高考数学一轮复习总教案：18.2　不等式的证明(一).doc

18.2不等式的证明(一)典例精析题型一用综合法证明不等式【例1】 若a，b，c为不全相等的正数，求证：来源:lg lg lg lg alg blg c.【证明】 由a，b，c为正数，得lg lg ；lg lg ；lg lg .而a，b，c不全相等，所以lg lg lg lg lg lg lg lg(abc)lg alg blg c.即lg lg lg lg alg blg c.【点拨】 本题采用了综合法证明，其中基本不等式是证明不等式的一个重要依据(是一个定理)，在证明不等式时要注意结合运用.而在不等式的证明过程中，还要特别注意等号成立的条件是否满足.【变式训练1】已知a，b，c，d都是实数，且a2b21，c2d21.求证：|acbd|1.【证明】因为a，b，c，d都是实数，所以|acbd|ac|bd|.又因为a2b21，c2d21，所以|acbd|1.题型二用作差法证明不等式 来源:【例2】 设a，b，c为ABC的三边，求证：a2b2c22(abbcca).【证明】a2b2c22(abbcca)(ab)2(bc)2(ca)2a2b2c2来源: (ab)2c2(bc)2a2(ca)2b2.来源:而在ABC中，c，所以(ab)2c2，即(ab)2c20.同理(ac)2b20，(bc)2a20，所以a2b2c22(abbcca)0.故a2b2c22(abbcca).【点拨】 不等式的证明中，比较法特别是作差比较法是最基本的证明方法，而在牵涉到三角形的三边时，要注意运用三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.【变式训练2】设a，b为实数，0n1,0m1，mn1，求证：(ab)2.【证明】因为(ab)20，所以不等式(ab)2成立.题型三用分析法证明不等式 【例3】已知a、b、cR，且abc1.求证：(1a)(1b)(1c)8(1a)(1b)(1c).【证明】因为a、b、cR，且abc1，所以要证原不等式成立，即证(abc)a(abc)b(abc)c8(abc)a(abc)b(abc)c，也就是证(ab)(ca)(ab)(bc)(ca)(bc)8(bc)(ca)(ab).因为(ab)(bc)20，(bc)(ca)20，(ca)(ab)20，三式相乘得式成立，故原不等式得证.【点拨】 本题采用的是分析法.从待证不等式出发，分析并寻求使这个不等式成立的充分条件的方法叫分析法，概括为“执果索因”.分析法也可以作为寻找证题思路的方法，分析后再用综合法书写证题过程.【变式训练3】设函数f(x)xa(x1)ln(x1)(x1，a0).(1)求f(x)的单调区间；(2)求证：当mn0时，(1m)n(1n)m.【解析】(1)f(x)1aln(x1)a，a0时，f(x)0，所以f(x)在(1，)上是增函数；当a0时，f(x)在(1，1上单调递增，在1，)单调递减.(2)证明：要证(1m)n(1n)m，只需证nln(1m)mln(1n)，只需证.设g(x)(x0)，则g(x).由(1)知x(1x)ln(1x)在(0，)单调递减，所以x(1x)ln(1x)0，即g(x)是减函数，而mn，所以g(m)g(n)，故原不等式成立.总结提高1.一般在证明不等式的题目中，首先考虑用比较法，它是最基本的不等式的证明方法.比较法一般有“作差比较法”和“作商比较法”，用得较多的是“作差比较法”，其中在变形过程中往往要用到配方、因式分解、通分等计算方法.2.用综合法证明不等式的过程中，所用到的依据一般是定义、公理、定理、性质等，如基本不等式、绝对值三角不等式等.3.用分析法证明不等式的关键是对原不等式的等价转换，它是从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立.来源:4.所谓“综合法”、“分析法”其实是证明题的两种书写格式，而不是真正意义上的证明方法，并不像前面所用的比较法及后面要复习到的三角代换法、放缩法、判别式法、反证法等是一种具体的证明方法(或者手段)，而只是两种互逆的证明题的书写格式.