人教A版2020届高考数学一轮复习讲义：数列通项求法.docx

数列通项求法知识讲解一、求数列的通项公式1.观察法2.运用等差（等比）数列的通项公式3.已知数列前项和，则（注意：不能忘记讨论）4.已知数列前项之积，一般可求，则（注意：不能忘记讨论）5.递推公式为，只要是可求的，就可以用累加法求6.递推公式是（ ）数列前项积可求，可用累乘法求7.已知数列的递推关系，研究与的关系式的特点，可以通过变形构造，得出新数列可求通项公式1）递推公式是（为常数），可构造新的等比数列求2）递推公式是（为常数），此递推公式，可两边除以，得，引做辅助数列（），得再解3）递推公式是，可变形为，就是，则可从，解得于是是公比为的等比数列4）将递推数列,取倒数变成的形式的方法叫倒数变换5）将递推数列取对数经典例题一选择题（共12小题）1已知等差数列an中，a1=3，a6=13，则an的公差为（）A53B2C10D13【解答】解：设an的公差为d，a1=3，a6=13，3+5d=13，解得d=2故选：B2已知等比数列an公比为q，其前n项和为Sn，若S3、S9、S6成等差数列，则q3等于（）A12B1C12或1D1或12【解答】解：若S3、S9、S6成等差数列，则S3+S6=2S9，若公比q=1，则S3=3a1，S9=9a1，S6=6a1，即3a1+6a1=18a1，则方程不成立，即q1，则a1(1-q3)1-q+a1(1-q6)1-q=2a1(1-q9)1-q2a1(1-q12)1-q，即1q3+1q6=22q9，即q3+q6=2q9，即1+q3=2q6，即2（q3）2q31=0，解得q3=-12，故选：A3各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn，a2+a3=6，a3a5=64，则S6=（）A31B32C63D64【解答】解：各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn，a2+a3=6，a3a5=64，&a1q+a1q2=6&a1q2a1q4=64，且q0，解得a1=1，q=2，S6=1×(1-26)1-2=63故选：C4已知数列a1=1，a2=2，且an+2an=22（1）n，nN*，则S2017的值为（）A2016×10101B1009×2017C2017×10101D1009×2016【解答】解：an+2an=22（1）n，nN*，a2k+1a2k1=2+2=4，a2k+2a2k=22=0数列an的奇数项成等差数列，公差为4，偶数项满足：a2k=a2=2S2017=（a1+a3+a2017）+（a2+a4+a2016）=1×1009+1009×10082×4+2×1008=2017×10101故选：C5设数列an得前n项和为Sn，若a1=4，an+1=2Sn4，则S10=（）A2（3101）B2（310+1）C2（39+1）D4（391）【解答】解：因为a1=4，an+1=2Sn4，所以a2=2a14=4，而当n2时，an=2Sn14，两式相减得an+1an=2an，an+1=3an，所以，an从第二项起构成公比为3的等比数列，S10=a1+（a2+a3+a10)=4+4(39-1)3-1=2（39+1）故选：C6等比数列an的公比q0，已知a2=1，an+2=an+1+2an，则an的前2018项和等于（）A1B0C1D2018【解答】解：根据题意，等比数列an中，an+2=an+1+2an，则有anq2=anq+2an，变形可得q2q2=0，解可得q=2或q=1，又由等比数列an的公比q0，则q=1，已知a2=1，则a1=1，an的前2018项和S=(-1)×1-(-1)20181-(-1)=0；故选：B7设Sn是数列an的前n项和，若Sn=2an3，则Sn=（）A2n+1B2n+11C32n3D32n1【解答】解：当n=1时，a1=S1=2a13，a1=3当n2时，Sn=2an3，Sn1=2an13，SnSn1=2an2an1，an=2an2an1，an=2an1，anan-1=2，an是首项为3，公比为2的等比数列，an=3×2n1，当n=1时，也成立，an=3×2n1，nN*Sn=32n3，故选：C8已知an为等比数列，数列bn满足b1=2，b2=5，且an（bn+1bn）=an+1，则数列bn的前n项和为（）A3n+1B3n1C3n2+n2D3n2-n2【解答】解：由an为等比数列，设公比为q，an（bn+1bn）=an+1，bn+1bn=q（常数）即数列bn是等差数列，公差为q，即d=q由b1=2，b2=5，bn=2+（n1）×3=3n1则数列bn的前n项和Sn=(3n+1)n2故选：C9已知数列an的首项为1，an+1=2an+2，则数列an的通项公式为an=（）A2n12B2n2C2n12nD2n1【解答】解：由an+1=2an+2，则an+1+2=2（an+2），a1+2=1，数列an是以1为首项，以2为公比的等比数列，则an+2=1×2n1，an=2n12，数列an的通项公式an=2n12，故选：A10已知数列an的前n项和为Sn，且a1=1，Sn=(n+1)an2，则a2017=（）A2016B2017C4032D4034【解答】解：a1=1，Sn=(n+1)an2，n2时，an=SnSn1=(n+1)an2nan-12，化为：ann=an-1n-1，ann=an-1n-1=a11=1，an=n则a2017=2017故选：B11设数列an的前n项和为Sn，若Sn+1=2an+1，nN*，则a3=（）A3B2C1D0【解答】解：Sn+1=2an+1，nN*，则n=1时，a1+a2=2a1+1，可得：a2=a1+1n=2时，a1+a2+a3=2a2+1，可得：a3=2故选：B12已知正项数列an中，a1=1，a2=2，2an+12=an+22+an2，则a6等于（）A16B8C4D22【解答】解：2an+12=an+22+an2，数列an2为等差数列，首项为1，公差为3则a62=1+3×5，a60，解得a6=4故选：C二填空题（共4小题）13记Sn为数列an的前n项和若Sn=2an+1，则S6=63【解答】解：Sn为数列an的前n项和，Sn=2an+1，当n=1时，a1=2a1+1，解得a1=1，当n2时，Sn1=2an1+1，由可得an=2an2an1，an=2an1，an是以1为首项，以2为公比的等比数列，S6=-1×(1-26)1-2=63，故答案为：6314数列an满足an+1=an2an+1，a3=15，则a1=1【解答】解：由题意：足an+1=an2an+1，a3=15，令n=2，可得15=a22a2+1，解得：a2=13令n=1，可得13=a12a2+1，解得：a1=1故答案为：115已知在数列an中，a1=1，an+1=n+1nan，则a2018=2018【解答】解：在数列an中，a1=1，an+1=n+1nan，即为an+1n+1=ann=an-1n-1=a33=a22=a1=1，即有an=n，可得a2018=2018，故答案为：201816已知数列an 满足：a1=m （m 为正整数），an+1=&an2，当an为偶数时&3an+1，当an为奇数时，若a4=7，则m所有可能的取值为56，9【解答】解：a4=7则一、当a3为偶数时，a4=12a3则a3=14，1a2为偶数时，a3=12a2则a2=28，a1为偶数时，a2=12a1则a1=56a1为奇数时，a2=3a1+1=28，a1=92a2为奇数时，a3=3a2+1，则a2=133（非整数，舍去）二、a3为奇数时，a4=3a3+1=7，得a3=2（非奇数舍去）所以答案是56，9三解答题（共2小题）17已知an是公差为3的等差数列，数列bn满足b1=13，b2=19，anbn+1=nbn+bn+1（1）求数列an的通项公式；（2）求数列bn的前n项和Sn【解答】解：（1）由已知a1b2=b1+b2且b1=13，b2=19，得a1=4，an是首项为4，公差为3的等差数列，通项公式为an=4+（n1）×3=3n+1；（2）由（1）知anbn+1=nbn+bn+1，得：（3n+1）bn+1bn+1=nbn，bn+1bn=13，因此bn是首项为13、公比为13的等比数列，则Sn=13(1-13n)1-13=12(1-13n)18已知数列an的前n项和Sn满足：Sn=1an（1）求an的通项公式；（2）设cn=4an+1，求数列cn的前n项和Tn【解答】解：（1）Sn=1an，n=1时，a1=S1=1a1，可得a1=12，n2时，Sn=1an，Sn1=1an1，an=SnSn1=1an1+an1，化为an=12an1，即有an=12（12）n1=（12）n；（2）cn=4an+1=4（12）n+1，前n项和Tn=412+14+（12）n+n=412(1-12n)1-12+n=422n+n