专题10 数列 10.1等差数列 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习（解析版）.docx

专题十 数列讲义10.1 等差数列知识梳理.等差数列1等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为an1and(nN*，d为常数) (2)通项公式：ana1(n1)dnd(a1d)当d0时，an是关于n的一次函数通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN*)(3)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A，其中A叫做a，b的等差中项若mn2p，则2apaman(m，n，pN*)当mnpq时，amanapaq(m，n，p，qN*)(4)前n项和公式：Sn Snna1dn2n当d0时，Sn是关于n的二次函数，且没有常数项2.常用结论：已知an为等差数列，d为公差，Sn为该数列的前n项和(1)Sn，S2nSn，S3nS2n，也成等差数列，公差为n2d.(2)若an是等差数列，则也成等差数列，其首项与an首项相同，公差是an公差的.(3)若项数为偶数2n，则S2nn(a1a2n)n(anan1)；S偶S奇nd；.若项数为奇数2n1，则S2n1(2n1)an；S奇S偶an；.题型一. 等差数列的基本量1已知等差数列an满足a3+a412，3a2a5，则a611【解答】解：设等差数列an的公差为d，a3+a412，3a2a5，2a1+5d12，3（a1+d）a1+4d，联立解得a11，d2，a6a1+5d11故答案为：112（2018新课标）记Sn为等差数列an的前n项和若3S3S2+S4，a12，则a5（）A12B10C10D12【解答】解：Sn为等差数列an的前n项和，3S3S2+S4，a12，3×(3a1+3×22d)=a1+a1+d+4a1+4×32d，把a12，代入得d3a52+4×（3）10故选：B3（2017新课标）记Sn为等差数列an的前n项和若a4+a524，S648，则an的公差为（）A1B2C4D8【解答】解：Sn为等差数列an的前n项和，a4+a524，S648，a1+3d+a1+4d=246a1+6×52d=48，解得a12，d4，an的公差为4故选：C题型二. 等差数列的基本性质1在等差数列an中，已知a5+a1012，则3a7+a9等于（）A30B24C18D12【解答】解：等差数列an中，a5+a1012，2a1+13d12，3a7+a94a1+26d2（2a1+13d）24故选：B2在等差数列an中，若a4+a6+a8+a10+a12120，则a913a11的值为（）A17B16C15D14【解答】解：由a4+a6+a8+a10+a12（a4+a12）+（a6+a10）+a85a8120，解得a824a913a11=a1+8da1+10d3=23a1+143d=23（a1+7d）=23a816故选：B3设等差数列an的前n项和为Sn，若a310，S436，则公差d为2【解答】解：a310，S436，a1+2d10，4a1+4×32d36，解得d2故答案为：2题型三.等差数列的函数性质1下面是关于公差d0的等差数列an的四个命题：（1）数列an是递增数列；（2）数列nan是递增数列；（3）数列ann是递减数列；（4）数列an+3nd是递增数列其中的真命题的个数为（）A0B1C2D3【解答】解：设等差数列的首项为a1，公差d0，则ana1+（n1）ddn+a1d，数列an是递增数列，故（1）正确；nan=dn2+(a1d)n，当nda12d时，数列nan不是递增数列，故（2）错误；ann=d+a1dn，当a1d0时，数列ann不是递减数列，故（3）错误；an+3nd4nd+a1d，数列an+3nd是递增数列，故（4）正确真命题个数有2个故选：C2已知数列an的前n项和Snn2（nN*），则an的通项公式为（）Aan2nBan2n1Can3n2Dan=1，n=12n，n2【解答】解：Snn2，当n1时，a1S11当n2时，anSnSn1n2（n1）22n1，而当n1时也满足，an2n1故选：B3在数列an中，若an5n16，则此数列前n项和的最小值为（）A11B17C18D3【解答】解：令an5n160，解得n3+15则此数列前n项和的最小值为S3=3×(11+1516)2=18故选：C题型四. 等差数列的前n项和经典结论1设等差数列an的前n项和为Sn，若S39，S972，则S6（）A27B33C36D45【解答】解：等差数列an的前n项和为Sn，若S39，S972，S3，S6S3，S9S6成等差数列，故2（S6S3）S3+S9S6 ，即 2（S69）9+72S6 ，求得S633，故选：B2等差数列an中，Sn是其前n项和，a1=11，S1010S88=2，则S11（）A11B11C10D10【解答】解：Sn=na1+n(n1)2d，得Snn=a1+(n1)2d，由S1010S88=2，得a1+1012d(a1+812)d=2，d2，S1111=a1+(111)2d=11+5×2=1，S1111，故选：A3若两个等差数列an和bn的前n项和分别是Sn和Tn，已知SnTn=n2n+1，则a7b7等于（）A1321B214C1327D827【解答】解：SnTn=n2n+1，a7b7=2a72b7=132(a1+a13)132(b1+b13)=S13T13=132×13+1=1327，故选：C题型五. 等差数列的最值问题1已知等差数列an中，Sn是它的前n项和，若S160，S170，则当Sn最大时，n的值为（）A8B9C10D16【解答】解：等差数列an中，S160且S170a8+a90，a90，a80，数列的前8项和最大故选：A2在等差数列an中，已知a120，前n项和为Sn，且S10S15，求当n为何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值【解答】解：等差数列an中S10S15，S15S10a11+a12+a13+a14+a155a130，a130，数列的前12项为正数，第13项为0，从第14项开始为负值，当n12或13时，Sn取得最大值，又公差d=a13a1131=53，S1212×20+12×112（53）130Sn的最大值为1303（2014·江西）在等差数列an中，a17，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n8时Sn取得最大值，则d的取值范围为（1，78）【解答】解：Sn7n+n(n1)2d，当且仅当n8时Sn取得最大值，S7S8S9S8，即49+21d56+28d63+36d56+28d，解得：d1d78，综上：d的取值范围为（1，78）题型六. 证明等差数列1已知数列an满足a1=35，an=21an1(n2，nN)，数列bn满足bn=1an1(nN)（1）求证数列bn是等差数列；（2）求数列an中的最大项和最小项【解答】解：（1）由a1=35，an=21an1(n2，nN)，得an+121an（nN）bn+1bn=1an+111an1=121an11an1=1 （4分）又b1=52，所以bn是以52为首项，1为公差的等差数列 （6分）（2）因为bnb1+（n1）n72，所以an=1bn+1=22n7+1 （9分）1n3时数列an单调递减且an1，n4时数列an单调递减且an1所以数列an的最大项为a43，最小项为a31（14分）2已知数列an中，a21，前n项和为Sn，且Sn=n(ana1)2（1）求a1；（2）证明数列an为等差数列，并写出其通项公式；【解答】解：（1）令n1，则a1S1=1(a1a1)2=0（2）由Sn=n(ana1)2，即Sn=nan2，得 Sn+1=(n+1)an+12，得 （n1）an+1nan于是，nan+2（n+1）an+1+，得nan+2+nan2nan+1，即an+2+an2an+1又a10，a21，a2a11，所以，数列an是以0为首项，1为公差的等差数列所以，ann1课后作业. 等差数列1设等差数列an的前n项和为Sn，若S972，则a1+a5+a9（）A36B24C16D8【解答】解：由等差数列的求和公式可得，S9=92（a1+a9）72，a1+a916，由等差数列的性质可知，a1+a92a5，a58，a1+a5+a924故选：B2设等差数列an的前n项和为Sn，S84a3，a72，则a10（）A8B6C4D2【解答】解：等差数列an中，前n项和为Sn，且S84a3，a72，则8a1+28d=4a1+8da1+6d=2，解得a110，d2，a10a1+9d8故选：A3已知等差数列an的前n项和为Sn，且a10，2a5+a110，则下列说法错误的为（）Aa80B当且仅当n7时，Sn取得最大值CS4S9D满足Sn0的n的最大值为12【解答】解：2a5+a110，2a1+8d+a1+10d0，a16d，a10，d0，an为递减数列，ana1+（n1）d6d+（n1）d（n7）d，由an0，（n7）d0，解得n7，数列前6项大于0，第7项等于0，从第8项都小于0，a80，当n6或7时，Sn取得最大值，故A正确，B错误；S44a1+6d24d+6d18d，S99a1+36d28d+36d18d，S4S9，故C正确；Snna1+n(n1)d2=d2（n213n）0，解得0n13，满足Sn0的n的最大值为12，故D正确故选：B4若等差数列an满足a7+a8+a90，a7+a100，则当n8时，an的前n项和最大；当Sn0时n的最大值为15【解答】解：a7+a8+a93a80，a7+a10a8+a90，a80，a90，n8时，an的前n项和最大；S15=15(a1+a15)2=15a80，S16=16(a1+a16)2=8（a8+a9）0，当Sn0时n的最大值为15故答案为：8；155在数列an中，a28，a52，且2an+1an+2an（nN*），则|a1|+|a2|+|a10|的值是（）A210B10C50D90【解答】解：2an+1an+2an（nN*），即2an+1an+2+an（nN*），数列an是等差数列，设公差为d，则a1+d8，a1+4d2，联立解得a110，d2，an102（n1）122n令an0，解得n6Sn=n(10+122n)2=11nn2|a1|+|a2|+|a10|a1+a2+a6a7a102S6S102（11×662）（11×10102）50故选：C6已知在正整数数列an中，前n项和Sn满足：Sn=18（an+2）2（1）求数列an的通项公式；（2）若bn=12an30，求数列bn的前n项和的最小值【解答】解：（1）Sn=18（an+2）2，当n1时，a1=18(a1+2)2，化为(a12)2=0，解得a12当n2时，anSnSn1=18（an+2）218(an1+2)2，化为（anan14）（an+an1）0，nN*，an0，anan14数列an是等差数列，首项为2，公差为4，an2+4（n1）4n2（2）bn=12an30=12(4n2)30=2n31由bn0，解得n312，因此前15项的和最小又数列bn是等差数列，数列bn的前15项和T15=15(29+2×1531)2=225数列bn的前n项和的最小值为225