专题04 不等式 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习（解析版）.docx

专题四 不等式讲义知识梳理.不等式1不等式的性质(1)对称性：a>bb<a；(2)传递性：a>b，b>cac；(3)可加性：a>bacbc；a>b，c>dac>bd；(4)可乘性：a>b，c>0ac>bc; a>b>0，c>d>0ac>bd；(5)可乘方性：a>b>0anbn(nN，n1)；(6)可开方性：a>b>0 (nN，n2)2一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表判别式b24ac>00<0二次函数yax2bxc(a>0)的图象一元二次方程ax2bxc0(a>0)的根有两相异实根x1，x2(x1<x2)有两相等实根x1x2没有实数根ax2bxc>0 (a>0)的解集x|x<x1或x>x2x|xx1x|xR ax2bxc<0(a>0)的解集x|x1<x<x23.均值定理如果，那么，当且仅当时，等号成立【均值不等式的常见变形】（1） （2） （3） （4） 题型一. 不等式的性质1下列命题中，正确的是（）A若acbc，则abB若ab，cd，则acbdC若ab0，则a2b2D若ab，cd，则acbd【解答】解：对于A，由acbc，c0时，ab；c0时，ab，所以A错误；对于B，当ab0，cd0时，有acbd，所以B错误；对于C，当ab0时，有a2b2，所以C正确；对于D，由ab，cd，得出dc，所以adbc，D错误故选：C2设a，bR，则“ab”是“（ab）a20”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解答】解：若a0，b1，满足ab，但（ab）a20不成立，若“（ab）a20，则ab且a0，则ab成立，故“ab”是“（ab）a20”的必要不充分条件，故选：B3若1a1b0，有下面四个不等式：|a|b|；ab；a+bab，a3b3，不正确的不等式的个数是（）A0B1C2D3【解答】解：由 1a1b0，可得 0ab，|a|b|，故不成立；a+b0ab，a3b3都成立，故一定正确，故选：C47+3与6+10的大小关系是（）A7+36+10B7+36+10C7+3=6+10D不确定【解答】解：(7+3)2=16+67=16+252，(6+10)2=16+260=16+240，(7+3)2(6+10)2，7+36+10故选：B5已知ab1，0c1，下列不等式成立的是（）AcacbBacbcClogcalogbcDbacabc【解答】解：对于A，因为0c1，所以指数函数f（x）cx是减函数，又ab，所以f（a）f（b），即cacb，故A错误；对于B，因为ab，c0，所以acbc，故B错误；对于C，取a4，b2，c=12，则logca=log124=2，logbc=log212=1，logcalogbc，故C错误；对于D，由ab1，可得0ba1，又0c1，所以(ba)1(ba)c，即bacabc，故D正确故选：D6若实数x，y满足xy0，则（）A1y1xBln（xy）lnyCx+y2(x2+y2)Dxyexey【解答】解：因为xy0，所以1y1x，A正确；由于xy与y的大小不确定，B不正确；因为2（x2+y2）（x+y）2x2+y22xy（xy）20，所以2（x2+y2）（x+y）2，C正确；令f（x）exx，则f（x）ex10，故f（x）在（0，+）上单调递增，由xy0，得f（x）f（y），所以exxeyy，所以xyexey，D正确故选：ACD题型二. 一元二次不等式1集合A=x|(x1)(2x3)1，B=x|1x32，则AB为（）Ax|12x32Bx|1x32Cx|12x32Dx|12x32【解答】解：由A中的不等式变形得：2x25x+20，即（2x1）（x2）0，解得：12x2，即A12x2；Bx|1x32，ABx|12x32故选：D2关于x的不等式x2（a+1）x+a0的解集中恰有一个整数则实数a的取值范围是（）Aa|1a0或2a3Ba|2a1或3a4Ca|1a0或2a3Da|2a1或3a4【解答】解：不等式x2（a+1）x+a0可化为（x1）（xa）0；当a1时，不等式的解集为空集，不符合题意；当a1时，不等式的解集为x|1xa，由解集中恰有一个整数，则实数a满足2a3；当a1时，不等式的解集为x|ax1，由解集中恰有一个整数，则实数a满足1a0；综上知，实数a的取值范围是a|1a0或2a3故选：C3如果不等式ax2+bx+c0的解集为x|2x4，那么对于函数f（x）ax2+bx+c应有（）Af（5）f（2）f（1）Bf（1）f（5）f（2）Cf（2）f（1）f（5）Df（5）f（1）f（2）【解答】解：不等式ax2+bx+c0的解集为x|2x4，a0，2，4是ax2+bx+c0的两个实数根，2+4=ba，2×4=ca那么对于函数f（x）ax2+bx+ca（x22x8）a（x1）29a，（a0）此抛物线开口向下，其图象关系直线x1对称，f（1）f（3），f（2）f（3）f（5），f（2）f（1）f（5），故选：D4关于x的不等式x2+ax20在区间1，4上有解，则实数a的取值范围为（）A（，1）B（，1C（1，+）D1，+）【解答】解：关于x的不等式x2+ax20在区间1，4上有解，等价于a(2xx)max，x1，4；设f（x）=2xx，x1，4，则函数f（x）在x1，4单调递减，且当x1时，函数f（x）取得最大值f（1）1；所以实数a的取值范围是（，1）故选：A5如果关于x的不等式（a2）x2+2（a2）x40对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是（）A（，2B（，2）C（2，2D（2，2）【解答】解：关于x的不等式（a2）x2+2（a2）x40对一切实数x恒成立，当a2时，对于一切实数x，不等式（a2）x2+2（a2）x40恒成立；当a2时，要使对于一切实数x，不等式（a2）x2+2（a2）x40恒成立，则a202(a2)24(a2)(4)0，解得：2a2综上，实数a的取值范围是（2，2故选：C6已知不等式（x2ax+1）（lnxa）0在x1，2上恒成立，则实数a的取值范围为ln2，2【解答】解：若（x2ax+1）（lnxa）0，则x2ax+10且lnxa0，由x2ax+10，得：ax+1x，由yx+1x在1，2递增，得：a2，由alnx得：aln2，故ln2a2；x2ax+10且lnxa0，由x2ax+10，得：ax+1x，由yx+1x在1，2递增，得：a52，由alnx得：aln10，无解故a的取值范围是ln2，2，故答案为：ln2，2题型三. 基本不等式考点1.和定积最大、积定和最小1已知a0，b0，且满足a3+b4=1，则ab的最大值是（）A2B3C4D6【解答】解：a0，b0，且满足a3+b4=1，12a3b4，化为：ab3，当且仅当a=32，b2时取等号则ab的最大值是3故选：B2已知x0，则yx+1x+1的最小值是（）A2B3C4D6【解答】解：x0，yx+1x+12x1x+13，当且仅当x1时取等号yx+1x+1的最小值是3故选：B3已知0x2，则yx4x2的最大值为（）A2B4C5D6【解答】解：0x2，可得4x20，则yx4x2x2+4x22=2，当且仅当x24x2，即x=2时，上式取得等号，即有函数y的最大值为2故选：A考点2.凑定值1已知0x12，则函数yx（12x）的最大值是（）A12B14C18D19【解答】解：0x12，x（12x）=122x（12x）122x+(12x)22=18，当且仅当2x12x时，即x=14时等号成立，因此，函数yx（12x）的最大值为f（14）=18，故选：C2已知x54，求函数y4x1+14x5的最大值【解答】解：根据题意，函数y4x5+14x5+4（54x）+154x+4，又由x54，则54x0，则（54x）+154x2(54x)×154x=2，则y（54x）+154x+42+42，故函数y4x1+14x5的最大值为2考点3. 1的代换1已知a0，b0，且a+2bab，则ab的最小值是（）A4B8C16D32【解答】解：已知a0，b0，且a+2bab，ab2a2b化简可得 ab22，ab8，当且仅当a2b时等号成立，故ab的最小值是8，故选：B2若正数a，b满足2a+b1，则a22a+b2b的最小值是22312【解答】解：设u22a，v2b，则a=2u2，b2v，u+v3，（u，v0），即有a22a+b2b=112uu+2vv=1u+2v32=13（u+v）（1u+2v）32=13（3+vu+2uv）3213（3+2vu2uv）32 1+22332=22312当且仅当v=2u632时，取得最小值故答案为：223123已知实数x0，y0，且满足x+y1，则2x+xy的最小值为2+22【解答】解：实数x0，y0，且满足x+y1，则2x+xy=2(x+y)y+xy=2+2yx+xy2+22yxxy=2+22，当且仅当x=2y22时取等号故答案为：2+22考点4. x、y、xy型1如果x0，y0，x+y+xy2，则x+y的最小值为232【解答】解：已知x0，y0，且x+y+xy2即：xy2（x+y），利用基本不等式：xy（x+y2）22（x+y）（x+y2）2解之得：x+y232则x+y的最小值为232故答案为2322已知x0，y0，x+2y+2xy8，则x+2y的最小值为4【解答】解：考察基本不等式x+2y8x（2y）8（x+2y2）2（当且仅当x2y时取等号）整理得（x+2y）2+4（x+2y）320即（x+2y4）（x+2y+8）0，又x+2y0，所以x+2y4（当且仅当x2y时即x2，y1时取等号）则x+2y的最小值是4故答案为：43设x，yR，若4x2+y2+xy1，则2x+y的最大值是2105【解答】解：4x2+y2+xy1，4x2+y2+4xy1+3xy，（2x+y）21+3xy1+322xy1+32(2x+y2)2，整理可得58（2x+y）21，解关于2x+y的一元二次不等式可得21052x+y21052x+y的最大值为：21054若a，b，c0且a2+2ab+2ac+4bc12，则a+b+c的最小值是23【解答】解：（a+b+c）2a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc12+（bc）212，当且仅当bc时取等号，a+b+c23故答案为：23考点5. y=1a+ab型函数的最值1设a+b2，b0，则当a2时，12|a|+|a|b取得最小值【解答】解：法一：a+b2，b0，12|a|+|a|b=12|a|+|a|2a，（a2）设f（a）=12|a|+|a|2a，（a2），画出此函数的图象，如图所示利用导数研究其单调性得，当a0时，f（a）=12a+aa2，f（a）=12a22(a2)2=(3a2)(a+2)2a2(a2)2，当a2时，f（a）0，当2a0时，f（a）0，故函数在（，2）上是减函数，在（2，0）上是增函数，当a2时，12|a|+|a|b取得最小值34同样地，当0a2时，得到当a=23时，12|a|+|a|b取得最小值54综合，则当a2时，12|a|+|a|b取得最小值法二：因为a+b2，b0，要取得最小值，则a0，则12|a|+|a|b=a+b4|a|+|a|b=a4|a|+b4|a|+|a|b，a4|a|+2b4|a|a|b=a4|a|+1=14+1=34，当且仅当b4|a|=|a|b，a0时取等号，此时b2a，因为a+b2，所以a2，b4，故答案为：22若正数a，b满足1a+1b=1，则4a1+16b1的最小值为16【解答】解：正数a，b满足1a+1b=1，则有1a=11b=b1b，则有1b1=ab，1b=11a=a1a，即有1a1=ba，则有4a1+16b1=4ba+16ab24ba16abb=16，当且仅当4ba=16ab即有b2a，又1a+1b=1，即有a=32，b3，取得最小值，且为16故答案为：163设x0，y0，x+yx2y24，则1x+1y的最小值为4【解答】解：x+yx2y24x+yx2y2+4则1x+1y=x+yxy=x2y2+4xy=xy+4xy2xy×4xy=4当且仅当xy2时取等号故1x+1y的最小值为4故答案为：44对于c0，当非零实数a，b满足4a22ab+b2c0且使|2a+b|最大时，1a+2b+4c的最小值为1【解答】解：4a22ab+b2c0，c4=(ab4)2+316b2由柯西不等式得，(ab4)2+(3b4)222+(23)22（ab4）+3b4×232|2a+b|2故当|2a+b|最大时，有ab42=3b423 a=12b，cb21a+2b+4c=2b+2b+4b2=4(1b+12)21当b2时，取得最小值为1故答案为：1题型四.不等式恒成立问题1若关于x的不等式ax22ax+10的解集为，则实数a的取值范围是（）Aa1Ba1C0a1D0a1【解答】解：当a0时，不等式化为10，满足解集为；当a0时，应满足a0=4a24a0，解得a00a1，即0a1；综上知，实数a的取值范围是0a1故选：D2已知关于x的不等式ax22x+4a0在（0，2上有解，则实数a的取值范围是（）A(，12)B(12，+)C（，2）D（2，+）【解答】解：x（0，2时，不等式可化为a2xx2+4=2x+4x，则f(x)=2x+4x在（0，2上单调递增，当x2时，f（x）取得最大值f（2）=12，则af(x)max=224=12，综上所述，实数a的取值范围是(，12)故选：A3设aR，若x0时均有（x2+ax5）（ax1）0成立，则a12【解答】解：若a0，则当x0时，ax10，由二次函数的性质可知，不等式x2+ax50不可能在x0时恒成立，故当x0时不可能都有（x2+ax5）（ax1）0成立，故a0，故当0x1a时，ax10，当x1a时，ax10，当x0时均有（x2+ax5）（ax1）0成立，故当0x1a时，x2+ax50，当x1a时，x2+ax50，故x=1a是方程x2+ax50的实数根，故1a2+150，解得：a=12（舍）或a=12，综上：a=12，故答案为：124若a，bR，且a0，b0，则下列不等式中恒成立的是（）Aa2+b22abBa+b2abC1a+1b2abD2ba+a8b2【解答】解：对于A，根据重要不等式a2+b22ab，当且仅当ab时，等号成立；故A不恒成立；对于B，利用基本不等式，当a0，b0时，a+b2ab成立，故B正确；对于C，利用基本不等式，当a0，b0时，1a+1b21ab=2ab成立，故C正确；对于D，利用基本不等式，当a0，b0时，2ba+a8b22ba×a8b=1成立，故D不恒成立故选：BC5设正实数x，y满足x12，y1，不等式4x2y1+y22x1m恒成立，则m的最大值为8【解答】解：设y1b，得yb+1，令2x1a，得x=12（a+1），则a0，b0；那么：4x2y1+y22x1=(a+1)2b+(b+1)2a2(a+1)(b+1)ab2ab+(a+b)+1ab2（ab+1ab+a+bab）2（2ab1ab+2abab）2（2+2）8；当且仅当ab1，即x2，y1时取等号；4x2y1+y22x1的最小值为8，即m的最大值为8故答案为：86设函数f（x）x2ax+a+3，g（x）ax2a，若x0R，使得f（x0）0和g（x0）0同时成立，则a的取值范围为（）A（7，+）B（6，+）（，2）C（，2）D（7，+）（，2）【解答】解：由f（x）x2ax+a+3知f（0）a+3，f（1）4，又存在x0R，使得f（x0）0，知a24（a+3）0即a2或a6，另g（x）ax2a，中恒过（2，0），当a0时，f（x）x2ax+a+3恒大于0，显然不成立若a0时，g（x）ax2a2，a0f(2)0，则a7，若a0时，g（x）ax2a2，此时函数f（x）x2ax+a+3图象的对称x=a21，故函数在区间（a2，+），为增函数，又f（1）4，f（x0）0不成立故选：A