2022届高三数学一轮复习（原卷版）第3讲　高效演练分层突破 (8).doc

基础题组练 1下列函数中，既是偶函数又在区间(0，)上单调递增的是( ) Ay1x By|x|1 Cylg x Dy12|x| 解析：选 By1x为奇函数；ylg x 的定义域为(0，)，不具备奇偶性；y12|x|在(0，)上为减函数；y|x|1 在(0，)上为增函数，且在定义域上为偶函数 2已知 f(x)为定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)2xm，则 f(2)( ) A3 B54 C54 D3 解析：选 A由 f(x)为 R 上的奇函数，知 f(0)0，即 f(0)20m0，解得 m1，则 f(2)f(2)(221)3. 3定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x3)f(x)若 f(2)1，f(7)a，则实数 a 的取值范围为( ) A(，3) B(3，) C(，1) D(1，) 解析：选 D因为 f(x3)f(x)，所以 f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的周期函数，所以 f(7)f(79)f(2)又因为函数 f(x)是偶函数， 所以 f(2)f(2)，所以 f(7)f(2)1， 所以 a1，即 a(1，)故选 D 4若 f(x)是定义在(，)上的偶函数，x1，x20，)(x1x2)，有f（x2）f（x1）x2x10，则( ) Af(3)f(1)f(2) Bf(1)f(2)f(3) Cf(2)f(1)f(3) Df(3)f(2)f(1) 解析：选 D因为x1，x20，)(x1x2)，有f（x2）f（x1）x2x10，所以当 x0 时，函数 f(x)为减函数，因为 f(x)是定义在(，)上的偶函数，所以 f(3)f(2)f(1)， 即 f(3)f(2)0，a， x0，g（2x）， x0为奇函数，则 a_，f(g(2)_ 解析：因为 f(x)是 R 上的奇函数 ，所以 f(0)0，即 a0，若 x0，则 f(x)f(x)，即 f(x)f(x)，则 g(2x)(x22x1)，令 x1，则 g(2)(121)2，f(2)f(2)(441)7，故 f(g(2)7. 答案：0 7 8定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)f(2x)及 f(x)f(x)，且在0，1上有 f(x)x2，则 f2 01912_ 解析：函数 f(x)的定义域是 R，f(x)f(x)，所以函数 f(x)是奇函数. 又 f(x)f(2x)，所以 f(x)f(2x)f(x)， 所以 f(4x)f(2x)f(x)， 故函数 f(x)是以 4 为周期的奇函数，所以 f2 01912f2 02012f12f12.因为在0，1上有 f(x)x2，所以 f1212214， 故 f2 0191214. 答案：14 9 设 f(x)是定义域为 R 的周期函数， 最小正周期为 2， 且 f(1x)f(1x)， 当1x0时，f(x)x. (1)判定 f(x)的奇偶性； (2)试求出函数 f(x)在区间1，2上的表达式 解：(1)因为 f(1x)f(1x)，所以 f(x)f(2x) 又 f(x2)f(x)，所以 f(x)f(x) 又 f(x)的定义域为 R， 所以 f(x)是偶函数 (2)当 x0，1时，x1，0， 则 f(x)f(x)x； 从而当 1x2 时，1x20， f(x)f(x2)(x2)x2. 故 f(x)x，x1，0，x，x（0，1），x2，x1，2. 10设 f(x)是(，)上的奇函数，f(x2)f(x)，当 0 x1 时，f(x)x. (1)求 f()的值； (2)当4x4 时，求 f(x)的图象与 x 轴所围成的图形的面积 解：(1)由 f(x2)f(x)，得 f(x4)f(x2)2)f(x2)f(x)， 所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数 所以 f()f(14)f(4) f(4)(4)4. (2)由 f(x)是奇函数与 f(x2)f(x)， 得 f(x1)2)f(x1)f(x1)， 即 f(1x)f(1x) 从而可知函数 yf(x)的图象关于直线 x1 对称 又当 0 x1 时，f(x)x，且 f(x)的图象关于原点成中心对称，则 f(x)的图象如图所示 设当4x4 时， f(x)的图象与 x 轴围成的图形面积为 S， 则 S4SOAB412214. 综合题组练 1(多选)(创新型)如果定义在 R 上的奇函数 yf(x)，对任意两个不相等的实数 x1，x2，都有 x1f(x1)x2f(x2)x1f(x2)x2f(x1)，则称函数 yf(x)为“H 函数”下列函数为“H 函数”的是( ) Af(x)sin x Bf(x)3x13x Cf(x)x33x Df(x)x|x| 解析：选 BD根据题意，对于任意的不相等的实数 x1，x2，都有 x1f(x1)x2f(x2)x1f(x2)x2f(x1)恒成立，则有(x1x2)f(x1)f(x2)0 恒成立，即函数 f(x)是定义在 R 上的增函数，则“H 函数”为奇函数且在 R 上为增函数对于 A，f(x)sin x 为正弦函数，是奇函数但不是增函数，不符合题意； 对于 B，f(x)3x3xf(x)，故 f(x)为奇函数，由指数函数性质可得 f(x)在 R 上单调递增，符合题意； 对于 C，f(x)x33x 为奇函数，但在 R 上不是增函数，不符合题意； 对于 D，f(x)x|x|x2，x0，x2，x0为奇函数且在 R 上为增函数，符合题意，故选 BD 2(多选)(综合型)函数 f(x)的定义域为 R，且 f(x1)与 f(x2)都为奇函数，则( ) Af(x)为奇函数 Bf(x)为周期函数 Cf(x3)为奇函数 Df(x4)为偶函数 解析：选 ABC根据题意 f(x1)为奇函数，所以 f(x)的图象关于(1，0)对称，所以 f(x1)f(1x)， 同理，f(x2)为奇函数，则 f(x)的图象关于(2，0)对称，所以 f(x2)f(2x)， 所以 f(x1)1f2(x1)f(1x)，由式知 f(x2)f(x1)，所以 T1， 所以 f(x)是周期函数， 有一个周期是 2， 故 B 选项正确， 因为 f(x1)f(1x)f(x)， 所以 f(x)关于(0，0)对称，故 A 选项正确，由 T2 及 f(x)关于(1，0)对称知 f(x)关于(3，0)对称， 所以 f(x3)关于(0，0)对称，故 C 选项正确故为 ABC 3已知函数 f(x)x2x1x21，若 f(a)23，则 f(a)_ 解析：根据题意，f(x)x2x1x211xx21，而 h(x)xx21是奇函数，故 f(a)1h(a)1h(a)21h(a)2f(a)22343. 答案：43 4定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(xy)f(x)f(y)，f(x2)f(x)且 f(x)在1，0上是增函数，给出下列几个命题： f(x)是周期函数； f(x)的图象关于 x1 对称； f(x)在1，2上是减函数； f(2)f(0)， 其中正确命题的序号是_(请把正确命题的序号全部写出来) 解析：因为 f(xy)f(x)f(y)对任意 x，yR 恒成立 令 xy0， 所以 f(0)0.令 xy0，所以 yx， 所以 f(0)f(x)f(x) 所以 f(x)f(x)，所以 f(x)为奇函数 因为 f(x)在 x1，0上为增函数，又 f(x)为奇函数，所以 f(x)在0，1上为增函数 由 f(x2)f(x)f(x4)f(x2) f(x4)f(x)， 所以周期 T4， 即 f(x)为周期函数 f(x2)f(x)f(x2)f(x) 又因为 f(x)为奇函数， 所以 f(2x)f(x)， 所以函数关于 x1 对称 由 f(x)在0，1上为增函数， 又关于 x1 对称， 所以 f(x)在1，2上为减函数 由 f(x2)f(x)，令 x0 得 f(2)f(0)f(0) 答案： 5设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，对任意实数 x 有 f32x f32x 成立 (1)证明 yf(x)是周期函数，并指出其周期； (2)若 f(1)2，求 f(2)f(3)的值 解：(1)由 f32x f32x ， 且 f(x)f(x)， 所以 f(x3)f3232x f3232x f(x)f(x)， 所以 yf(x)是周期函数，且 3 是其一个周期 (2)因为 f(x)为定义在 R 上的奇函数， 所以 f(0)0， 且 f(1)f(1)2， 又 T3 是 yf(x)的一个周期， 所以 f(2)f(3)f(1)f(0)202. 6已知函数 yf(x)在定义域1，1上既是奇函数又是减函数 (1)求证：对任意 x1，x21，1，有f(x1)f(x2) (x1x2)0； (2)若 f(1a)f(1a2)0，求实数 a 的取值范围 解：(1)证明：若 x1x20，显然不等式成立 若 x1x20，则1x1x21， 因为 f(x)在1，1上是减函数且为奇函数， 所以 f(x1)f(x2)f(x2)，所以 f(x1)f(x2)0. 所以f(x1)f(x2)(x1x2)0 成立 若 x1x20，则 1x1x21， 同理可证 f(x1)f(x2)0. 所以f(x1)f(x2)(x1x2)0 成立 综上得证，对任意 x1，x21，1，有f(x1)f(x2) (x1x2)0 恒成立 (2)因为 f(1a)f(1a2)0f(1a2)f(1a)f(a1)，所以由 f(x)在定义域1，1上是减函数，得11a21，1a11，1a2a1，即0a22，0a2，a2a20，解得 0a1. 故所求实数 a 的取值范围是0，1)