2022届高三数学一轮复习（原卷版）第3讲　高效演练分层突破.doc

基础题组练 1(2020 安徽省六校联考)若正实数 x，y 满足 xy2，则1xy的最小值为( ) A1 B2 C3 D4 解析：选 A因为正实数 x，y 满足 xy2， 所以 xy（xy）242241，所以1xy1. 2若 2x2y1，则 xy 的取值范围是( ) A0，2 B2，0 C2，) D(，2 解析：选 D因为 12x2y2 2x2y2 2xy，(当且仅当 2x2y12，即 xy1时等号成立)所以 2xy12，所以 2xy14，得 xy2. 3若实数 a，b 满足1a2b ab，则 ab 的最小值为( ) A 2 B2 C2 2 D4 解析：选 C因为1a2b ab，所以 a0，b0， 由 ab1a2b21a2b22ab， 所以 ab2 2(当且仅当 b2a 时取等号)， 所以 ab 的最小值为 2 2. 4(多选)若 a，bR，且 ab0，则下列不等式中，恒成立的是( ) Aab2 ab B1a1b1ab Cbaab2 Da2b22ab 解析：选 CD因为 ab0，所以ba0，ab0，所以baab2baab2，当且仅当 ab 时取等号所以选项 C 正确，又 a，bR，所以(ab)20，即 a2b22ab 一定成立 5已知 x0，y0，lg 2xlg 8ylg 2，则1x13y的最小值是( ) A2 B2 2 C4 D2 3 解析：选 C因为 lg 2xlg 8ylg 2，所以 lg(2x8y)lg 2，所以 2x3y2，所以 x3y1. 因为 x0，y0，所以1x13y(x3y)1x13y23yxx3y223yxx3y4，当且仅当x3y12时取等号，所以1x13y的最小值为 4.故选 C 6设 P(x，y)是函数 y2x(x0)图象上的点，则 xy 的最小值为_ 解析：因为 x0，所以 y0，且 xy2.由基本不等式得 xy2 xy2 2，当且仅当 xy 时等号成立所以 xy 的最小值为 2 2. 答案：2 2 7函数 yx2x1(x1)的最小值为_ 解析：因为 yx211x1x11x1x11x12(x1)， 所以 y2 120， 当且仅当 x0 时，等号成立 答案：0 8 (2020 湖南岳阳期末改编)若 a0， b0， 且 a2b40， 则 ab 的最大值为_，1a2b的最小值为_ 解析：因为 a0，b0，且 a2b40，所以 a2b4，所以 ab12a 2b12a2b222，当且仅当 a2b，即 a2，b1 时等号成立，所以 ab 的最大值为 2，因为1a2b1a2ba2b414(52ba2ab)14522ba2ab94，当且仅当 ab 时等号成立，所以1a2b的最小值为94. 答案：2 94 9(1)当 x32时，求函数 yx82x3的最大值； (2)设 0 x2，求函数 y x（42x）的最大值 解：(1)y12(2x3)82x332 32x2832x32. 当 x0， 所以32x2832x232x2832x4， 当且仅当32x2832x， 即 x12时取等号 于是 y43252， 故函数的最大值为52. (2)因为 0 x0， 所以 y x（42x） 2 x（2x） 2x2x2 2，当且仅当 x2x， 即 x1 时取等号， 所以当 x1 时，函数 y x（42x）的最大值为 2. 10已知 x0，y0，且 2x8yxy0，求 (1)xy 的最小值； (2)xy 的最小值 解：(1)由 2x8yxy0， 得8x2y1， 又 x0，y0， 则 18x2y2 8x2y8xy. 得 xy64， 当且仅当 x16，y4 时，等号成立 所以 xy 的最小值为 64. (2)由 2x8yxy0，得8x2y1， 则 xy8x2y (xy) 102xy8yx102 2xy8yx18. 当且仅当 x12，y6 时等号成立， 所以 xy 的最小值为 18. 综合题组练 1 设 a0， 若关于 x 的不等式 xax15 在(1， )上恒成立， 则 a 的最小值为( ) A16 B9 C4 D2 解析：选 C在(1，)上，xax1(x1)ax112 （x1）a（x1）12 a1(当且仅当 x1 a时取等号) 由题意知 2 a15，所以 a4. 2(2020 福建龙岩一模)已知 x0，y0，且1x11y12，则 xy 的最小值为( ) A3 B5 C7 D9 解析：选 C因为 x0，y0.且1x11y12，所以 x1y21x11y(x1y)2(11yx1x1y)2(22yx1x1y)8，当且仅当yx1x1y，即 x3，y4 时取等号，所以 xy7，故 xy 的最小值为 7，故选 C 3已知正实数 x，y 满足 xy1，则 x2y2的最小值为_；若1x4ya 恒成立，则实数 a 的取值范围是_ 解析：因为 xy1，所以 xyxy2214，所以 x2y2(xy)22xy114212，所以 x2y2的最小值为12. 若 a1x4y恒成立， 则 a 小于等于1x4y的最小值，因为1x4y1x4y(xy)5yx4xy52yx4xy9，所以1x4y的最小值为 9，所以 a9，故实数 a 的取值范围是(，9 答案：12 (，9 4(2020 洛阳市统考)已知 x0，y0，且1x2y1，则 xyxy 的最小值为_ 解析： 因为1x2y1， 所以 2xyxy， 所以 xyxy3x2y， 因为 3x2y(3x2y) (1x2y)76xy2yx，且 x0，y0，所以 3x2y74 3，所以 xyxy 的最小值为 74 3. 答案：74 3 5已知 x，y(0，)，x2y2xy. (1)求1x1y的最小值； (2)是否存在 x，y 满足(x1)(y1)5？并说明理由 解： (1)因为1x1yxyxyx2y2xy2xyxy2， 当且仅当 xy1 时， 等号成立， 所以1x1y的最小值为 2. (2)不存在理由如下： 因为 x2y22xy， 所以(xy)22(x2y2)2(xy) 又 x，y(0，)，所以 xy2. 从而有(x1)(y1)（x1）（y1）224， 因此不存在 x，y 满足(x1)(y1)5. 6某厂家拟定在 2020 年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用 m(m0)万元满足 x3km1(k 为常数)如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是 1 万件已知 2020 年生产该产品的固定投入为 8 万元，每生产 1 万件该产品需要再投入 16 万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的 1.5 倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金) (1)将 2020 年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用 m 万元的函数； (2)该厂家 2020 年的促销费用投入为多少万元时，厂家获取利润最大？ 解：(1)由题意知，当 m0 时，x1(万件)， 所以 13kk2，所以 x32m1(m0)， 每件产品的销售价格为 1.5816xx(元)， 所以 2020 年的利润 y1.5x816xx816xm 16m1（m1）29(m0) (2)因为 m0 时，16m1(m1)2 168， 所以 y82921，当且仅当16m1m1m3(万元)时，ymax21(万元) 故该厂家 2020 年的促销费用投入为 3 万元时，厂家的利润最大，最大为 21 万元