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    高考数学一轮复习总教案:3.1 导数的应用(一)_20210103224750.doc

    • 资源ID:5098989       资源大小:112.65KB        全文页数:3页
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    高考数学一轮复习总教案:3.1 导数的应用(一)_20210103224750.doc

    淘宝店铺:漫兮教育3.1导数的应用(一)典例精析题型一求函数f(x)的单调区间来源:来源:【例1】已知函数f(x)x2axaln(x1)(aR),求函数f(x)的单调区间.【解析】函数f(x)x2axaln(x1)的定义域是(1,).f(x)2xa,若a0,则1,f(x)0在(1,)上恒成立,所以a0时,f(x)的增区间为(1,).若a0,则1,故当x(1,时,f(x)0;当x,)时,f(x)0,所以a0时,f(x)的减区间为(1,f(x)的增区间为,).【点拨】在定义域x1下,为了判定f(x)符号,必须讨论实数与0及1的大小,分类讨论是解本题的关键.【变式训练1】已知函数f(x)x2ln xax在(0,1)上是增函数,求a的取值范围.来源:数理化网【解析】因为f(x)2xa,f(x)在(0,1)上是增函数,所以2xa0在(0,1)上恒成立,即a2x恒成立.又2x2(当且仅当x时,取等号).所以a2,故a的取值范围为(,2.来源:来源:【点拨】当f(x)在区间(a,b)上是增函数时f(x)0在(a,b)上恒成立;同样,当函数f(x)在区间(a,b)上为减函数时f(x)0在(a,b)上恒成立.然后就要根据不等式恒成立的条件来求参数的取值范围了.题型二求函数的极值【例2】已知f(x)ax3bx2cx(a0)在x±1时取得极值,且f(1)1.(1)试求常数a,b,c的值;(2)试判断x±1是函数的极小值点还是极大值点,并说明理由.【解析】(1)f(x)3ax22bxc.因为x±1是函数f(x)的极值点,所以x±1是方程f(x)0,即3ax22bxc0的两根.由根与系数的关系,得 又f(1)1,所以abc1. 由解得a,b0,c.(2)由(1)得f(x)x3x,所以当f(x)x20时,有x1或x1;当f(x)x20时,有1x1.来源:所以函数f(x)x3x在(,1)和(1,)上是增函数,在(1,1)上是减函数.所以当x1时,函数取得极大值f(1)1;当x1时,函数取得极小值f(1)1.【点拨】求函数的极值应先求导数.对于多项式函数f(x)来讲, f(x)在点xx0处取极值的必要条件是f(x)0.但是, 当x0满足f(x0)0时, f(x)在点xx0处却未必取得极值,只有在x0的两侧f(x)的导数异号时,x0才是f(x)的极值点.并且如果f(x)在x0两侧满足“左正右负”,则x0是f(x)的极大值点,f(x0)是极大值;如果f(x)在x0两侧满足“左负右正”,则x0是f(x)的极小值点,f(x0)是极小值.来源:【变式训练2】定义在R上的函数yf(x),满足f(3x)f(x),(x)f(x)0,若x1x2,且x1x23,则有()A. f(x1)f(x2)B. f(x1)f(x2)C. f(x1)f(x2)D.不确定【解析】由f(3x)f(x)可得f3(x)f(x),即f(x)f(x),所以函数f(x)的图象关于x对称.又因为(x)f(x)0,所以当x时,函数f(x)单调递减,当x时,函数f(x)单调递增.当时,f(x1)f(x2),因为x1x23,所以,相当于x1,x2的中点向右偏离对称轴,所以f(x1)f(x2).故选B.题型三求函数的最值【例3】 求函数f(x)ln(1x)x2在区间0,2上的最大值和最小值.【解析】f(x)x,令x0,化简为x2x20,解得x12或x21,其中x12舍去.来源:又由f(x)x0,且x0,2,得知函数f(x)的单调递增区间是(0,1),同理, 得知函数f(x)的单调递减区间是(1,2),所以f(1)ln 2为函数f(x)的极大值.又因为f(0)0,f(2)ln 310,f(1)f(2),所以,f(0)0为函数f(x)在0,2上的最小值,f(1)ln 2为函数f(x)在0,2上的最大值.【点拨】求函数f(x)在某闭区间a,b上的最值,首先需求函数f(x)在开区间(a,b)内的极值,然后,将f(x)的各个极值与f(x)在闭区间上的端点的函数值f(a)、f(b)比较,才能得出函数f(x)在a,b上的最值.【变式训练3】(2008江苏)f(x)ax33x1对x1,1总有f(x)0成立,则a.【解析】若x0,则无论a为何值,f(x)0恒成立.当x(0,1时,f(x)0可以化为a,设g(x),则g(x),x(0,)时,g(x)0,x(,1时,g(x)0.因此g(x)maxg()4,所以a4.当x1,0)时,f(x)0可以化为a,此时g(x)0,g(x)ming(1)4,所以a4.综上可知,a4.总结提高1.求函数单调区间的步骤是:(1)确定函数f(x)的定义域D;(2)求导数f(x);(3)根据f(x)0,且xD,求得函数f(x)的单调递增区间;根据f(x)0,且xD,求得函数f(x)的单调递减区间.2.求函数极值的步骤是:(1)求导数f(x);(2)求方程f(x)0的根;(3)判断f(x)在方程根左右的值的符号,确定f(x)在这个根处取极大值还是取极小值.3.求函数最值的步骤是:先求f(x)在(a,b)内的极值;再将f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.

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