专题10 数列 10.2等比数列 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习（解析版）.docx

专题十 数列讲义10.2 等比数列知识梳理.等比数列1等比数列的有关概念(1)定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为q(q0，nN*)(2)等比中项如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项即：G是a与b的等比中项G2ab“a，G，b成等比数列”是“G是a与b的等比中项”的充分不必要条件2等比数列的有关公式(1)通项公式：ana1qn1(2)前n项和公式：Sn3等比数列的性质已知数列an是等比数列，Sn是其前n项和(m，n，p，q，r，kN*)(1)若mnpq2r，则am·anap·aqa(2)数列am，amk，am2k，am3k，仍是等比数列(3)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，仍是等比数列(此时an的公比q1)常用结论4记住等比数列的几个常用结论(1)若an，bn(项数相同)是等比数列，则an(0)，a，an·bn，仍是等比数列(2)在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，ank，an2k，an3k，为等比数列，公比为qk.(3)Sn，S2nSn，S3nS2n，也成等比数列。题型一. 等比数列的基本量1（2013北京）若等比数列an满足a2+a420，a3+a540，则公比q2；前n项和Sn2n+12【解答】解：设等比数列an的公比为q，a2+a4a2（1+q2）20a3+a5a3（1+q2）40两个式子相除，可得到a3a2=4020=2即等比数列的公比q2，将q2带入中可求出a24则a1=a2q=42=2数列an时首项为2，公比为2的等比数列数列an的前n项和为：Sn=a1(qn1)q1=2×(2n1)21=2n+12故答案为：2，2n+122（2010辽宁）设Sn为等比数列an的前n项和，已知3S3a42，3S2a32，则公比q（）A3B4C5D6【解答】解：Sn为等比数列an的前n项和，3S3a42，3S2a32，两式相减得3a3a4a3，a44a3，公比q4故选：B3（2017江苏）等比数列an的各项均为实数，其前n项和为Sn，已知S3=74，S6=634，则a832【解答】解：设等比数列an的公比为q1，S3=74，S6=634，a1(1q3)1q=74，a1(1q6)1q=634，解得a1=14，q2则a8=14×27=32故答案为：32题型二. 等比数列的性质1已知正项等比数列an中，a3=a4a2，若a1+a2+a37，则a8（）A32B48C64D128【解答】解：由a3=a4a2，得a1q2=q2，所以a11，又因为a1+a2+a37，得1+q+q27，所以q2，故a8=27=128，故选：D2已知各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn，anan+1，nN*，a4a149，a8+a1010，则数列an的公比为（）A12B13C2D3【解答】解：各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn，anan+1，nN*，a4a149，a8+a1010，a1q3a1q13=9a1q7+a1q9=10q1，解得数列an的公比为q3故选：D3（2014广东）若等比数列an的各项均为正数，且a10a11+a9a122e5，则lna1+lna2+lna2050【解答】解：数列an为等比数列，且a10a11+a9a122e5，a10a11+a9a122a10a112e5，a10a11e5，lna1+lna2+lna20ln（a1a2a20）ln（a10a11）10ln（e5）10lne5050故答案为：50题型三.等比数列的前n项经典结论1各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn，若S102，S3014，则S40等于（）A80B30C26D16【解答】解：由题意知等比数列an的公比q0，且q1，则有a1(1q10)1q=2a1(1q30)1q=14，得1+q10+q207，即q20+q1060，解得q102，则q4016，且代入得a11q=2，所以S40=a1(1q40)1q=2×（116）30故选：B2设等比数列an的前n项和为Sn，若S6S3=12，则S9S3=（）A12B23C34D13【解答】解：由题意，设S32m，那么S6m，（m0），那么：S3，S6S3，S9S6，成等比数列即2m×（S9m）（m2m）2，解得：S9=32m，则S9S3=32m×12m=34，故选：C3在等比数列an中，已知nN+，且a1+a2+an2n1，那么a12+a22+an2为（）A23(4n+1)B23(4n1)C13(4n1)D13(4n+1)【解答】解：a1+a2+an2n1，n2时，a1+a2+an12n11，可得an2n1n1时，a1211对于上式也成立an2n1an2=（2n1）24n1那么a12+a22+an2=4n141=13(4n1)故选：C题型四. 证明等比数列1已知数列an，Sn是其前n项和，并且Sn+14an+2（n1，2，），a11（1）设数列bnan+12an（n1，2，）求证：数列bn是等比数列；（2）设数列cn=an2n（n1，2，）求证：数列cn是等差数列；（3）求数列an的通项公式及前n项和【解答】解：（1）由题意得，Sn+14an+2 ， 当n2时 Sn4an1+2 ，得，an+14an4an1，当n2时，bnbn1=an+12anan2an1=4an4an12anan2an1=2an4an1an2an1=2，且b1a22a13，bn是以2为公比，3为首项的等比数列，（2）由（1）得bnb1qn132n1，则an+12an32n1，an2an132n2，当n2时，cncn1=an2nan12n1=an2an12n=32n22n=34，且C1=a12=12，n为34为公差，以12为首项的等差数列，（3）由（2）得nC1+（n1）d=3n14，即an2n=3n14，an（3n1）2n2（nN*）Sn+14an+2，Sn+14（3n1）2n2+2（3n1）2n+2即Sn（3n4）2n1+2（nN*）2数列an的前n项和为Sn，已知a1=1，an+1=n+2nSn(n=1，2，3，)（1）试写出a2，S2，a3；（2）设bn=Snn，求证：数列bn是等比数列；（3）求出数列an的前n项和为Sn及数列an的通项公式【解答】解：（1）数列an的前n项和为Sn，a1=1，an+1=n+2nSn(n=1，2，3，)，则：a23，S24，a38；（2）由an+1=n+2nSn(n=1，2，3，)，可得：Sn+1Sn=n+2nSn，整理Sn+1=n+2nSn+Sn=2n+2nSnSn+1n+1=2Snn，所以bn+12bn，又有b1=S11=a11=10，所以数列bn是首项是1，公比为2的等比数列（3）由（2）可知bn=2n1，且bn=Snn，进而Snn=2n1，所以数列an的前n项和Sn=n2n1(nN+)，当n2，an=SnSn1=n2n1(n1)2n2=2n2n2(n1)2n2=(n+1)2n2，当n1时，a11也满足上式an=(n+1)2n1所以：an=(n+1)2n1题型五. 等差、等比综合1等差数列an的首项为1，公差不为0若a2，a3，a6成等比数列，则an前6项的和为（）A24B3C3D8【解答】解：等差数列an的首项为1，公差不为0a2，a3，a6成等比数列，a32=a2a6，（a1+2d）2（a1+d）（a1+5d），且a11，d0，解得d2，an前6项的和为S6=6a1+6×52d=6×1+6×52×(2)=24故选：A2设等差数列an的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，且S5S615，则d的取值范围是(，2222，+)，若a17，则d的值为3或3310【解答】解：S5S615，(5a1+5×42d)(6a1+6×52d)=15，化为：2a12+9da1+10d2+10，则81d28（10d2+1）0，化为：d28，解得d22或d22则d的取值范围是(，2222，+)若a17，则10d263d+990，解得d3或3310故答案为：(，2222，+)，3或33103设Sn为等差数列an的前n项和，若a75，S555，则nSn的最小值为343【解答】解：设等差数列an的公差为d，a75，S555，a1+6d5，5a1+5×42=55，联立解得：a119，d4Sn19n+n(n1)2×4=2n221n则nSn2n321n2，令f（x）2x321x2，（x1），f（x）6x242x6x（x7），可得x7时，函数f（x）取得极小值即最小值，n7时，nSn取得最小值，2×7321×72343故答案为：3434已知数列an是各项均为正数的等比数列，若a3a25，则a4+8a2的最小值为（）A40B20C10D5【解答】解：根据题意，设等比数列an的公比为q，若a3a25，则a2qa25，即a2（q1）5，变形可得a2=5q1，a4+8a2a2（q2+8）=5q1×（q2+8）=5q1×（q1）2+2（q1）+95×（q1）+9q1+25（2×(q1)×9q1+2）5×840，当且仅当q13时等号成立，即a4+8a2的最小值为40；故选：A5已知正项等比数列an的前n项和Sn，满足S42S23，则S6S4的最小值为（）A14B3C4D12【解答】解：根据题意，设该等比数列的首项为a1，公比为q，若S42S23，则有S42S2a1+a2+a3+a42（a1+a2）（a3+a4）（a1+a2）（q21）（a1+a2）3，又由数列an为正项的等比数列，则q1，则（a1+a2）=3q21，则S6S4（a5+a6）q4×（a1+a2）=3q21×q43（q21）+1q21+26+3×2×(q21)×1q21=12，当且仅当q22时等号成立；即S6S4的最小值为12；故选：D6数列an满足a1=12，an+1=11an，那么a2018（）A1B12C1D2【解答】解：a1=12，an+1=11an，a2121，a31+12，a4112=12，故数列an是周期数列，周期是3，则a2018a3×672+2a21，故选：A7已知数列an的首项为1，第2项为3，前n项和为Sn，当整数n1时，Sn+1+Sn12（Sn+S1）恒成立，则S15等于（）A210B211C224D225【解答】解：结合Sn+1+Sn12（Sn+S1）可知，Sn+1+Sn12Sn2a1，得到an+1an2a12，所以an1+2（n1）2n1，所以a1529，所以S15=(a1+a15)152=(29+1)152=225，故选：D8已知数列an和bn首项均为1，且an1an（n2），an+1an，数列bn的前n项和为Sn，且满足2SnSn+1+anbn+10，则S2019（）A2019B12019C4037D14037【解答】解：an1an（n2），an+1an，anan+1an，anan+1，另外：a1a2a1，可得a2a11，an12SnSn+1+anbn+10，2SnSn+1+bn+10，2SnSn+1+Sn+1Sn0，1Sn+11Sn=2数列1Sn是等差数列，首项为1，公差为21Sn=1+2（n1）2n1，Sn=12n1S2019=14037故选：D9已知数列an的通项公式为an3n，记数列an的前n项和为Sn，若nN*使得（Sn+32）k3n6成立，则实数 k的取值范围是23，+)【解答】解：数列an的通项公式为an3n，数列an是等比数列，公比为3，首项为3Sn=3(3n1)31=3n+1232，（Sn+32）k3n6化为：k2n43n，nN*使得（Sn+32）k3n6成立，k(2n43n)min令bn=2n43n，则bn+1bn=2n23n+12n43n=104n3n+1，n2时，bn+1bn；n3时，bn+1bnb1b20，b3b4b50(2n43n)min=b1=23k23故答案为：23，+)10已知数列an满足a1=12，an+1=12an(nN)设bn=n2an，nN*，且数列bn是递增数列，则实数的取值范围是（，32）【解答】解：由题设可知数列an是首项、公比均为 12的等比数列，an=12n，bn=n2an=（n2）2n，又数列bn是单调递增数列，bn+1bn（n+12）2n+1（n2）2n（n+22）2n0恒成立，即n+220恒成立，2（n+2）min3，32，故答案为：（，32）11已知an是首项为32的等比数列，Sn是其前n项和，且S6S3=6564，则数列|log2an|前10项和为58【解答】解：an是首项为32的等比数列，Sn是其前n项和，且 S6S3=6564，32(1q6)1q32(1q3)1q=6564，1+q3=6564，q=14，an32（14）n1272n，|log2an|72n|，数列|log2an|前10项和为5+3+1+1+3+5+7+9+11+1358，故答案是：5812已知数列an满足2a1+22a2+23a3+2nann（nN*），若bn=1log2anlog2an+1，则数列bn的前n项和Snnn+1【解答】解：因为2a1+22a2+23a3+2nann（nN*），所以2a1+22a2+23a3+2n1an1n1（n2），两式相减得2nan1（n2），当n1时也满足，故an=12n，bn=1log2anlog2an+1=1n(n+1)=1n1n+1，故Sn112+1213+1n1n+1=11n+1=nn+1故答案为：nn+1课后作业. 等比数列1记Sn为等比数列an的前n项和若a5a312，a6a424，则Snan=（）A2n1B221nC22n1D21n1【解答】解：设等比数列的公比为q，a5a312，a6a4q（a5a3），q2，a1q4a1q212，12a112，a11，Sn=12n12=2n1，an2n1，Snan=2n12n1=221n，故选：B2已知an是首项为1的等比数列，Sn是an的前n项的和，且9S3S6，则数列1an的前5项的和为（）A158或5B3116C3116或5D158【解答】解：设等比数列an的公比是q，且首项为1，若q1时，9S327、S66，则不满足9S3S6，所以q1不成立；若q1，由9S3S6得，9×1q31q=1q61q，化简得，q69q3+80，解得q38或q31，所以q2或q1（舍去），则an2n1，所以1an=12n1，则数列1an的前5项的和S1+12+14+18+116=1125112=2（1125）=3116，故选：B3已知等比数列an的前n项和为Sn，且S63S3=38，则2a6a5+a4=13【解答】解：等比数列an中，S63S3=38，显然q1，a1(1q6)1q=98a1(1q3)，1+q3=98，q=12，则2a6a5+a4=2a1q5a1(q4+q3)=2q21+q=1232=13故答案为：13故选：A4已知等比数列an满足a1+a310，a2+a45，则a1a2an的最大值为（）A32B64C128D256【解答】解：设等比数列an的公比为q，a1+a310，a2+a45，q（a1+a3）10q5，解得q=12，a18an=8×(12)n1=24n则a1a2an23+2+（4n）=2n(3+4n)2=2(n72)2+4942，当且仅当n3或4时，取得最大值为2664故选：B5若数列an满足an+1（2|sinn2|1）an+2n，则a1+a2+a8（）A136B120C68D40【解答】解：an+1（2|sinn2|1）an+2n，a2a1+2，a3a2+4a1+2，a4a3+6a1+8，a5a4+8a1，a6a5+10a1+10，a7a6+12a1+2，a8a7+14a1+16，故a1+a2+a840，故选：D6已知数列an满足a12，an+13an+6（1）证明：数列an+3是等比数列；（2）若数列an的前n项和为Sn，求数列an的通项公式以及前n项和Sn【解答】解：（1）由题可得an+1+33（an+3），即an+1+3an+3=3，又a1+31，数列an+3是首项为1，公比为3的等比数列（2）由（1）可知，an+3=13n1，an=3n13，Sn=123n3n12