2022届高三数学一轮复习（原卷版）课时跟踪检测（二十七） 平面向量的数量积及应用 作业.doc
第 1 页 共 7 页 课时跟踪检测（二十七）课时跟踪检测（二十七） 平面向量的数量积及应用平面向量的数量积及应用 一、综合练一、综合练练思维敏锐度练思维敏锐度 1已知向量已知向量 a(1,2)，b(3,1)，c(x,4)，若，若(ab)c，则，则 c (ab)( ) A(2,12) B(2,12) C14 D10 解析：解析： 选选C 由题意可得，由题意可得， ab(4,1)， 由， 由(ab)c， 得， 得(4)x140， 即， 即 4x40，解得，解得 x1，所以，所以 c(1,4)又又 ab(2,3)，所以，所以 c (ab)124314. 2已知非零向量已知非零向量 a，b 的夹角为的夹角为 60 ，且，且|b|1，|2ab|1，则，则|a|( ) A.12 B1 C. 2 D2 解析：解析：选选 A 由题意得由题意得 a b|a|112|a|2， 又又|2ab|1， |2ab|24a24a bb24|a|22|a|11， 即即 4|a|22|a|0，又，又|a|0，解得，解得|a|12. 3已知已知 a(2sin 13 ，2sin 77 )，|ab|1，a 与与 ab 的夹角为的夹角为3，则，则 a b( ) A2 B3 C4 D5 解析：解析：选选 B 因为因为 a(2sin 13 ，2sin 77 )，所以，所以|a| 2sin 13 2 2sin 77 2 2sin 13 2 2cos 13 22，又因为，又因为|ab|1，向量，向量 a 与与 ab 的夹角为的夹角为3， 所以所以 cos 3a ab |a|ab|a2a b214a b2112，所以，所以 a b3，故选，故选 B. 4.如图，正六边形如图，正六边形 ABCDEF 的边长为的边长为 2，则，则 AC BD ( ) A2 B3 C6 D12 解析：解析：选选 C AC BD (AB BC ) (AD AB )(AB BC ) (2 BC AB )2|BC |2第 2 页 共 7 页 BC AB | AB |28221246. 5(多选多选)(2021 石家庄质检石家庄质检)已知向量已知向量 a(6,2)，b(2，k)，k 为实数，则下列结论正为实数，则下列结论正确的是确的是( ) A若若 a b6，则，则 k9 B若若|ab|5，则，则5k1 C不存在实数不存在实数 k，使，使(ab)b 成立成立 D若若 a 与与 b 的夹角为钝角，则的夹角为钝角，则 k6 解析：解析：选选 ABC 对于对于 A，由，由 a b6(2)2k6，解得，解得 k9，A 正确；正确； 对于对于 B，ab(4,2k)，由，由|ab|5，得，得 16(2k)225，解得，解得5k1，B 正确；正确； 对于对于 C，因为，因为 ab(8,2k)，由，由(ab)b，得，得(8,2k) (2，k)0，即，即 k22k160，此方程无解，所以不存在实数，此方程无解，所以不存在实数 k，使，使(ab)b 成立，成立，C 正确；正确； 对于对于 D，若，若 a 与与 b 的夹角为钝角，则的夹角为钝角，则 a b0，且，且 a 与与 b 不共线，即不共线，即 6(2)2k0,6k(2)20， 解得解得 k6 且且 k23，D 错误，故选错误，故选 A、B、C. 6.如图，半径为如图，半径为 1 的扇形的扇形 AOB 中，中，AOB23，P 是弧是弧 AB 上的一上的一点， 且满足点， 且满足 OPOB， M， N 分别是线段分别是线段 OA， OB 上的动点， 则上的动点， 则PM PN 的最大值为的最大值为( ) A.22 B32 C1 D 2 解析：解析：选选 C 扇形扇形 OAB 的半径为的半径为 1，| OP |1，OPOB， OP OB 0. AOB23， AOP6， PM PN (PO OM ) ( PO ON ) PO 2ON PO OM PO OM ON 1|OM |cos 56|OM | |ON |cos 2310 320 121，故选，故选 C. 7 直角 直角ABC 中，中， ABAC2， D 为为 AB 边上的点， 且边上的点， 且ADDB2， 则， 则CD CA _；若若CD xCA yCB ，则，则 xy_. 第 3 页 共 7 页 解析：解析：以以 A 为原点，分别以为原点，分别以 AB ， AC 的方向为的方向为 x 轴，轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标轴的正方向建立平面直角坐标系系(图略图略)，则，则 A(0,0)，B(2,0)，C(0,2)，D 43，0 ，则，则CD 43，2 ，CA (0，2)，CB (2，2)，则，则CD CA 43，2 (0，2)430(2)(2)4.由由CD xCA yCB x(0，2)y(2，2)(2y，2x2y) 43，2 ， 得得 2y43，2x2y2，解得解得 x13，y23，则则 xy29. 答案：答案：4 29 8已知平面向量已知平面向量 a，b 满足满足|b|1，且，且 a 与与 ba 的夹角为的夹角为 120 ，则，则|a|的取值范围为的取值范围为_ 解析：解析：在在ABC 中，设中，设 AB a， AC b， 则则 baAC AB BC ， a 与与 ba 的夹角为的夹角为 120 ，B60 ， 由正弦定理得由正弦定理得1sin 60|a|sin C， |a|sin Csin 602 33sin C. 0 C120 ，sin C(0,1，|a| 0，2 33. 答案：答案： 0，2 33 9(2020 天津高考天津高考)如图，如图，在四边形在四边形 ABCD 中，中，B60 ，AB3，BC6，且，且AD BC ，AD AB 32，则实数，则实数 的值为的值为_，若，若M，N 是线段是线段 BC 上的动点，且上的动点，且|MN |1，则，则DM DN 的最小值为的最小值为_ 解析：解析：依题意得依题意得 ADBC，BAD120 ，由，由 AD AB | |AD| | | |AB| | cosBAD 32| |AD| | 32，得，得| |AD| | 1，因此，因此 | |AD| | | |BC| | 16.取取 MN 的中点的中点 E，连接，连接 DE，则，则DM DN 2DE ， DM DN 14(DM DN )2(DM DN )2DE 214NM 2DE 214.注意到线段注意到线段第 4 页 共 7 页 MN 在线段在线段 BC 上运动时，上运动时，DE 的最小值等于点的最小值等于点 D 到直线到直线 BC 的距离，即的距离，即 AB sinB3 32，因此因此DE 214的最小值为的最小值为 3 32214132，即，即DM DN 的最小值为的最小值为132. 答案：答案：16 132 10.伴随着国内经济的持续增长，人民的生活水平也相应有所提升，其中伴随着国内经济的持续增长，人民的生活水平也相应有所提升，其中旅游业带来的消费是居民消费领域增长最快的，因此挖掘特色景区，营造文旅游业带来的消费是居民消费领域增长最快的，因此挖掘特色景区，营造文化氛围尤为重要某景区的部分道路如图所示，化氛围尤为重要某景区的部分道路如图所示，AB30 m，BC40 2 m，CD50 m， ABCBCD45 ， 要建设一条从点， 要建设一条从点A到点到点D的空中长廊， 则的空中长廊， 则AD_m. 解析：解析：由题可知由题可知ABCBCD45 ，所以，所以 ABCD， 由由AD AB BC CD 可得，可得， |AD |2| AB |2| BC |2|CD |22AB BC 2AB CD 2BC CD ， 又又 AB BC | AB | BC |cos 135 1 200， AB CD | AB |CD |cos 0 1 500， BC CD | BC |CD |cos 135 2 000， 所以所以|AD |29003 2002 5002 4003 0004 0003 200，则，则|AD |40 2 m. 答案：答案：40 2 11 在平面直角坐标系 在平面直角坐标系 xOy 中， 已知向量中， 已知向量 m 22，22， n(sin x， cos x)， x 0，2. (1)若若 mn，求，求 tan x 的值；的值； (2)若若 m 与与 n 的夹角为的夹角为3，求，求 x 的值的值 解：解：(1)因为因为 m 22，22，n(sin x，cos x)，mn， 所以所以 m n0，即，即22sin x22cos x0，所以，所以 sin xcos x， 所以所以 tan x1. (2)由已知得由已知得|m|n|1，所以，所以 m n|m| |n|cos 312，即，即22sin x22cos x12，所以，所以sin x412.因为因为 0 x2，所以，所以4x4sin A，BA，故故 A 为锐角，为锐角， cos A35， cos Ccos(AB)cos Acos Bsin Asin B3365. (2)由余弦定理由余弦定理 b2a2c22accos B 得得， 16a2c21013ac2ac1013ac1613ac，当且仅当，当且仅当 ac 时等号成立，时等号成立，ac13， AB BC accos(B)accos B513ac5. 故故 AB BC 的最小值为的最小值为5. 二、自选练二、自选练练高考区分度练高考区分度 1.ABC 中，中，|AC|2，|AB|2，BAC120 ，AE AB ，AF AC ，M 为线段为线段 EF 的中点，若的中点，若|AM |1，则，则 的最大值为的最大值为( ) A.73 B2 73 C2 D213 解析：解析：选选 C AM 12( AE AF ) 2AB 2AC ， |AM |2 2 AB 2 AC 22224cos 120 221， 122()23()234()214()2， 2，当且仅当，当且仅当 1 时等号成立故选时等号成立故选 C. 2(2021 河北部分重点中学联考河北部分重点中学联考)已知向量已知向量 a，b，c 满足：满足：a(4,0)，b(4,4)，(ac) (bc)0，则，则 b c 的最大值是的最大值是( ) A24 B248 2 第 6 页 共 7 页 C248 2 D8 2 解析：解析：选选 C 设设OA a(4,0)，OB b(4,4)，OC c(x，y)，则，则 ac(4x，y)，bc(4x,4y)，又知，又知(ac) (bc)0，(4x)2y(4y)0，即，即(x4)2(y2)24，点点 C 的轨迹方程为的轨迹方程为(x4)2(y2)24. 而而 b c4x4y，令，令 z4x4y，由平面几何知识可得当直线，由平面几何知识可得当直线 4x4yz0 与圆与圆(x4)2(y2)24 相切时，相切时，z 取得最大值或最小值，即取得最大值或最小值，即 zmax248 2，故选，故选 C. 3已知平面向量已知平面向量 PA ， PB 满足满足| PA | PB |1， PA PB 12.若若| BC |1，则，则| AC |的最大值为的最大值为( ) A. 21 B 31 C. 21 D 31 解析：解析： 选选 D 因为因为| PA | PB |1，PA PB 12， 所以， 所以 cosAPB12，即，即APB23，由余弦定理可得，由余弦定理可得 AB 111 3.如图，建如图，建立平面直角坐标系，则立平面直角坐标系，则 A 32，0 ，B 32，0 ，由题设点，由题设点 C(x，y)在在以以 B 32，0 为圆心，半径为为圆心，半径为 1 的圆上运动，结合图形可知，点的圆上运动，结合图形可知，点 C(x，y)运动到点运动到点 D 时，有时，有|AC|max|AD|AB|1 31.故选故选 D. 4 在 在ABC 中， 角中， 角 A， B， C 的对边分别为的对边分别为 a， b， c， 且满足， 且满足( 2ac)BA BC cCB CA . (1)求角求角 B 的大小；的大小； (2)若若| BA BC | 6，求，求ABC 面积的最大值面积的最大值 解：解：(1)由题意得由题意得( 2ac)cos Bbcos C. 根据正弦定理得根据正弦定理得( 2sin Asin C)cos Bsin Bcos C， 所以所以 2sin Acos Bsin(CB)， 即即 2sin Acos Bsin A，因为因为 A(0，)，所以所以 sin A0， 所以所以 cos B22，又又 B(0，)，所以所以 B4. (2)因为因为|BA BC | 6，所以，所以| CA | 6，即，即 b 6， 根据余弦定理及基本不等式得根据余弦定理及基本不等式得 6a2c2 2ac2ac 2ac(2 2)ac(当且仅当当且仅当ac 时取等号时取等号)， 即即 ac3(2 2) 第 7 页 共 7 页 故故ABC 的面积的面积 S12acsin B3 21 2， 因此因此ABC 的面积的最大值为的面积的最大值为3 232.
