A版数学（理）高考一轮复习教案：选修4－4　坐标系与参数方程 Word版含答案_20210103224748.doc

淘宝店铺：漫兮教育选修44坐标系与参数方程1坐标系与极坐标(1)理解坐标系的作用(2)能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标与直角坐标的互化(3)能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示图形时选择坐标系的意义2参数方程(1)了解参数方程，了解参数的意义(2)能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程(3)掌握直线的参数方程及参数的几何意义，能用直线的参数方程解决简单的相关问题知识点一极坐标系1极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示，在平面内取一个定点O，点O叫作极点，自极点O引一条射线Ox，Ox叫作极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位及其正方向，这样就建立了一个极坐标系(2)极坐标极径：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫作点M的极径，记为.极角：以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫作点M的极角，记为.极坐标：有序数对(，)叫作点M的极坐标，记作M(，)2极坐标与直角坐标的互化设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(，)，则它们之间的关系为：易误提醒1极坐标方程与直角坐标方程的互化易错用互化公式在解决此类问题时考生要注意两个方面：一是准确应用公式，二是注意方程中的限制条件2在极坐标系下，点的极坐标不唯一性易忽视注意极坐标(，)(，2k)，(，2k)(kZ)表示同一点的坐标自测练习1设平面上的伸缩变换的坐标表达式为则在这一坐标变换下正弦曲线ysin x的方程变为_解析：由知代入ysin x中得y3sin 2x.答案：y3sin 2x2点P的直角坐标为(1，)，则点P的极坐标为_解析：因为点P(1，)在第四象限，与原点的距离为2，且OP与x轴所成的角为，所以点P的极坐标为.答案：3(2015·高考北京卷)在极坐标系中，点到直线(cos sin )6的距离为_解析：点的直角坐标为(1，)，直线(cos sin )6的直角坐标方程为xy60，所以点(1，)到直线的距离d1.答案：1知识点二参数方程参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C上任意一点P的坐标x，y是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值，由函数式所确定的点P(x，y)都在曲线C上，那么方程叫作这条曲线的参数方程，变数t叫作参变数，简称参数相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫作普通方程易误提醒1在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致，否则不等价2直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义，且其几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离，即|M0M|t|.自测练习4在平面直角坐标系中，曲线C：(t为参数)的普通方程为_解析：依题意，消去参数可得x2y1，即xy10.答案：xy105在平面直角坐标系xOy中，过椭圆(为参数)的右焦点，且与直线(t为参数)平行的直线截椭圆所得的弦长为_解析：椭圆的普通方程为1，则右焦点的坐标为(1,0)直线的普通方程为x2y20，过点(1,0)与直线x2y20平行的直线方程为x2y10，由得4x22x110，所以所求的弦长为× .答案：考点一曲线的极坐标方程|1在极坐标系下，已知圆O：cos sin 和直线l：sin .(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；(2)当(0，)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标解：(1)圆O：cos sin ，即2cos sin ，圆O的直角坐标方程为：x2y2xy，即x2y2xy0，直线l：sin，即sin cos 1，则直线l的直角坐标方程为：yx1，即xy10.(2)由得故直线l与圆O公共点的一个极坐标为.2(2016·长春模拟)已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为2，22cos2.(1)将圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程解：(1)由2知24，所以x2y24.因为22cos2，所以222.所以x2y22x2y20.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为xy1.化为极坐标方程为cos sin 1，即sin.直角坐标化为极坐标的关注点(1)根据终边相同的角的意义，角的表示方法具有周期性，故点M的极坐标(，)的形式不唯一，即一个点的极坐标有无穷多个当限定0，0,2)时，除极点外，点M的极坐标是唯一的(2)当把点的直角坐标化为极坐标时，求极角应注意判断点M所在的象限(即角的终边的位置)，以便正确地求出角0,2)的值考点二曲线的参数方程|1已知曲线C1：(t为参数)曲线C2：(为参数)(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C1上的点P对应的参数为t，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：(t为参数)的距离的最小值解：(1)曲线C1：(x4)2(y3)21，曲线C2：1，曲线C1是以(4,3)为圆心，1为半径的圆；曲线C2是以坐标原点为中心，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆(2)当t时，P(4,4)，Q(8cos ，3sin )，故M.曲线C3为直线x2y70，M到C3的距离d|4cos 3sin 13|，从而当cos ，sin 时，d取最小值.2已知曲线C：1，直线l：(t为参数)(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值解：(1)曲线C的参数方程为(为参数)直线l的普通方程为2xy60.(2)曲线C上任意一点P(2cos ，3sin )到l的距离为d|4cos 3sin 6|.则|PA|5sin()6|，其中为锐角，且tan .当sin()1时，|PA|取得最大值，最大值为.当sin()1时，|PA|取得最小值，最小值为.参数方程化为普通方程，主要用“消元法”消参，常用代入法、加减消元法、利用三角恒等式消元等在参数方程化为普通方程时，要注意保持同解变形考点三极坐标方程、参数方程的综合应用|(2015·高考全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t0)，其中0<.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：2sin ，C3：2cos .(1)求C2与C3交点的直角坐标；(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值解(1)曲线C2的直角坐标方程为x2y22y0，曲线C3的直角坐标方程为x2y22x0.联立解得或所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和.(2)曲线C1的极坐标方程为(R，0)，其中0<.因此A的极坐标为(2sin ，)，B的极坐标为(2cos ，)所以|AB|2sin 2cos |4.当时，|AB|取得最大值，最大值为4.涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程(2016·昆明模拟)在直角坐标系xOy中，l是过定点P(4,2)且倾斜角为的直线，在极坐标系(以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，取相同单位长度)中，曲线C的极坐标方程为4cos .(1)写出直线l的参数方程，并将曲线C的方程化为直角坐标方程；(2)若曲线C与直线l相交于不同的两点M、N，求|PM|PN|的取值范围解：(1)直线l的参数方程：(t为参数)4cos ，24cos ，C：x2y24x.(2)直线l的参数方程：(t为参数)，代入x2y24x，得t24(sin cos )t40，sin ·cos >0，又0<，且t1<0，t2<0.|PM|PN|t1|t2|t1t2|4(sin cos )4sin，由，得，<sin1，故|PM|PN|的取值范围是(4,4 .33.直线参数方程中参数t几何意义的应用【典例】已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，直线l经过定点P(3，5)，倾斜角为.(1)写出直线l的参数方程和曲线C的标准方程；(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|·|PB|的值思维点拨(1)根据条件写出l的参数方程及化曲线C为标准方程(2)利用t的几何意义求解|PA|·|PB|的值解(1)曲线C：(x1)2(y2)216，直线l：(t为参数)(2)将直线l的参数方程代入圆C的方程可得t2(23)t30，设t1，t2是方程的两个根，则t1t23，所以|PA|PB|t1|t2|t1t2|3.方法点评过定点M0(x0，y0)，倾斜角为的直线的参数方程为(t为参数)该参数t经常用在直线截圆锥曲线的距离问题中，解题时通常过某定点作一直线与圆锥曲线相交于A，B两点，所求问题与定点到A，B两点的距离有关解题时主要应用定点在直线AB上，利用参数t的几何意义，结合根与系数的关系进行处理，巧妙求出问题的解跟踪练习(2016·大庆模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l经过点P，倾斜角.在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的极坐标方程为2cos.(1)写出直线l的参数方程，并把圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设l与圆C相交于A，B两点，求|PA|PB|的值解：(1)直线l的参数方程为(t为参数)，即(t为参数)由2cos得：2cos 2sin ，22cos 2sin ，x2y22x2y，故圆C的直角坐标方程为(x1)2(y1)22.(2)把(t为参数)代入(x1)2(y1)22得t2t0，设点A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1t2，t1t2，|PA|PB|t1t2|.A组考点能力演练1(1)化圆的直角坐标方程x2y2r2(r>0)为极坐标方程；(2)化曲线的极坐标方程8sin 为直角坐标方程解：(1)将xcos ，ysin 代入x2y2r2，得2cos2 2sin2 r2，2(cos2 sin2 )r2，r.所以，以极点为圆心、半径为r的圆的极坐标方程为r(0<2)(2)法一：把，sin 代入8sin ，得8·，即x2y28y0.法二：方程两边同时乘以，得28sin ，即x2y28y0.2(2016·济宁模拟)已知直线l：sin4和圆C：2kcos(k0)，若直线l上的点到圆C上的点的最小距离等于2.求实数k的值并求圆心C的直角坐标解：kcos ksin ，2kcos ksin ，圆C的直角坐标方程为x2y2kxky0，即22k2，圆心的直角坐标为.sin ·cos ·4，直线l的直角坐标方程为xy40，|k|2.即|k4|2|k|，两边平方，得|k|2k3，或解得k1，故圆心C的直角坐标为.3在极坐标系中，曲线C的方程为2，点R.(1)以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；(2)设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值及此时P点的直角坐标解：(1)xcos ，ysin ，曲线C的直角坐标方程为y21，点R的直角坐标为R(2,2)(2)设P(cos ，sin )，根据题意可得|PQ|2cos ，|QR|2sin ，|PQ|QR|42sin (60°)，当30°时，|PQ|QR|取最小值2，矩形PQRS周长的最小值为4，此时点P的直角坐标为.4(2016·长春模拟)以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，已知点P的直角坐标为(1，5)，点C的极坐标为，若直线l过点P，且倾斜角为，圆C的半径为4.(1)求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程(2)试判断直线l与圆C的位置关系解：(1)直线l的参数方程为(t为参数)，即(t为参数)由题知C点的直角坐标为(0,4)，圆C的半径为4，圆C方程为x2(y4)216，将代入得，圆C的极坐标方程为8sin .(2)由题意得，直线l的普通方程为xy50，圆心C到l的距离为d>4，直线l与圆C相离5倾斜角为的直线l过点P(8,2)，直线l和曲线C：(为参数)交于不同的两点M1，M2.(1)将曲线C的参数方程化为普通方程，并写出直线l的参数方程；(2)求|PM1|·|PM2|的取值范围解：(1)曲线C的普通方程为1，直线l的参数方程为(t为参数)(2)将l的参数方程代入曲线C的方程得：(8tcos )28(2tsin )232，整理得(8sin2 cos2 )t2(16cos 32sin )t640，由(16cos 32sin )24×64(8sin2 cos2 )>0，得cos >sin ，故，|PM1|PM2|t1t2|.B组高考题型专练1(2015·高考广东卷改编)已知直线l的极坐标方程为2sin，点A的极坐标为A，求点A到直线l的距离解：由2sin得2，所以yx1，故直线l的直角坐标方程为xy10，而点A对应的直角坐标为A(2，2)，所以点A(2，2)到直线l：xy10的距离为.2(2015·高考全国卷)在直角坐标系xOy中，直线C1：x2，圆C2：(x1)2(y2)21，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求C1，C2的极坐标方程；(2)若直线C3的极坐标方程为(R)，设C2与C3的交点为M，N，求C2MN的面积解：(1)因为xcos ，ysin ，所以C1的极坐标方程为cos 2，C2的极坐标方程为22cos 4sin 40.(2)将代入22cos 4sin 40，得2340，解得12，2.故12，即|MN|.由于C2的半径为1，所以C2MN的面积为.3(2015·高考湖南卷)已知直线l：(t为参数)以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2cos .(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点M的直角坐标为(5，)，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|·|MB|的值解：(1)2cos 等价于22cos .将2x2y2，cos x代入即得曲线C的直角坐标方程为x2y22x0.(2)将代入，得t25t180，设这个方程的两个实根分别为t1，t2，则由参数t的几何意义知，|MA|·|MB|t1t2|18.4(2015·高考陕西卷)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，C的极坐标方程为2sin .(1)写出C的直角坐标方程；(2)P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标解：(1)由2sin ，得22sin ，从而有x2y22y，所以x2(y)23.(2)设P，又C(0，)，则|PC| ，故当t0时，|PC|取得最小值，此时，P点的直角坐标为(3,0)