人教A版2020届高考数学一轮复习讲义：三角恒等变换.docx

三角恒等变换知识讲解一、三角恒等变换1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式1）;2）;3）();变形式2.二倍角公式1）;变形式2）;变形式；3）3.辅助角公式，其中所在的象限由、的符号确定，角的值由确定4.化简中常用1的技巧“1”的代换；，经典例题一选择题（共13小题）1函数f（x）=asinx+bcosx=Asin（x+）(a，bR，A0，0，|2)的一个对称中心为(-6，0)，且f'（x）的一条对称轴为x=3，当取得最小值时，aba2+b2=（）A1B3C34D32【解答】解：由f（x）=asinx+bcosx=a2+b2sin(x+)=Asin（x+），可得A=a2+b2，tan=ba，f（x）的一个对称中心为(-6，0)，-6+=k1，k1Z，f（x）=Acos（x+），f（x）的一条对称轴为x=3，3+=k2，k2Z，|2，0，由得，=k1+6，由得，=k2-3，则k1+6=k2-3，可得=2（k2k1），则的最小值为2=3此时aba2+b2=aa2+b2ba2+b2=sincos=sin3cos3=32×12=34故选：C2已知：sin+cos=32，则cos2+cos2的取值范围是（）A2，2B32，2C2，32D32，32【解答】解：sin+cos=32，可得：cos=32sin，132sin1可得：12sin1那么：cos2+cos2=12sin2+2cos21=2（cos2sin2）=2（cos+sin）（cossin）=2×32×（322sin）=926sin，sin12，1，则：6sin6，3，cos2+cos2=926sin32，32故选：D3已知关于x的方程sin(2+x)+cos(2-x)=a在区间0，2）上有两个实数根x1，x2，且|x1x2|，则实数a的取值范围是（）A1，0）B22，1)C0，1）D(1，2)【解答】解：由sin(2+x)+cos(2-x)=a，方程化简sin（2+x）+cos（2x）=sinx+cosx=2sin（x+4）=a，转化为函数y=2sin（x+4）与函数y=a有两个交点，区间0，2） 上有两个实根 x1，x2，由x0，2）则x+44，94），设 x1x2，由x1x2，可得54x24，当34x24时，结合正弦函数可知，不存在a的值；当34x254时，对应的2x194，结合正弦函数可知，函数y=2sin（x+4）与函数y=a有两个交点，此时可得：a0，1）故选：C4已知函数f（x）=2cosx（msinxcosx）（m0）的最大值为2，则f（x）一条对称轴方程为（）Ax=12Bx=4Cx=3Dx=6【解答】解：函数f（x）=2cosx（msinxcosx），=m2+1sin(2x+)，由于函数的最大值为2，则m2+1=2，且m0解得m=3所以f（x）=3sin2xcos2x，=-2sin(2x+6)，当x=6时，函数取最小值故选：D5已知函数f（x）=|cosx|（x0）的图象与过原点的直线恰有四个交点，设四个交点中横坐标最大值为，则(1+2)sin2=（）A2B1C0D2【解答】解：函数f（x）=|cosx|（x0）的图象与过原点的直线恰有四个交点，直线与函数y=|cosx|（x0）在区间（32，2）内的图象相切，在区间（32，2）上，y的解析式为y=cosx，故由题意切点坐标为（，cos），切线斜率k=y=sinx|x=sin，由点斜式得切线方程为：ycos=sin（x），即 y=sinx+sin+cos，直线过原点，sin+cos=0，得=1tan，则(1+2)sin2=(1+tan2)2-1tansin2=（tan+1tan）2sincos=（sincos+cossin）2sincos=2（sin2+cos2）=2，故选：A6函数f(x)=2sin2(x+4)+2sin(4-x)cos(4-x)在区间2，34上的最小值是（）A1-2B0C1D2【解答】解：数f(x)=2sin2(x+4)+2sin(4-x)cos(4-x)=1cos（2x+2）+sin（2-2x）=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+4）+1x2，34上，2x+454，74，当2x+4=32取得最小值为：12故选：A7若x(0，2），y（0，2）且sin2x=6tan（xy）cos2x，则x+y的取值不可能是（）A6B4C23D34【解答】解：由sin2x=6tan（xy）cos2x，得tan2x=6tan（xy），x(0，2），y（0，2），0x+y设tan（xy）=u，xy（2，2），则u的值域是R，tan2x=6tan（xy）=6u，tan（x+y）=tan2x（xy）=tan2x-tan(x-y)1+tan2xtan(x-y)=6u-u1+6u2=5u1+6u2，记为w=tan（x+y）=5u1+6u2|w|=5|u|1+6|u|2=51|u|+6|u|526=5612，当且仅当|u|=66时，取等号|tan（x+y）|56123，结合x+y（0，），可得x+y的取值不可能为23故选：C8若坐标原点（0，0）到直线xy+sin2=0的距离等于22，则角的取值集合是（）A|=k±4，kZB|=k±2，kZC|=2k±4，kZD|=2k±2，kZ【解答】解：根据题意，若坐标原点（0，0）到直线xy+sin2=0的距离等于22，则有|sin2|1+1=22，化简可得sin2=±1，则2=2k±2，kZ，即=k±4，kZ，故角的取值集合是x|=k±4，kZ；故选：A94sin80°cos10°sin10°等于（）A3B3C2D223【解答】解：4sin80°cos10°sin10°=4cos10°sin10°-cos10°sin10°=2sin20°-cos10°sin10°=2sin20°-cos(30°-20°)sin10°=32sin20°-32cos20°sin10°=3sin(20°-30°)sin10°=3，故选：B10关于函数f(x)=sin(4x+73)sin(2x+23)，下列判断正确的是（）Af（x）有最大值和最小值Bf（x）的图象的对称中心为(k2-12，0)（kZ）Cf（x）在(-3，8)上存在单调递减区间Df（x）的图象可由y=2sin2x的图象向左平移12个单位而得【解答】解：函数f(x)=sin(4x+73)sin(2x+23)=sin(4x+3)sin(2x+23)=2sin(2x+6)cos(2x+6)sin(2x+23)=2sin（2x+6）且sin（2x+23）0，对于A：f（x）=2sin（2x+6）存在最大值和不存在最小值A不对；对于B：令2x+6=k，可得x=12k-12，f（x）的图象的对称中心为(k2-12，0)（kZ），B对对于C：令22x+632，可得6x23，f（x）在(-3，8)上不存在单调递减区间对于D：y=2sin2x的图象向左平移12个单位，可得2sin2（x+12）=2sin（2x+6），但sin（2x+23）0，故选：B11若ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若sin(C-A)=12sinB，且b=4，则c2a2=（）A10B8C7D4【解答】解：sin(C-A)=12sinB=12sin（A+C），即2sinCcosA2cosCsinA=sinAcosC+cosAsinC，即sinCcosA=3sinAcosC，由正弦定理和余弦定理得：cb2+c2-a22bc=3aa2+b2-c22ab，得b2+c2a2=3a2+3b23c2，即4c242=2b2=2×16=32，则c2a2=8，故选：B12若cos+sin=tan(02)，则（）A(0，6)B(6，4)C(4，3)D(3，2)【解答】解：cos+sin=2sin(+4)，当02时，4+434，则2sin(+4)（1，2（1，3），tan（1，3）得（4，3）故选：C13已知函数f（x）=sinx+acosx（0）的最小正周期为，且函数f（x）图象的一条对称轴是x=12，则f（x）的最大值为（）A1B2C2D5【解答】解：函数f（x）=sinx+acosx=1+a2sin(x+)，其中tan=a最小正周期为，即2=2那么f（x）=1+a2sin（2x+）一条对称轴是x=122×12+=2+k，kZ可得：=k+3则tan（k+3）=a即tan（3）=aa=3f（x）的最大值为1+3=2故选：B二填空题（共8小题）14若2cos2cos(4+)=3sin2，则sin2=23【解答】解：2cos2cos(4+)=3sin2，2(cos2-sin2)22(cos-sin)=2（cos+sin）=3sin2，平方可得：4（1+sin2）=3sin22，整理可得：3sin224sin24=0，解得：sin2=23，或2（舍去）故答案为：2315已知cos（x+6）=13，则sin（x3）=-13【解答】解：sin（x3）=cos（2+x-3）=cos（x+6）=13故答案为：1316若sin（4）=7210，（0，）则tan=34或43【解答】解：由sin（4）=7210，得sincos4cossin4=7210，则sin-cos=75，（2，），由sin（4）=7210，得cos（4）=±1-sin2(-4)=±210若cos（4）=210，则cos=cos（-4）+4=cos（-4）cos4sin（-4）sin4=210×22-7210×22=-35，则sin=45，tan=43；若cos（4）=210，则cos=cos（-4）+4=cos（-4）cos4sin（-4）sin4=-210×22-7210×22=-45，则sin=35，tan=34故答案为：-34或4317设f（x）=sin4xsinxcosx+cos4x，则f（x）的值域是0，98【解答】解：f（x）=sin4xsinxcosx+cos4x=112sin2x12sin22x 令t=sin2x，则f（x）=g（t）=112t12t2 =9812（t+12）2 ，且1t1故当t=12时，f（x）取得最大值为 98，当t=1时，f（x）取得最小值为 0，故，f（x）0，98，即 f（x）的值域是0，98，故答案为0，9818已知函数f(x)=cos2x-sin2(x+6)，则f(6)=0，该函数的最小正周期为【解答】解：f(x)=cos2x-sin2(x+6)=1+cos2x2-1-cos(2x+3)2=cos2x2+cos(2x+3)2=cos2x2+cos2xcos3-sin2xsin32=cos2x2+cos2x4-34sin2x=32cos(2x+6)，f(6)=32cos2=0，该函数的最小正周期为故答案为：0；19已知cos-sin=13，则sin2cos2的取值范围是-59，59【解答】解：sin2cos2=1cos2（1sin2）=sin2cos2=（sin+cos）（sincos）=-13(sin+cos)，由cos-sin=13，得cos=13+sin，由于cos1，1，且sin1，1，sin1，23，sin+cos=sin+sin+13=2sin+1353，53，则sin2cos2的取值范围是59，59故答案为：59，5920已知f（x）=sinxcosx(23)，若函数f（x）图象的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标都不属于区间（2，3），则的取值范围是78，1112（结果用区间表示）【解答】解：f（x）=sinxcosx=2sin（x4）（23，xR），若f（x）的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标都不属于区间（2，3），则T2=32=，1，即231，令x4=k+2，kZ，可得数f（x）图象的对称轴为：x=k+34，kZ，k+342，且k+343，kZ，解得：12k+38，kZ，且13k+14，kZ，&231&k2+38，kZ，且&231&k3+14，kZ，解得：78，1，且23，1112， 综上，可得的取值范围是：78，1112故答案为：78，111221在ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若sinBsinA-3sinAcosB=0，且cos2B+2sinAsinC=1，则a2b+c=0【解答】解：在ABC中，若sinBsinA-3sinAcosB=0，则sinB=3cosB，故tanB=3，B=3cos2B+2sinAsinC=1，即12sin2B+2sinAsinC=1，sinAsinC=sin2B=34再根据cos（A+C）=cos23=12=cosAcosCsinAsinC=cosAcosC34，cosAcosC=14，由可得sinA=sinC=32，cosA=cosC=12，A=B=3，故a=b=c，则a2b+c=0，故答案为：0三解答题（共6小题）22已知函数f（x）=sin2x+3sinxcosx（）求f（x）的最小正周期；（）若f（x）在区间3，m上的最大值为32，求m的最小值【解答】解：（I）函数f（x）=sin2x+3sinxcosx=1-cos2x2+32sin2x=sin（2x6）+12，f（x）的最小正周期为T=22=；（）若f（x）在区间3，m上的最大值为32，可得2x656，2m6，即有2m62，解得m3，则m的最小值为323设常数aR，函数f（x）=asin2x+2cos2x（1）若f（x）为偶函数，求a的值；（2）若f（4）=3+1，求方程f（x）=12在区间，上的解【解答】解：（1）f（x）=asin2x+2cos2x，f（x）=asin2x+2cos2x，f（x）为偶函数，f（x）=f（x），asin2x+2cos2x=asin2x+2cos2x，2asin2x=0，a=0；（2）f（4）=3+1，asin2+2cos2（4）=a+1=3+1，a=3，f（x）=3sin2x+2cos2x=3sin2x+cos2x+1=2sin（2x+6）+1，f（x）=12，2sin（2x+6）+1=12，sin（2x+6）=22，2x+6=4+2k，或2x+6=54+2k，kZ，x=524+k，或x=1324+k，kZ，x，x=1324或x=1924或x=524或x=112424已知，为锐角，tan=43，cos（+）=55（1）求cos2的值；（2）求tan（）的值【解答】解：（1）由&sincos=43&sin2+cos2=1&为锐角，解得&sin=45&cos=35，cos2=cos2-sin2=-725；（2）由（1）得，sin2=2sincos=2425，则tan2=sin2cos2=-247，（0，2），+（0，），sin（+）=1-cos2(+)=255则tan（+）=sin(+)cos(+)=-2tan（）=tan2（+）=tan2-tan(+)1+tan2tan(+)=-21125已知向量a=（3sinx，3cosx），b=（3cosx，cosx），设函数f（x）=ab+52（）求函数f（x）的最小正周期和最值；（）求函数f（x）的单调递减区间【解答】解：（）a=（3sinx，3cosx），b=（3cosx，cosx），f（x）=ab+52=33sinxcosx+3cos2x+52=332sin2x+32(1+cos2x)+52=332sin2x+32cos2x+4=3sin(2x+6)+4f（x）的最小正周期为，最大值为7，最小值为1；（）由（）知，2k+22x+62k+32，kZk+6xk+23，kZ函数f（x）的单调递减区间为k+6，k+23（kZ）26已知函数f（x）=sin（x+）+3cos（x+）（0|）在0，3上单调递增，且满足f（x）=f（23x）（）求的值；（）若f（x0）=1，求sin（2x06）的值【解答】解：（）由函数满足满足f（x）=f（23x）得知函数f（x）关于x=3对称，又函数f（x）在0，3上单调递增，所以f（x）在x=3取得最大值又f(x)=sin(x+)+3cos(x+)，=2sin(x+3)，所以f(3)=2sin(+23)=2，故+23=2k+2（kZ），由于0|，所以：=-6（）由f（x0）=1，知sin(x0+6)=12，所以：sin(2x0-6)，=sin2（x0+6）2，=cos2（x0+6），=2sin2(x0+6)-1，=1227已知函数f(x)=sin2xcos53-cos2xsin53（1）求f（x）的最小正周期和对称轴的方程；（2）求f（x）在区间0，2上的最小值【解答】解：（1）函数f(x)=sin2xcos53-cos2xsin53=sin2xcos（23）cos2xsin（23）=sin2xcos3+cos2xsin3=sin（2x+3），故它的最小正周期为22=令2x+3=k+2，求得x=k2+12，kZ（2）在区间0，2上，2x+33，43，故当2x+3=43时，函数f（x）取得最小值为sin43=32