专题05 函数 5.7对称性与周期性 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习（解析版）.docx

专题四 函数讲义5.7 对称性与周期性知识梳理.对称性与周期性1.轴对称：f(x)=f(-x)，关于x=0对称f(a+x)=f(a-x)，关于x=a对称f(a+x)=f(b-x)，关于x=对称2.中心对称：f(x)-f(-x)=0，关于(0,0)对称f(a+x)-f(a-x)=0，关于(a,0)对称f(a+x)-f(a-x)=2b，关于(a,b)对称3.周期性：f(x)=f(x+T)，最小正周期为T，有多个对称轴，有多个对称中心.f(x+a)=f(x+b)，T=lb-alf(x+a)=-f(x+b)，T=2lb-alf(x+a)=±，T=l2al题型一. 轴对称1已知函数f（x）f（2x），xR，当x1，+）时，f（x）为增函数设af（1），bf（2），cf（1），则a，b，c的大小关系是（）AabcBbacCcabDcba【解答】解：f（x）f（2x），函数的图象关于x1对称，当x1，+）时，f（x）为增函数，f（3）f（2）f（1），af（1），bf（2），cf（1）f（3），则abc故选：D2定义在R上的奇函数f（x）满足f（1+x）f（1x），且当x0，1时，f（x）x（32x），则f（312）（）A1B12C12D1【解答】解：根据题意，函数f（x）满足f（1+x）f（1x），则有f（x）f（x+2），又由f（x）为奇函数，则f（x+2）f（x），则有f（x+4）f（x+2）f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，则f（312）f（12+16）f（12）f（12）12（32×12）1；故选：A3已知定义域为R的函数f（x）在1，+）单调递增，且f（x+1）为偶函数，若f（3）1，则不等式f（2x+1）1的解集为（）A（1，1）B（1，+）C（，1）D（，1）（1，+）【解答】解：根据题意，函数f（x+1）为偶函数，则函数f（x）的图象关于直线x1对称，又由函数f（x）在1，+）单调递增且f（3）1，则f（2x+1）1f（2x+1）f（3）|2x|2，解可得：1x1，即不等式的解集为（1，1）；故选：A题型二.中心对称1已知函数f（2x+1）是奇函数则函数yf（2x）的图象成中心对称的点为（）A（1，0）B（1，0）C（12，0）D（12，0）【解答】解：函数f（2x+1）是奇函数，f（2x+1）f（2x+1）令t12x，代入可得f（t）+f（2t）0，函数f（x）关于（1，0）对称，则函数yf（2x）的图象成中心对称的点为（12，0）故选：C2已知函数f（x1）（xR）是偶函数，且函数f（x）的图象关于点（1，0）成中心对称，当x1，1时，f（x）x1，则f（2019）（）A2B1C0D2【解答】解：根据题意，函数f（x1）（xR）是偶函数，则函数f（x）的对称轴为x1，则有f（x）f（2x），又由函数f（x）的图象关于点（1，0）成中心对称，则f（x）f（2x），则有f（2x）f（2x），即f（x+4）f（x），变形可得f（x+8）f（x），则函数是周期为8的周期函数，f（2019）f（3+252×8）f（3）f（1）（11）2；故选：D3（2016·全国2）已知函数f（x）（xR）满足f（x）2f（x），若函数y=x+1x与yf（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），（xm，ym），则i=1m （xi+yi）（）A0BmC2mD4m【解答】解：函数f（x）（xR）满足f（x）2f（x），即为f（x）+f（x）2，可得f（x）关于点（0，1）对称，函数y=x+1x，即y1+1x的图象关于点（0，1）对称，即有（x1，y1）为交点，即有（x1，2y1）也为交点，（x2，y2）为交点，即有（x2，2y2）也为交点，则有i=1m （xi+yi）（x1+y1）+（x2+y2）+（xm+ym）=12（x1+y1）+（x1+2y1）+（x2+y2）+（x2+2y2）+（xm+ym）+（xm+2ym）m故选：B题型三.周期性1已知函数f（x）=log0.5(3x)，x01f(x4)，x0，则f（2019）（）A45B23C12D13【解答】解：f（x）=log0.5(3x)，x01f(x4)，x0，当x0时，f（x+8）f（x），则f（2019）f（3）=1f(1)=12故选：C2（2017山东）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+4）f（x2）若当x3，0时，f（x）6x，则f（919）6【解答】解：由f（x+4）f（x2）则f（x+6）f（x），f（x）为周期为6的周期函数，f（919）f（153×6+1）f（1），由f（x）是定义在R上的偶函数，则f（1）f（1），当x3，0时，f（x）6x，f（1）6（1）6，f（919）6，故答案为：63（2018新课标）已知f（x）是定义域为（，+）的奇函数，满足f（1x）f（1+x），若f（1）2，则f（1）+f（2）+f（3）+f（50）（）A50B0C2D50【解答】解：f（x）是奇函数，且f（1x）f（1+x），f（1x）f（1+x）f（x1），f（0）0，则f（x+2）f（x），则f（x+4）f（x+2）f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，f（1）2，f（2）f（0）0，f（3）f（12）f（1）f（1）2，f（4）f（0）0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）2+02+00，则f（1）+f（2）+f（3）+f（50）12f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（49）+f（50）f（1）+f（2）2+02，故选：C题型四.对称性与周期性综合1（2017新课标）已知函数f（x）lnx+ln（2x），则（）Af（x）在（0，2）单调递增Bf（x）在（0，2）单调递减Cyf（x）的图象关于直线x1对称Dyf（x）的图象关于点（1，0）对称【解答】解：f（x）的定义域为（0，2），f（x）lnx（2x）ln（x2+2x），故f（x）在（0，1）上递增，在（1，2）上递减，A，B错f（2x）ln（2x）+lnxf（x），yf（x）的图象关于直线x1对称，C正确，D错误故选：C2（2019涪城区校级模拟）设f（x）是定义在实数集R上的函数，满足条件yf（x+1）是偶函数，且当x1时，f（x）（12）x1，则af（log32），bf（log312），cf（3）的大小关系是（）AabcBbcaCbacDcba【解答】解：yf（x+1）是偶函数，f（x+1）f（x+1），即函数f（x）关于x1对称当x1时，f（x）（12）x1为减函数，f（log32）f（2log32）f（log392），且log312=log32log34，log34log3923，bac，故选：C3（2018秋余姚市校级月考）已知函数f（x）满足f（2x）f（x）（xR），且对任意x1，x21，+）（x1x2）的时，恒有f(x1)f(x2)x1x20成立，则当f（2a2+a+2）f（2a22a+4）时，实数a的取值范围为（）A（23，+）B（，23）C（23，1）D（23，1）（1，+）【解答】解：根据题意，函数f（x）满足f（2x）f（x），则函数f（x）的图象关于直线x1对称，又由对任意x1，x21，+）（x1x2）的时，恒有f(x1)f(x2)x1x20成立，则f（x）在1，+）上为减函数，又由2a2+a+22（a+14）2+1581，2a22a+42（a12）2+721，若f（2a2+a+2）f（2a22a+4），则有2a2+a+22a22a+4，解可得a23，即a的取值范围为（23，+）故选：A4（2016湖南校级模拟）已知函数yf（x）的图象关于直线x1对称，且在1，+）上单调递减，f（0）0，则f（x+1）0的解集为（）A（1，+）B（1，1）C（，1）D（，1）（1，+）【解答】解：由f（x）的图象关于x1对称，f（0）0，可得f（2）f（0）0，当x+11时，f（x+1）0，即为f（x+1）f（2），由f（x）在1，+）上单调递减，可得：x+12，解得x1，即有0x1当x+11即x0时，f（x+1）0，即为f（x+1）f（0），由f（x）在（，1）上单调递增，可得：x+10，解得x1，即有1x0由，可得解集为（1，1）故选：B5（2019新课标）设函数f（x）的定义域为R，满足f（x+1）2f（x），且当x（0，1时，f（x）x（x1）若对任意x（，m，都有f（x）89，则m的取值范围是（）A（，94B（，73C（，52D（，83【解答】解：因为f（x+1）2f（x），f（x）2f（x1），x（0，1时，f（x）x（x1）14，0，x（1，2时，x1（0，1，f（x）2f（x1）2（x1）（x2）12，0；x（2，3时，x1（1，2，f（x）2f（x1）4（x2）（x3）1，0，当x（2，3时，由4（x2）（x3）=89解得x=73或x=83，若对任意x（，m，都有f（x）89，则m73故选：B6（2009山东）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x4）f（x），且在区间0，2上是增函数，若方程f（x）m（m0）在区间8，8上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x48【解答】解：f（x）是奇函数，f（x4）f（x）f（x），f（x）的图象关于直线x2对称，又f（x4）f（x），f（x）f（x+4），f（x4）f（x+4），f（x）周期为8，作出f（x）的大致函数图象如图：由图象可知f（x）m的4个根中，两个关于直线x6对称，两个关于直线x2对称，x1+x2+x3+x46×2+2×28故答案为：8课后作业.函数性质1若函数f（x）1+2x+12x+1+sinx在区间k，k（k0）上的值域为m，n，则m+n等于（）A0B1C2D4【解答】解：f（x）1+2x+12x+1+sinx322x+1+sinx，f（x）322x+1+sin（x）322x1+2xsinxf（x）+f（x）4，所以f（x）是以点（0，2）为对称中心，所以其最大值与最小值的和m+n4故选：D2设函数f（x）x31x3，则f（x）（）A是奇函数，且在（0，+）单调递增B是奇函数，且在（0，+）单调递减C是偶函数，且在（0，+）单调递增D是偶函数，且在（0，+）单调递减【解答】解：因为f（x）x31x3，则f（x）x3+1x3=f（x），即f（x）为奇函数，根据幂函数的性质可知，yx3在（0，+）为增函数，故y1=1x3在（0，+）为减函数，y2=1x3在（0，+）为增函数，所以当x0时，f（x）x31x3单调递增，故选：A3已知f（x）是定义域为（，+）的奇函数，f（x+1）是偶函数，且当x（0，1时，f（x）x（x2），则（）Af（x）是周期为2的函数Bf（2019）+f（2020）1Cf（x）的值域为1，1Dyf（x）在0，2上有4个零点【解答】解：对于A，f（x）为R上的奇函数，f（x+1）为偶函数，所以f（x）图象关于x1对称，f（2+x）f（x）f（x）即f（x+4）f（x+2）f（x）则f（x）是周期为4的周期函数，A错误；对于B，f（x）定义域为R的奇函数，则f（0）0，f（x）是周期为4的周期函数，则f（2020）f（0）0；当x（0，1时，f（x）x（x2），则f（1）1×（12）1，则f（2019）f（1+2020）f（1）f（1）1，则f（2019）+f（2020）1，故B正确对于C，当x（0，1时，f（x）x（x2），此时有0f（x）1，又由f（x）为R上的奇函数，则x1，0）时，1f（x）0，f（0）0，函数关于x1对称，所以函数f（x）的值域1，1故C正确对于D，f（0）0，且x（0，1时，f（x）x（x2），x0，1，f（x）x（x2），x1，2，2x0，1，f（x）f（2x）x（x2），x0，2，f（x）x（x2），f（x）是奇函数，x2，0，f（x）x（x+2），f（x）的周期为4，x2，4，f（x）（x2）（x4），x4，6，f（x）（x4）（x6），x6，2，f（x）（x6）（x8），根据解析式，可得x0，上有4个交点，故D正确故选：BCD4设函数f（x）lg（1+|2x|）11+x4，则使得f（3x2）f（x4）成立的x的取值范围是（）A（13，1）B（1，32）C（，32）D（，1）（32，+）【解答】解：f（x）ln（1+|2x|）11+x4，定义域为R，f（x）f（x），函数f（x）为偶函数，当x0时，f（x）ln（1+2x）11+x4值函数单调递增，根据偶函数性质可知：得f（3x2）f（x4）成立，|3x2|x4|，（3x2）2（x4）2，解得：x32或x1，故选：D5已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）f（x），当x0，1时，f（x）2x1，则（）Af(6)f(7)f(112)Bf(6)f(112)f(7)Cf(7)f(112)f(6)Df(112)f(7)f(6)【解答】解：f（x+2）f（x），f（x+4）f（x+2）+2f（x+2）f（x），函数f（x）是周期为4的周期函数，f（6）f（2）f（0）0，f（112）f（32）f（12）f（12）=21，f（7）f（1）1，f(6)f(112)f(7)，故选：B6已知函数f（x）（xR）满足f（x）f（x）f（4x），当x（0，2）时，f（x）ln（x2x+b）若函数f（x）在区间2，2上有5个零点，则实数b的取值范围是14b1或b=54【解答】解：由题意知，f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）0，即0是函数f（x）的零点，因为f（x）是定义在R上且以4为周期的周期函数，所以f（2）f（2），且f（2）f（2），则f（2）f（2）0，即±2也是函数f（x）的零点，因为函数f（x）在区间2，2上的零点个数为5，且当x（0，2）时，f（x）ln（x2x+b），所以当x（0，2）时，x2x+b0恒成立，且x2x+b1在（0，2）有一解，即=14b0(12)212+b=1或=14b0020+b10222+b10，解得14b1或b=54，故答案为：14b1或b=54