2022届高三数学一轮复习（原卷版）第08讲 对数与对数函数 （讲）原卷版.docx

第08讲 对数与对数函数 【学科素养】数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析【课标解读】1. 理解对数的概念，掌握对数的运算，会用换底公式.2理解对数函数的概念，掌握对数函数的图象、性质及应用.3.了解对数函数的变化特征. 【备考策略】1.对数运算的运算；2.对数函数单调性的应用，如比较函数值的大小；3.图象过定点；4.底数分类讨论问题.【核心知识】知识点一 对数的概念如果axN(a>0，且a1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.知识点二 对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：alogaNN；logaabb(a>0，且a1).(2)对数的运算法则如果a>0且a1，M>0，N>0，那么loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM(nR)；logamMnlogaM(m，nR，且m0).(3)换底公式：logbN(a，b均大于零且不等于1).知识点三 对数函数及其性质(1)概念：函数ylogax(a0，且a1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，).(2)对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域：(0，)值域：R当x1时，y0，即过定点(1，0)当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0在(0，)上是增函数在(0，)上是减函数知识点四 反函数指数函数yax(a>0，且a1)与对数函数ylogax(a>0，且a1)互为反函数，它们的图象关于直线yx对称.【特别提醒】1.换底公式的两个重要结论(1)logab；(2)logambnlogab.其中a>0，且a1，b>0，且b1，m，nR.2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.3.对数函数ylogax(a>0，且a1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，函数图象只在第一、四象限.【高频考点】高频考点一对数的化简与求值例1【2020·全国卷】已知55<84，134<85设a=log53，b=log85，c=log138，则Aa<b<cBb<a<cCb<c<aDc<a<b【方法技巧】1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.abNblogaN(a>0，且a1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.【举一反三】(2021·杭州市七校联考)计算：若alog43，则2a2a_【变式探究】(2021·北京二中高三月考)在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度(单位mol/L，记作H)和氢氧根离子的物质的量的浓度(单位mol/L，记作OH)的乘积等于常数1014.已知pH值的定义为pHlgH，健康人体血液的pH值保持在7.357.45之间，那么健康人体血液中的可以为(参考数据： lg 20.30，lg 30.48)()A B C D高频考点二 对数函数图象及其应用例2.(2019·浙江卷)在同一直角坐标系中，函数y，yloga(x)(a0，且a1)的图象可能是()ABC D【方法技巧】(1)识别对数函数图象时，要注意底数a以1为分界：当a1时，是增函数；当0a1时，是减函数注意对数函数图象恒过定点(1,0)，且以y轴为渐近线(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解【变式探究】（2021·湖北武汉模拟）已知函数f (x)关于x的方程f (x)xa0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是_高频考点三 比较对数值的大小例3【2020·全国卷】若2x2y<3x3y，则Aln(yx+1)>0Bln(yx+1)<0Cln|xy|>0Dln|xy|<0【举一反三】【2019·天津卷】已知alog52，blog0.50.2，c0.50.2，则a，b，c的大小关系为()ABCD【方法技巧】（1）若对数值同底数，利用对数函数的单调性比较（2）若对数值同真数，利用图象法或转化为同底数进行比较（3）若底数、真数均不同，引入中间量进行比较【变式探究】【2019·全国卷】已知，则（ ）ABCD高频考点四 解简单的对数不等式例4.（2021·山东菏泽模拟）设函数f(x)若f(a)>f(a)，则实数a的取值范围是()A(1，0)(0，1) B(，1)(1，)C(1，0)(1，) D(，1)(0，1)【方法技巧】解决此类问题时应注意两点：(1)真数大于0；(2)底数a的值【变式探究】（2021·广东湛江一中模拟） 若loga(a21)loga2a0，则a的取值范围是_高频考点五 对数函数的综合应用例5.（2021·河北衡水中学模拟）若函数f (x)log2(x2ax3a)在区间(，2上单调递减，则实数a的取值范围是()A(，4) B(4,4C(，4)2，)D4,4)【方法技巧】解决此类问题有以下三个步骤：(1)求出函数的定义域；(2)判断对数函数的底数与1的大小关系，当底数是含字母的代数式(包含单独一个字母)时，若涉及其单调性，就必须对底数进行分类讨论；(3)判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性【变式探究】（2021·湖南长郡中学模拟）已知函数f(x)loga(3ax).(1)当x0，2时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间1，2上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由。