专题09 平面向量 9.3三角形四心及面积问题 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习（解析版）.docx

题九 平面向量讲义9.3 三角形四心及面积问题题型一. 三角形四心考点1.重心1已知ABC和点M满足MA+MB+MC=0若存在实数m使得AM=m(AB+AC)成立，则m（）A1B12C13D14【解答】解：因为AB+AC=AM+MB+AM+MC=2AM+MB+MC，又MA+MB+MC=0，所以MB+MC=MA=AM，则AB+AC=2AM+AM=3AM，所以AM=13(AB+AC)，所以m=13，故选：C2已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP=OA+（AB|AB|sinB+AC|AC|sinC）0，+），则点P的轨迹一定通过ABC的（）A外心B内心C重心D垂心【解答】解：|AB|sinB=|AC|sinC设它们等于t，OP=OA+1t（AB+AC）而AB+AC=2AD1t（AB+AC）表示与AD共线的向量AP而点D是BC的中点，所以即P的轨迹一定通过三角形的重心故选：C3已知点P是ABC所在平面内，且使得|PA|2+|PB|2+|PC|2取得最小值的点，则点P是ABC的（）A重心B外心C垂心D内心【解答】解：根据题意，设OA=a，OB=b，OC=c，OP=p，则|PA|2+|PB|2+|PC|2=(ap)2+(bp)2+(cp)2=3p22（a+b+c）p+（a2+b2+c2），当p=13（a+b+c）时，上式取得最小值，此时P是ABC的重心故选：A考点2.内心1O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP=OA+(AB|AB|+AC|AC|)，0，+)，则P的轨迹一定通过ABC的内心【解答】解：由于O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP=OA+(AB|AB|+AC|AC|)，0，+)，即P在BAC的平分线上，所以P的轨迹一定通过ABC的内心故答案为：内2已知O是ABC所在平面上的一点，A、B、C所对的边的分别为a，b，c，若aOA+bOB+cOC=0，则O是ABC的（）A重心B垂心C外心D内心【解答】解：OB=ABAO，OC=ACAOaOA+bOB+cOC=aOA+b（ABAO）+c（ACAO）bAB+cAC（a+b+c）AO而 aOA+bOB+cOC=0，（a+b+c）AO=bAB+cAC即 AO=ba+b+cAB+ca+b+cAC记AB=cn1，AC=bn2，其中n1、n2分别表示AB、AC方向上的单位向量则 AO=bca+b+c（n1+n2）由该式可以看出AO位于BAC的角平分线上，故知O只能为内心，即角平分线交点故选：D考点3.外心1设P是ABC所在平面内的一点，若AB(CB+CA)=2ABCP，且|AP|=|CP|则点P是ABC的（）A外心B内心C重心D垂心【解答】解：取AB的中点D，则CA+CB=2CD，AB(CB+CA)=2ABCP，即2ABCD=2ABCP，AB（CDCP）0，即ABPD=0，P在AB的中垂线上，PAPB，又APCP，P为ABC的外心故选：A2设P是ABC所在平面内的一点，若AB(CB+CA)=2ABCP且AB2=AC22BCAP则点P是ABC的（）A外心B内心C重心D垂心【解答】解：如图所示，取AB的中点D，则CB+CA=2CD，AB（CB+CA）2ABCP，即2ABCD=2ABCP，AB（CDCP）=ABPD=0，即ABPD，P在AB的中垂线上，又AB2=AC22BCAP（AB+AC）（ABAC）2BCAP，（AB+AC）CB=2BCAP，即CB（AB+AC）2CBAP，点P也在BC的中垂线上，点P是ABC的外心故选：A考点4.垂心1已知O为ABC所在平面上一点，且OA2+BC2=OB2+CA2=OC2+AB2，则O一定为ABC的（）A外心B内心C重心D垂心【解答】解：OA2+BC2=OB2+CA2，OA2+（OCOB）2=OB2+（OAOC）2，即OA2+OB2+OC22OCOB=OA2+OB2+OC22OCOA，即OCOB=OCOA，即OC（OBOA）=OCAB=0，即OCAB，同理，OBAC，OABCO是ABC的垂心故选：D2O是平面上一定点，A，B，C平面上不共线的三个点，动点P满足OP=OA+(AB|AB|cosABC+AC|AC|cosBCA)，R，则P的轨迹一定通过ABC的（）A外心B内心C重心D垂心【解答】解：如图所示，过点A作ADBC，垂足为D点则BCAB|AB|cosABC=|BC|AB|cos(B)|AB|cosABC=|BC|，同理BCAC|AC|cosACD=|BC|，动点P满足OP=OA+(AB|AB|cosABC+AC|AC|cosBCA)，RAP=(AB|AB|cosABC+AC|AC|cosACD)，RAPBC=(BCAB|AB|cosABC+BCAC|AC|cosACD)=(|BC|+|BC|)=0，APBC，因此P的轨迹一定通过ABC的垂心故选：D题型二. 面积问题奔驰定理1已知点O为三角形ABC内一点，OA+2OB+3OC=0，则SABCSAOC=3【解答】解：如图，取BC中点D，AC中点E，连接OA，OB，OC，OD，OE；OA+2OB+3OC=(OA+OC)+2(OB+OC) =2OE+4OD =0 OE=2OD；D，O，E三点共线，即DE为ABC的中位线；DE=32OE，AB2DE；AB3OE；SABCSAOC=3故答案为：32在ABC中，D为三角形所在平面内一点，且AD=13AB+12AC，则SBCDSABD=（）A16B13C12D23【解答】解：由已知，在ABC中，D为三角形所在平面内一点，且AD=13AB+12AC，点D在平行于AB的中位线上，且为靠近AC边，从而有SABD=12SABC，SACD=13SABC，SBCD=(11213)SABC=16SABC，有SBCDSABD=13故选：B3若点M是ABC所在平面内一点，且满足|3AMABAC|=0，则ABM与ABC的面积之比值为13【解答】解：如图，取BC的中点为D，则AB+AC=2AD，|3AMABAC|=0，3AMABAC=0，3AM=2AD，AM=23AD，|AM|=23|AD|，SABM=23SABD=23×(12SABC)=13SABC，SABMSABC=13故答案为：134平面上O，A，B三点不共线，设OA=a，OB=b，则OAB的面积等于（）A|a|2|b|2(ab)2B|a|2|b|2+(ab)2C12|a|2|b|2(ab)2D12|a|2|b|2+(ab)2【解答】解：SOAB=12|a|b|sina，b=12|a|b|1cos2a，b =12|a|b|1(ab)2|a|2|b|2 =12|a|2|b|2(ab)2；故选：C5已知点A（1，1），B（3，0），C（2，1）若平面区域D由所有满足AP=AB+AC（12，01）的点P组成，则D的面积为3【解答】解：设P的坐标为（x，y），则AB=（2，1），AC=（1，2），AP=（x1，y+1），AP=AB+AC，x1=2+y+1=+2，解之得=23x13y1=13x+23y+112，01，点P坐标满足不等式组123x13y12013x+23y+11作出不等式组对应的平面区域，得到如图的平行四边形CDEF及其内部其中C（4，2），D（6，3），E（5，1），F（3，0）|CF|=(43)2+(20)2=5，点E（5，1）到直线CF：2xy60的距离为d=|2×516|5=355平行四边形CDEF的面积为S|CF|×d=5×355=3，即动点P构成的平面区域D的面积为3故答案为：36设 P、Q为ABC内的两点，且AP=25AB+15AC，AQ=14AB+23AC，则ABP的面积与ABQ的面积之比为（）A45B85C43D310【解答】解：设AM=25AB，AN=15AC，则AP=25AB+15AC，AP=AM+AN由平行四边形法则知NPABABP的面积与ABC的面积之比15同理ABQ的面积与ABC的面积之比为23ABP的面积与ABQ的面积之比为15：23=310故选：D