2022届高三数学一轮复习（原卷版）大题专项训练2.DOC

大题专项训练2数列1(2019年陕西西安模拟)设数列an的前n项和为Sn，满足2Snan12n11，nN*，且a1，a25，a3成等差数列(1)求a1；(2)求an的通项公式【解析】(1)在2Snan12n11中，令n1，得2S1a2221.令n2，得2S2a3231，解得a22a13，a36a113.又2(a25)a1a3，解得a11.(2)由2Snan12n11,2Sn1an22n21，得an23an12n1.又a11，a25也满足a23a121，所以an13an2n对nN*成立所以an12n13(an2n)所以an2n3n.所以an3n2n.2(2019年山西吕梁模拟)已知数列an满足a13，an12ann1，数列bn满足b12，bn1bnann.(1)证明：ann为等比数列；(2)数列cn满足cn，数列cn的前n项和为Tn，求证：Tn<.【证明】(1)an12ann1，an1(n1)2(ann)又a112，ann是以2为首项，2为公比的等比数列(2)由(1)知bnb1(bnbn1)(bn1bn2)(b2b1)2n12n222n2，则bn2n.cn，Tn<.3已知数列an的各项均为正数，且a2nan(2n1)0，nN*.(1)求an；(2)若bn(1)n1an，求数列bn的前n项和Tn.【解析】(1)由a2nan(2n1)0，得an(2n1)·(an1)0，an2n1或an1.又数列an的各项均为正数，an2n1.(2)bn(1)n1an(1)n1·(2n1)，Tn3579(1)n1·(2n1)当n为偶数时，Tn2×n；当n为奇数时，TnTn1an(n1)2n1n2.4已知数列an是公差为正数的等差数列，数列bn为等比数列，且a11，a2b2，a5b3，a14b4.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)对任意给定的kN*，是否存在p，rN*(kpr)使，成等差数列？若存在，用k分别表示p和r(只要写出一组即可)；若不存在，请说明理由【解析】(1)设数列an的公差为d，则a21d，a514d，a14113d，即b21d，b314d，b4113d，(14d)2(1d)(113d)，解得d2或d0(舍去)，d2.an12(n1)，即an2n1.又b2a23，b3a59，bn的公比q3，bnb2qn23×3n2，即bn3n1.(2)当k1时，若存在p，r，使，成等差数列，则.p2，ar0，与数列an为正项数列相矛盾当k1时不存在当k2时，设akx，apy，arz，则，z.令y2x1，得zxyx(2x1)，此时akx2k1，apy2x12(2k1)1，p2k1，arz(2k1)(4k3)2(4k25k2)1.r4k25k2.综上，当k1时，不存在p，r；当k2时，存在p2k1，r4k25k2满足要求