人教A版2020届高考数学一轮复习讲义：解三角形.docx

解三角形知识讲解一、正弦定理1.正弦定理：；（为三角形外接圆半径）2.正弦定理变形式：1）；：2）3.正弦定理的应用 1）已知两角和任意一边，求另一角和其它的两条边2）已知两边和其中一边的对角，求另一边和其中的对角二、余弦定理1.余弦定理：；2.余弦定理变形式：；3.余弦定理的应用1）已知三边，求各角2）已知两边和它们的夹角，求第三个边和其它的两个角3）已知两边和其中一边的对角，求其它的角和边三、面积公式1. (、分别表示a、b、c上的高)；2.；3.；4.（为三角形内切圆半径）注：中易得：， ，锐角中，类比得钝角的结论经典例题一选择题（共10小题）1在ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，若2cos2A+B2-cos2C=1，4sinB=3sinA，a-b=1，则c的值为（）A13B7C37D6【解答】解：根据题意，ABC中，2cos2A+B2cos2C=1，变形可得2cos2A+B21=cos2C，则有cos2C+cosC=0，即2cos2C+cosC1=0，解可得cosC=12或cosC=1（舍），又由4sinB=3sinA，则有4b=3a，又由ab=1，则a=4，b=3，则c2=a2+b22abcosC=16+912=13，则c=13，故选：A2在ABC中，已知a2+b2c2=4S（S为ABC的面积），若c=2，则a-22b的取值范围是（）A(0，2)B（1，0）C(-1，2)D(-2，2)【解答】（本题满分为13分）解：根据余弦定理得a2+b2c2=2abcosC，ABC的面积S=12absinC，由a2+b2c2=4S，得tanC=1，0C，C=4；（6分）由正弦定理asinA=bsinB=222=2，可得：a=2sinA，b=2sinB=2sin（34A），a-22b=2sinA2sin（34A）=sinAcosA=2sin（A4），0A34，可得：4A42，可得：22sin（A4）1，（10分）a-22b=2sin（A4）的范围为（1，2）（13分）故选：C3ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，ABC的面积S=12，且满足asinB=bcosA，则1ab+cosC的取值范围是（）A（0，2B12，22C22，1）D（1，2【解答】解：由asinB=bcosA以及正弦定理可知sinAsinB=sinBcosA，sinB0，tanA=1，0A，A=4，ABC的面积S=12，12absinC=12，1ab=sinC1ab+cosC=sinC+cosC=2sin（C+4），C（0，34），C+4（4，），0sin（C+4）1，02sin（C+4）2故选：A4已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosCc+cosBb=33abccosA，则cosA=（）A33B-33C36D-36【解答】解：根据题意，ABC中，cosCc+cosBb=33abccosA，则有1c×a2+b2-c22ab+1b×a2+c2-b22ac=33abccosA，即2a2abc=33×abccosA变形可得：cosA=33；故选：A5在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2ba=bcosA+acosB，且a+c=4，则ABC面积的最大值为（）A14B2-34C3D2+34【解答】解：由2ba=bcosA+acosB，利用正弦定理可得：2sinBsinA=sinBcosA+sinAcosB=sin（A+B）=sinC，再利用正弦定理可得：2ba=c，又a+c=4，解得b=2，a=4c（1c4）cosC=a2+b2-c22ab=(4-c)2+4-c24(4-c)=5-2c4-csinC=1-cos2C=3(3-c)(c-1)4-c，则ABC面积S=12absinC=12×(4-c)×2×3(3-c)(c-1)4-c=3-c2+4c-3=3-(c-2)2+13，当且仅当c=2=a时取等号ABC面积的最大值为3也可以利用海伦公式计算ABC的面积故选：C6如图所示，在平面四边形ABCD中，AB=1，BC=2，ACD为正三角形，则BCD面积的最大值为（）A23+2B3+12C32+2D3+1【解答】解：在ABC中，设ABC=，ACB=，由余弦定理得：AC2=12+222×1×2cos=54cos，ACD为正三角形，CD2=54cos，由正弦定理得：1sin=ACsin，ACsin=sin，CDsin=sin，（CDcos）2=CD2（1sin2）=CD2sin2=54cossin2=（2cos）2，BAC，为锐角，CDcos=2cos，SBCD=122CDsin（3+）=CDsin（3+）=32CDcos+12CDsin=32（2cos）+12sin=3+sin（3），当=56时，（SBCD）max=3+1故选：D7ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB=acosC+ccosA，b=2，则ABC面积的最大值是（）A1B3C2D4【解答】解：（1）2bcosB=acosC+ccosA，可得：2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sinB，sinB0，cosB=12B=60°由余弦定理可得ac=a2+c24，由基本不等式可得ac=a2+c242ac4，可得：ac4，当且仅当a=c时，“=”成立，从而ABC面积S=12acsinB=3，故ABC面积的最大值为3故选：B8在ABC中，A=6，ABC的面积为2，则2sinCsinC+2sinB+sinBsinC的最小值为（）A32B334C32D53【解答】解：ABC中，A=6，ABC的面积为2，SABC=12bcsinA=14bc=2，bc=8，2sinCsinC+2sinB+sinBsinC=21+2sinBsinC+sinBsinC，令t=sinBsinC则t0，上式化为：21+2sinBsinC+sinBsinC=21+2t+t=21+2t+12(2t+1)-12221+2t12(2t+1)12=32，当且仅当2t+1=2，即t=12，可得b=2c，又bc=8，解得c=4，b=2时，等号成立；2sinCsinC+2sinB+sinBsinC的最小值为：32故选：C9在ABC中，AP=13（AB+AC），若sinBAB+2sinAPA+3sinCPC=0，则cosC=（）A118B16C56D1718【解答】解：根据题意，如图，在ABC中，设D为BC的中点，有AB+AC=2AD，又由AP=13（AB+AC），则AP=23AD，则P为ABC的重心，则有PA+PB+PC=0，若sinBAB+2sinAPA+3sinCPC=0，则bAB+2aPA+3cPC=0，而AB=PBPA，则b（PBPA）+2aPA+3cPC=0，bPB+（2ab）PA+3cPC=0，又由PA+PB+PC=0，则有&2a-b=b&b=3c，解可得a=b=3c，则cosC=a2+b2-c22ab=1718；故选：D10在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且csin(B+3)=32a，CACB=20，c=7，则ABC的内切圆的半径为（）A2B1C3D3【解答】解：csin(B+3)=32a，由正弦定理可得：sinC（12sinB+32cosB）=32sinA，12sinCsinB+32sinCcosB=32sinA=32sinBcosC+32sinCcosB，可得：12sinCsinB=32sinBcosC，sinB0，可得：tanC=3，C（0，），C=3，c=7，CACB=20=abcosC=12ab，可得：ab=40，由余弦定理c2=a2+b22abcosC，可得：49=a2+b2ab=（a+b）23ab=（a+b）2120，解得：a+b=13，设ABC的内切圆的半径为r，则12（a+b+c）r=12absinC，可得：12（5+8+7）r=12×5×8×32，可得ABC的内切圆的半径r=3故选：D二填空题（共7小题）11在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若a=7，b=2，A=60°，则sinB=217，c=3【解答】解：在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，ca=7，b=2，A=60°，由正弦定理得：asinA=bsinB，即7sin60°=2sinB，解得sinB=2×327=217由余弦定理得：cos60°=4+c2-72×2c，解得c=3或c=1（舍），sinB=217，c=3故答案为：217，312ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知bsinC+csinB=4asinBsinC，b2+c2a2=8，则ABC的面积为233【解答】解：ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，cbsinC+csinB=4asinBsinC，利用正弦定理可得sinBsinC+sinCsinB=4sinAsinBsinC，由于0B，0C，所以sinBsinC0，所以sinA=12，则A=6或56由于b2+c2a2=8，则：cosA=b2+c2-a22bc，当A=6时，32=82bc，解得bc=833，所以SABC=12bcsinA=233当A=56时，-32=82bc，解得bc=833（不合题意），舍去故：SABC=233故答案为：23313如图，在ABC中，点D是AB中点，AB=2，ACD=90°，DCB=45°，ABC的面积为S，则5S=2【解答】解：ABC中，点D是AB中点，c=AB=2，ACD=90°，DCB=45°，a=BC，b=AC，设BC=x，则SACD=SBCD，即12bx=12axsin45°，b=22a，c2=a2+b22abcosACB，4=a2+12a22a22acos135°，a=85，b=25；ABC的面积为S=12absin135°=12×85×25×22=25，5S=2故答案为：214已知a，b，c分别为ABC的三个内角A，B，C的对边，b=6，且accosB=a2-b2+74bc，O为ABC内一点，且满足OA+OB+OC=0，BAO=30°，则|OA|=3【解答】解：由余弦定理可得b2=a2+c22accosB，b=6，且accosB=a2-b2+74bc，2a22b2+72bc=a2+c2b2，a2=b2+c22bc74，cosA=74，sinA=1-716=34，满足OA+OB+OC=0，BAO=300，可得O为ABC的重心，且SABO=13SABC，即为12c|AO|sin30°=13×12cbsinBAC，则|AO|=13×6×34×2=3，故答案为：315在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若已知b2+c2=4bcsin（A+6），则tanA+tanB+tanC的最小值是83【解答】解：由题意由b2+c2=4bcsin（A+6），余弦定理可得：a2+2bccosA=23bcsinA+2bccosA，即a=23bsinC那么sinA=23sinBinC即sinBcosC+cosBsinC=23sinBinC那么tanB+tanC=23tanBtanCtanA=tan（B+C）=tanB+tanCtanBtanC-1，那么tanA+tanB+tanC=tanB+tanCtanBtanC-1+23tanBtanC=23tanBtanCtanBtanC-1+23tanBtanC设tanBtanC1=m，可得：tanA+tanB+tanC=23(m+1)m+23（m+1）=23×(m+1)2m=23×（m+1m+2）23×（2+2）=83；当且仅当m=1时取“=”，即tanBtanC=2故答案为：8316已知ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（a2+b2c2）（acosB+bcosA）=abc，若a+b=2，则c的取值范围为1，2）【解答】解：根据题意，ABC中，acosB+bcosA=a×a2+c2-b22ac+b×b2+c2-a22bc=2c22c=c，若（a2+b2c2）（acosB+bcosA）=abc，则有a2+b2c2=ab，则cosC=a2+b2-c22ab=12，则C=3，又由a+b=2，则c2=a2+b22abcosC=a2+b2ab=（a+b）23ab=43ab，又由a+b=2，则ab（a+b2）2=1，则c21，则有c1，又由ca+b=2，则c的取值范围为1，2）；故答案为：1，2）17我国古代著名的数学家刘徽著有海岛算经内有一篇：“今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直从前表却行百二十三步，人目著地取望岛峰，与表末参合从后表却行百二十七步，人目著地取望岛峰，亦与表末参合问岛高及去表各几何？”请你计算出海岛高度为1255步（参考译文：假设测量海岛，立两根标杆，高均为5步，前后相距1000步，令前后两根标杆和岛在同一直线上，从前标杆退行123步，人的视线从地面（人的高度忽略不计）过标杆顶恰好观测到岛峰，从后标杆退行127步，人的视线从地面过标杆顶恰好观测到岛峰，问岛高多少？岛与前标杆相距多远？）（丈、步为古时计量单位，当时是“三丈=5步”）【解答】解：如图，设岛高x步，与前标杆相距y步，则有&5x=123123+y&5x=127127+1000+y，解得：x=1255步故答案为：1255三解答题（共6小题）18在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知bsinA=acos（B6）（）求角B的大小；（）设a=2，c=3，求b和sin（2AB）的值【解答】解：（）在ABC中，由正弦定理得asinA=bsinB，得bsinA=asinB，又bsinA=acos（B6）asinB=acos（B6），即sinB=cos（B6）=cosBcos6+sinBsin6=32cosB+12sinB，tanB=3，又B（0，），B=3（）在ABC中，a=2，c=3，B=3，由余弦定理得b=a2+c2-2accosB=7，由bsinA=acos（B6），得sinA=37，ac，cosA=27，sin2A=2sinAcosA=437，cos2A=2cos2A1=17，sin（2AB）=sin2AcosBcos2AsinB=437×12-17×32=331419在ABC中，a=7，b=8，cosB=17（）求A；（）求AC边上的高【解答】解：（）ab，AB，即A是锐角，cosB=17，sinB=1-cos2B=1-(-17)2=437，由正弦定理得asinA=bsinB得sinA=asinBb=7×4378=32，则A=3（）由余弦定理得b2=a2+c22accosB，即64=49+c2+2×7×c×17，即c2+2c15=0，得（c3）（c+5）=0，得c=3或c=5（舍），则AC边上的高h=csinA=3×32=33220在平面四边形ABCD中，ADC=90°，A=45°，AB=2，BD=5（1）求cosADB；（2）若DC=22，求BC【解答】解：（1）ADC=90°，A=45°，AB=2，BD=5由正弦定理得：ABsinADB=BDsinA，即2sinADB=5sin45°，sinADB=2sin45°5=25，ABBD，ADBA，cosADB=1-(25)2=235（2）ADC=90°，cosBDC=sinADB=25，DC=22，BC=BD2+DC2-2×BD×DC×cosBDC=25+8-2×5×22×25=521如图，在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且2acosCc=2b（1）求角A的大小；（2）若ABC=6，AC边上的中线BD的长为35，求ABC的面积【解答】解：由2acosCc=2b正弦定理，可得2sinAcosCsinC=2sinB即2sinAcosCsinC=2sin（A+C）可得：sinC=2cosAsinC、sinC0cosA=-12，A（0，）则A=23（2）由（1）可知A=23ABC=6C=6则AC=AB设AD=x，则AB=2x，在ABD中利用余弦定理：可得BD2=AB2+AD22ABADcosA即7x2=35，可得x=5，故得ABC的面积S=12×4x2×sin23=5322在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cosA2=255，ABAC=3（1）求ABC的面积；（2）若b+c=6，求a的值【解答】解：（1）因为cosA2=255，所以cosA=2cos2A2-1=35，sinA=45又由ABAC=3得bccosA=3，所以bc=5因此SABC=12bcsinA=2（2）由（1）知，bc=5，又b+c=6，由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-165bc=20，所以a=2523已知ABC的内角A，B，C的对边a，b，c分别满足c=2b=2，2bcosA+acosC+ccosA=0，又点D满足AD=13AB+23AC（1）求a及角A的大小；（2）求|AD|的值【解答】解：（1）由2bcosA+acosC+ccosA=0及正弦定理得2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC，即2sinBcosA=sin（A+C）=sinB，在ABC中，sinB0，所以cosA=-12又A（0，），所以A=23在ABC中，c=2b=2，由余弦定理得a2=b2+c22bccosA=b2+c2+bc=7，所以a=7（2）由AD=13AB+23AC，得AD2=(13AB+23AC)2=49+49+49×2×1×(-12)=49，所以|AD|=23