浙江模拟)已知m1，直线l：xmy0，椭圆C：y21，F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点.来源:(1)当直线l过右焦点F2时，求直线l的方程；(2)设直线l与椭圆C交于A，B两点，AF1F2，BF1F2的重心分别为G，H.若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围.【解析】(1)因为直线l：xmy0经过F2(，0)，所以，解得m22，又因为m1，所以m.故直线l的方程为xy10.(2)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去x得2y2my10，则由m28(1)m280知m28，来源:且有y1y2，y1y2.由于F1(c,0)，F2(c,0)，故O为F1F2的中点，由2， 2，得G(，)，H(，)，|GH|2.设M是GH的中点，则M(，)，由题意可知，2|MO|GH|，即4()2()2，即x1x2y1y20.来源:来源:而x1x2y1y2(my1)(my2)y1y2(m21)().所以0，即m24.又因为m1且0，所以1m2.所以m的取值范围是(1,2).【点拨】本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆、点与圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.【变式训练3】若双曲线x2ay21的右支上存在三点A、B、C使ABC为正三角形，其中一个顶点A与双曲线右顶点重合，则a的取值范围为.【解析】设B(m，)，则C(m，)(m1)， 又A(1,0)，由ABBC得(m1)2(2)2，来源:所以a33(1)3，即a的取值范围为(3，).来源:总结提高1.求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一.求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标法”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义、性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们的一大难点.求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法、待定系数法.2.最值问题的代数解法，是从动态角度去研究解析几何中的数学问题的主要内容，其解法是设变量、建立目标函数、转化为求函数的最值.其中，自变量的取值范围由直线和圆锥曲线的位置关系(即判别式与0的关系)确定.3.范围问题，主要是根据条件，建立含有参变量的函数关系式或不等式，然后确定参数的取值范围.其解法主要有运用圆锥曲线上点的坐标的取值范围，运用求函数的值域、最值以及二次方程实根的分布等知识.