2022届高三数学一轮复习（原卷版）第二节 第1课时 系统知识牢基础——导数与函数的单调性、极值与最值 教案.doc

1 第二节第二节 导数在研究函数中的应用导数在研究函数中的应用 第第 1 课时课时 系统知识牢基础系统知识牢基础导数与函数的单调性、极值与最值导数与函数的单调性、极值与最值 知识点一知识点一 利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的单调性 1函数函数 f(x)在某个区间在某个区间(a，b)内的单调性与内的单调性与 f(x)的关系的关系 (1)若若 f(x)0，则，则 f(x)在这个区间上单调递增在这个区间上单调递增 (2)若若 f(x)0 或或 f(x)1 时，时，f(x)k1x0 恒成立，即恒成立，即 k1x在区间在区间(1，)上恒成立因为上恒成立因为 x1，所，所以以 01x0，a0. 答案：答案：(0，) 6设函数设函数 f(x)在在(a，b)上的导函数为上的导函数为 f(x)，f(x)在在(a，b)上的导函数为上的导函数为 f(x)，若在，若在(a，b)上，上，f(x)0 恒成立，则称函数恒成立，则称函数 f(x)在在(a，b)上为上为“凸函数凸函数”已知已知 f(x)x44t3x332x2在在(1,4)上为上为“凸函数凸函数”，则实数，则实数 t 的取值范围是的取值范围是_ 解析：解析：由由 f(x)x44t3x332x2可得可得 f(x)x3tx23x，f(x)3x22tx3，f(x)在在(1,4)上为上为“凸函数凸函数”，x(1,4)时，时，3x22tx332 x1x恒成立恒成立 令令 g(x)32 x1x，g(x)在在(1,4)上单调递增，上单调递增， tg(4)518. 实数实数 t 的取值范围是的取值范围是 518， . 答案：答案： 518， 知识点二知识点二 利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的极值 1函数的极大值函数的极大值 在包含在包含 x0的一个区间的一个区间(a，b)内，函数内，函数 yf(x)在任何一点的函数值都在任何一点的函数值都小于小于 x0点点的函数值，称的函数值，称点点 x0为函数为函数 yf(x)的极大值点，其函数值的极大值点，其函数值 f(x0)为函数的极大值为函数的极大值 2函数的极小值函数的极小值 在包含在包含 x0的一个区间的一个区间(a，b)内，函数内，函数 yf(x)在任何一点的函数值都在任何一点的函数值都大于大于 x0点的函数值，称点的函数值，称 3 点点 x0为函数为函数 yf(x)的极小值点，其函数值的极小值点，其函数值 f(x0)为函数的极小值极大值与极小值统称为为函数的极小值极大值与极小值统称为极极值值，极大值点与极小值点统称为极值点，极大值点与极小值点统称为极值点 提醒提醒 (1)极值点不是点， 若函数极值点不是点， 若函数 f(x)在在 x1处取得极大值， 则处取得极大值， 则 x1为极大值点， 极大值为为极大值点， 极大值为 f(x1)；在在 x2处取得极小值，则处取得极小值，则 x2为极小值点，极小值为为极小值点，极小值为 f(x2)极大值与极小值之间无确定的大极大值与极小值之间无确定的大小小关系关系 (2)极值一定在区间内部取得，有极值的函数一定不是单调函数极值一定在区间内部取得，有极值的函数一定不是单调函数 (3)f(x0)0 是是 x0为为 f(x)的极值点的必要而非充分条件例如，的极值点的必要而非充分条件例如，f(x)x3，f(0)0，但但 x0不是极值点不是极值点 重温经典重温经典 1(多选多选)(2021 福州模拟福州模拟)下列函数中，存在极值点的是下列函数中，存在极值点的是( ) Ayx1x By2|x| Cy2x3x Dyxln x 解析：解析：选选 BD 由题意函数由题意函数 yx1x，则，则 y11x20，所以函数，所以函数 yx1x在在(，0)，(0，)内单调递增，没有极值点；函数内单调递增，没有极值点；函数 y2|x| 2x，x0，2x，x0，根据指数函数的图象与性质可根据指数函数的图象与性质可得，当得，当 x0 时，函数时，函数 y2|x|单调递减，当单调递减，当 x0 时，函数时，函数 y2|x|单调递增，所以函数单调递增，所以函数 y2|x|在在 x0 处取得极小值；函数处取得极小值；函数 y2x3x，则，则 y6x210，所以函数，所以函数 y2x3x在在 R 上单调递减，没有极值点；函数上单调递减，没有极值点；函数 yxln x，则，则 yln x1，当，当 x 0，1e时，时，y0，函数单调递减，当函数单调递减，当 x 1e， 时，时，y0，函数单调递增，当，函数单调递增，当 x1e时，函数取得极小值，时，函数取得极小值，故选故选 B、D. 2(教材改编题教材改编题)如图是如图是 f(x)的导函数的导函数 f(x)的图象，则的图象，则 f(x)的极小值的极小值点的个数为点的个数为( ) A1 B2 C3 D4 解析：解析：选选 A 由图象及极值点的定义知，由图象及极值点的定义知，f(x)只有一个极小值点只有一个极小值点 3(教材改编题教材改编题)若函数若函数 f(x)x3ax23x9 在在 x3 时取得极值，则时取得极值，则 a 的值为的值为( ) A2 B3 C4 D5 解析：解析：选选 D f(x)3x22ax3，由题意知，由题意知 f(3)0，即，即 3(3)22a(3)30，解得解得 a5. 4(多选多选)材料：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，在现行的高等数学与数学材料：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，在现行的高等数学与数学 4 分析教材中，对分析教材中，对“初等函数初等函数”给出了确切的定义，即由常数和基本初等函数经过有限次的给出了确切的定义，即由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成的，且能用一个式子表示的，如函数四则运算及有限次的复合步骤所构成的，且能用一个式子表示的，如函数 f(x)xx(x0)，我们可以作变形：我们可以作变形：f(x)xxeln xxexln xet(txln x)，所以，所以 f(x)可看作是由函数可看作是由函数 f(t)et和和g(x)xln x 复合而成的，即复合而成的，即 f(x)xx(x0)为初等函数根据以上材料，对于初等函数为初等函数根据以上材料，对于初等函数 h(x)x1x(x0)的说法正确的是的说法正确的是( ) A无极小值无极小值 B有极小值有极小值 1 C无极大值无极大值 D有极大值有极大值 e1e 解析：解析：选选 AD 根据材料知：根据材料知：h(x)x1xe1ln xxe1ln xx， 所以所以 h(x)e1ln xx 1xln x e1ln xx 1x2ln x1x21x2e1ln xx(1ln x)， 令令 h(x)0 得得 xe，当，当 0 xe 时，时，h(x)0，此时函数，此时函数 h(x)单调递增；单调递增； 当当 xe 时，时，h(x)0，此时函数，此时函数 h(x)单调递减单调递减 所以所以 h(x)有极大值且为有极大值且为 h(e)e1e，无极小值，无极小值 5若若 x2 是函数是函数 f(x)(x2ax1)ex的极值点，则的极值点，则 f(2)_，f(x)的极小值为的极小值为_ 解析：解析：由函数由函数 f(x)(x2ax1)ex 可得可得 f(x)(2xa)ex(x2ax1)ex， 因因为为 x2 是函数是函数 f(x)的极值点，的极值点， 所以所以 f(2)(4a)e2(42a1)e20， 即即4a32a0，解得，解得 a1. 所以所以 f(x)(x2x2)ex. 令令 f(x)0 可得可得 x2 或或 x1. 当当 x1 时，时，f(x)0，此时函数，此时函数 f(x)为增函数，当为增函数，当2x1 时，时，f(x)0，此时函数，此时函数f(x)为减函数，为减函数， 所以当所以当 x1 时函数时函数 f(x)取得极小值，取得极小值， 极小值为极小值为 f(1)(1211)e1e. 答案：答案：0 e 6设设 x1，x2是函数是函数 f(x)x32ax2a2x 的两个极值点，若的两个极值点，若 x12x2，则实数，则实数 a 的取值范围的取值范围是是_ 解析：解析：由题意得由题意得 f(x)3x24axa2的两个零点的两个零点 x1，x2满足满足 x12x2，所以，所以 f(2)128aa20，解得，解得 2a6. 答案：答案：(2,6) 5 知识点三知识点三 函数的最值函数的最值 1在闭区间在闭区间a，b上连续的函数上连续的函数 f(x)在在a，b上必有最大值与最小值上必有最大值与最小值 2若函数若函数 f(x)在在a，b上单调递增，则上单调递增，则 f(a)为函数的最小值，为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数为函数的最大值；若函数f(x)在在a，b上单调递减，则上单调递减，则 f(a)为函数的最大值，为函数的最大值，f(b)为函数的最小值为函数的最小值 提醒提醒 求函数最值时，易误认为极值点就是最值点，不通过比较就下结论，这种做法是错求函数最值时，易误认为极值点就是最值点，不通过比较就下结论，这种做法是错误的误的 重温经典重温经典 1(教材改编题教材改编题)函数函数 f(x)ln xx 在区间在区间(0，e上的最大值为上的最大值为( ) A1e B1 Ce D0 解析：解析：选选 B 因为因为 f(x)1x11xx，当，当 x(0,1)时，时，f(x)0；当；当 x(1，e时，时，f(x)0，所以，所以 f(x)的单调递增区间是的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是，单调递减区间是(1，e，所以当，所以当 x1 时，时，f(x)取得最取得最大值大值 f(1)ln 111. 2(教材改编题教材改编题)函数函数 f(x)x44x(|x|0)， 又又 f(1)1e0，f(0)0，f(4)4e40， 所以所以 f(x)的最小值为的最小值为 0. 答案：答案：0 6已知函数已知函数 f(x)2sin xsin 2x，则，则 f(x)的最小值是的最小值是_ 6 解析：解析：f(x)2cos x2cos 2x2cos x2(2cos2x1) 2(2cos2xcos x1)2(2cos x1)(cos x1) cos x10，当当 cos x12时，时，f(x)12时，时，f(x)0，f(x)单调递增单调递增 当当 cos x12时，时，f(x)有最小值有最小值 又又 f(x)2sin xsin 2x2sin x(1cos x)， 当当 sin x32时，时，f(x)有最小值，有最小值， 即即 f(x)min2 32 1123 32. 答案：答案：3 32