2022届高三数学一轮复习（原卷版）第07讲 指数与指数函数（讲）解析版.docx

第07讲 指数与指数函数【学科素养】数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析【课标解读】1.了解指数幂的含义，掌握有理指数幂的运算。2理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象、性质及应用.3.了解指数函数的变化特征. 【备考策略】1.有理指数幂的运算；2.指数函数单调性的应用，如比较函数值的大小；3.图象过定点；4.底数分类讨论问题.【核心知识】知识点一 根式(1)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.(2)性质：()na(a使有意义)；当n为奇数时，a，当n为偶数时，|a|知识点二 分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a(a>0，m，nN*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a(a>0，m，nN*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质：arasar+s；(ar)sars；(ab)rarbr，其中a>0，b>0，r，sQ.知识点三 指数函数及其性质(1)概念：函数yax(a>0且a1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.(2)指数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域R值域(0，)性质过定点(0，1)，即x0时，y1当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1在(，)上是增函数在(，)上是减函数【特别提醒】1.画指数函数yax(a>0，且a1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.2.在第一象限内，指数函数yax(a>0且a1)的图象越高，底数越大.【高频考点】高频考点一指数幂的运算例1.(2021·山东省青岛市模拟)化简a·b2·÷(a，b>0) 【解析】原式ab3÷ab3÷a·b·.【答案】.【方法技巧】1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序.2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.【变式探究】(2021·河南省登封模拟)若实数a>0，则下列等式成立的是()A(2)24B2a3C(2)01D(a)4【答案】D【解析】对于A，(2)2，故A错误；对于B,2a3，故B错误；对于C，(2)01，故C错误；对于D，(a)4，故D正确。高频考点二 指数函数的图像及其应用例2.(2021·湖北省武汉市二中模拟)函数y(a>1)的图象大致是()【答案】B【解析】y因为a>1，依据指数函数的图象特征可知选B.【方法技巧】有关指数函数图象问题的解题思路(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解(4)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x1与图象的交点进行判断【变式探究】(2021·广州市番禺中学模拟)若直线y2a与函数y|ax1|(a>0，且a1)的图象有两个公共点，则a的取值范围为_【答案】【解析】y|ax1|的图象是由yax的图象先向下平移1个单位，再将x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的当a>1时，如图1，两个图象只有一个交点，不合题意；当0<a<1时，如图2，要使两个图象有两个交点，则0<2a<1，得0<a<.综上可知，a的取值范围为.高频考点三 比较指数式的大小例3【2020·天津卷】设，则的大小关系为（ ）A B C D【答案】D【解析】因为，所以.故选D【方法技巧】利用指数函数的性质比较幂值的大小，先看能否化成同底数，能化成同底数的先化成同底数幂，再利用函数单调性比较大小，不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小；【变式探究】(2021·河北模拟)设a0.60.6，b0.61.5，c1.50.6，则a，b，c的大小关系是()Aa<b<c Ba<c<bCb<a<c Db<c<a【解析】因为函数y0.6x是减函数，0<0.6<1.5，所以1>0.60.6>0.61.5，即b<a<1.因为函数y1.5x在(0，)上是增函数，0.6>0，所以1.50.6>1.501，即c>1.综上，b<a<c.【答案】C高频考点四 解简单的指数方程或不等式例4.(2020·全国卷)若2x2y3x3y，则()Aln(yx1)0Bln(yx1)0Cln|xy|0Dln|xy|0【答案】A【解析】(方法一)由2x2y3x3y，可得2x3x2y3y，令f (x)2x3x，则f (x)在R上单调递增，且f (x)f (y)，所以xy，即yx0，由于yx11，故ln(yx1)ln 10.(方法二)取x1，y0，满足2x2y3x3y，此时ln(yx1)ln 20，ln|xy|ln 10，可排除BCD【方法技巧】利用指数函数的性质解简单的指数方程或不等式，先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般不等式求解；【变式探究】(2021·山西省阳泉市模拟)设函数f(x)若f(a)<1，则实数a的取值范围是()A(，3) B(1，)C(3，1) D(，3)(1，)【解析】当a<0时，不等式f(a)<1可化为7<1，即<8，即<，因为0<<1，所以a>3，此时3<a<0；当a0时，不等式f(a)<1可化为<1，所以0a<1.故a的取值范围是(3，1)故选C.【答案】C高频考点五 指数函数性质的综合应用例5.（2020·江西九江一中调研）已知函数f(x).(1)若a1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有最大值3，求a的值；(3)若f(x)的值域是(0，)，求a的值【解析】(1)当a1时，f(x)，令g(x)x24x3，由于g(x)在(，2)上单调递增，在(2，)上单调递减，而yt在R上单调递减，所以f(x)在(，2)上单调递减，在(2，)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(2，)，单调递减区间是(，2)(2)令g(x)ax24x3，则f(x)g(x)，由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值1，因此必有解得a1，即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.(3)由指数函数的性质知，要使f(x)的值域为(0，)，应使yax24x3的值域为R，因此只能a0(因为若a0，则yax24x3为二次函数，其值域不可能为R)故a的值为0。【方法技巧】解答指数函数性质的综合应用，首先判断指数型函数的性质，再利用其性质求解。【变式探究】(2021·北京朝阳区二模)把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是1 ，空气的温度是0 ，经过t分钟后物体的温度 可由公式0(10)ekt求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的大于0的常数现有80 的物体，放在20 的空气中冷却，4分钟以后物体的温度是40 ，则k约等于(参考数据：ln 31.099)()A0.6 B0.5 C0.4 D0.3【答案】D【解析】由题知，80 的物体放在20 的空气中冷却，4分钟以后物体的温度是40 ，则4020(8020)e4k.从而e4k.所以4kln ln 3，得kln 30.3.故选D