2018高考数学（文）大一轮复习习题 第八章 解析几何 课时跟踪检测 （五十） 圆锥曲线的综合问题 Word版含答案.doc
课时跟踪检测课时跟踪检测 ( (五十五十) ) 圆锥曲线的综合问题圆锥曲线的综合问题 一保高考一保高考，全练题型做到高考达标全练题型做到高考达标 1 1过抛物线过抛物线y y2 22 2x x的焦点作一条直线与抛物线交于的焦点作一条直线与抛物线交于A A，B B两点两点，它们的横坐标之和等它们的横坐标之和等于于 2 2，则这样的直线则这样的直线( ( ) ) A A有且只有一条有且只有一条 B B有且只有两条有且只有两条 C C有且只有三条有且只有三条 D D有且只有四条有且只有四条 解析：选解析：选 B B 设该抛物线焦点为设该抛物线焦点为F F，A A( (x xA A，y yA A) )，B B( (x xB B，y yB B) )，则则| |ABAB| | |AFAF| | |FBFB| |x xA Ap p2 2x xB Bp p2 2x xA Ax xB B1 13232p p2 2所以符合条件的直线有且只有两条所以符合条件的直线有且只有两条 2 2若直线若直线y ykxkx2 2 与双曲线与双曲线x x2 2y y2 26 6 的右支交于不同的两点的右支交于不同的两点，则则k k的取值范围是的取值范围是( ( ) ) A A 15153 3，15153 3 B B 0 0，15153 3 C C 15153 3，0 0 D D 15153 3，1 1 解析：选解析：选 D D 由由 y ykxkx2 2，x x2 2y y2 26 6得得(1(1k k2 2) )x x2 24 4kxkx10100 0设直线与双曲线右支交于不设直线与双曲线右支交于不同的两点同的两点A A( (x x1 1，y y1 1) )，B B( (x x2 2，y y2 2) )， 则则 1 1k k2 200，1616k k2 2k k2 20 0，x x1 1x x2 24 4k k1 1k k2 20 0，x x1 1x x2 210101 1k k2 20 0， 解得解得15153 3k k1 1即即k k的取值范的取值范围是围是 15153 3，1 1 3 3经过椭圆经过椭圆x x2 22 2y y2 21 1 的一个焦点作倾斜角为的一个焦点作倾斜角为 4545的直线的直线l l，交椭圆于交椭圆于A A，B B两点设两点设O O为坐标原点为坐标原点，则则OAOA OBOB 等于等于( ( ) ) A A3 3 B B1 13 3 C C1 13 3或或3 3 D D1 13 3 解析： 选解析： 选 B B 依题意依题意， 当直线当直线l l经过椭圆的右焦点经过椭圆的右焦点(1,(1,0)0)时时， 其方其方程为程为y y0 0tan 45(tan 45(x x1)1)，即即y yx x1 1，代入椭圆方程代入椭圆方程x x2 22 2y y2 21 1 并整理得并整理得 3 3x x2 24 4x x0 0，解得解得x x0 0 或或x x4 43 3，所以所以两个交点坐标分别为两个交点坐标分别为(0(0，1)1)， 4 43 3，1 13 3，OAOA OBOB 1 13 3，同理同理，直线直线 l l经过椭圆的左经过椭圆的左焦点时焦点时，也可得也可得OAOA OBOB 1 13 3 4 4 已知抛物线已知抛物线y y2 22 2pxpx的焦点的焦点F F与椭圆与椭圆 1616x x2 22525y y2 2400400 的左焦点重合的左焦点重合， 抛物线的准线抛物线的准线与与x x轴的交点为轴的交点为K K，点点A A在抛物线上且在抛物线上且| |AKAK| | 2 2| |AFAF| |，则点则点A A的横坐标为的横坐标为( ( ) ) A A2 2 B B2 2 C C3 3 D D3 3 解析：选解析：选 D D 1616x x2 22525y y2 2400400 可化为可化为x x2 22525y y2 216161 1， 则椭圆的左焦点为则椭圆的左焦点为F F( (3,3,0)0)， 又抛物线又抛物线y y2 22 2pxpx的焦点为的焦点为 p p2 2，0 0 ，准线为准线为x xp p2 2， 所以所以p p2 23 3，即即p p6 6，即即y y2 21212x x，K K(3,0)(3,0) 设设A A( (x x，y y) )，则由则由| |AKAK| | 2 2| |AFAF| |得得 ( (x x3)3)2 2y y2 22 2，即即x x2 21818x x9 9y y2 20 0， 又又y y2 21212x x，所以所以x x2 26 6x x9 90 0，解得解得x x3 3 5 5已知双曲线已知双曲线x x2 2a a2 2y y2 2b b2 21(1(a a00，b b0)0)上的一点到双曲线的左上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为右焦点的距离之差为 4 4，若抛物线若抛物线y yaxax2 2上上的两点的两点A A( (x x1 1，y y1 1) )，B B( (x x2 2，y y2 2) )关于直线关于直线y yx xm m对称对称，且且x x1 1x x2 21 12 2，则则m m的值为的值为( ( ) ) A A3 32 2 B B5 52 2 C C2 2 D D3 3 解析：选解析：选 A A 由双曲线的定义知由双曲线的定义知 2 2a a4 4，得得a a2 2， 所以抛物线的方程为所以抛物线的方程为y y2 2x x2 2 因为点因为点A A( (x x1 1，y y1 1) )，B B( (x x2 2，y y2 2) )在抛物线在抛物线y y2 2x x2 2上上， 所以所以y y1 12 2x x2 21 1，y y2 22 2x x2 22 2， 两式相减得两式相减得y y1 1y y2 22(2(x x1 1x x2 2)()(x x1 1x x2 2) )， 不妨设不妨设x x1 1x x2 2，又又A A，B B关于直线关于直线y yx xm m对称对称， 所以所以y y1 1y y2 2x x1 1x x2 21 1， 故故x x1 1x x2 21 12 2， 而而x x1 1x x2 21 12 2， 解得解得x x1 11 1，x x2 21 12 2， 设设A A( (x x1 1，y y1 1) )，B B( (x x2 2，y y2 2) )的中点为的中点为M M( (x x0 0，y y0 0) )， 则则x x0 0 x x1 1x x2 22 21 14 4， y y0 0y y1 1y y2 22 22 2x x2 21 12 2x x2 22 22 25 54 4， 因为中点因为中点M M在直线在直线y yx xm m上上， 所以所以5 54 41 14 4m m，解得解得m m3 32 2 6 6已知已知(4,(4,2)2)是直线是直线l l被椭圆被椭圆x x2 23636y y2 29 91 1 所截得的线段的中点所截得的线段的中点，则则l l的方程是的方程是_ 解析：设直线解析：设直线l l与椭圆相交于与椭圆相交于A A( (x x1 1，y y1 1) )，B B( (x x2 2，y y2 2) ) 则则x x2 21 13636y y2 21 19 91 1，且且x x2 22 23636y y2 22 29 91 1， 两式相减并化简得两式相减并化简得y y1 1y y2 2x x1 1x x2 2x x1 1x x2 2y y1 1y y2 2 又又x x1 1x x2 28 8，y y1 1y y2 24 4， 所以所以y y1 1y y2 2x x1 1x x2 21 12 2， 故直线故直线l l的方程为的方程为y y2 21 12 2( (x x4)4)， 即即x x2 2y y8 80 0 答案：答案：x x2 2y y8 80 0 7 7如图如图，过抛物线过抛物线y y1 14 4x x2 2的焦点的焦点F F的直线的直线l l与抛物线和圆与抛物线和圆x x2 2( (y y1)1)2 21 1 交于交于A A，B B，C C，D D四点四点，则则ABAB DCDC _ 解析：不妨设直线解析：不妨设直线ABAB的方程为的方程为y y1 1，联立联立 y y1 1，y y1 14 4x x2 2，解得解得x x22，则则A A( (2,2,1)1)，D D(2,1)(2,1)，因为因为B B( (1,1,1)1)，C C(1,1)(1,1)，所以所以ABAB (1,0)(1,0)，DCDC ( (1,0)1,0)，所所以以ABAB DCDC 1 1 答案：答案：1 1 8 8若椭圆的中心在原点若椭圆的中心在原点，一个焦点为一个焦点为(0,(0,2)2)，直线直线y y3 3x x7 7 与椭圆相交所得弦的中点与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为的纵坐标为 1 1，则这个椭圆的方程为则这个椭圆的方程为_ 解析：因为椭圆的中心在原点解析：因为椭圆的中心在原点，一个焦点为一个焦点为(0,(0,2)2)，则则a a2 2b b2 24 4，所以可设椭圆方程为所以可设椭圆方程为y y2 2b b2 24 4x x2 2b b2 21 1， 联立联立 y y3 3x x7 7，y y2 2b b2 24 4x x2 2b b2 21 1， 得得(10(10b b2 24)4)y y2 214(14(b b2 24)4)y y9 9b b4 41313b b2 21961960 0， 设直线设直线y y3 3x x7 7 与椭圆相交所得弦的端点为与椭圆相交所得弦的端点为( (x x1 1，y y1 1) )，( (x x2 2，y y2 2) )， 由一元二次方程根与系数的关系得：由一元二次方程根与系数的关系得： y y1 1y y2 2b b2 21010b b2 24 42 2 解得：解得：b b2 28 8所以所以a a2 21212 则椭圆方程为则椭圆方程为x x2 28 8y y2 212121 1 答案：答案：x x2 28 8y y2 212121 1 9 9如图如图，在平面直角坐在平面直角坐标系标系xOyxOy中中，椭圆椭圆x x2 2a a2 2y y2 2b b2 21(1(a ab b0)0)的离心率为的离心率为1 12 2， 过椭圆右焦点过椭圆右焦点F F作两条互相垂直的弦作两条互相垂直的弦ABAB与与CDCD 当 当直线直线ABAB斜率为斜率为 0 0 时时，ABAB4 4 (1)(1)求椭圆的方程；求椭圆的方程； (2)(2)若若| |ABAB| | |CDCD| |48487 7，求直线求直线ABAB的方程的方程 解：解：(1)(1)由题意知由题意知e ec ca a1 12 2，2 2a a4 4 又又a a2 2b b2 2c c2 2， 解得解得a a2 2，b b 3 3， 所以椭圆方程为所以椭圆方程为x x2 24 4y y2 23 31 1 (2)(2)当两条弦中一条弦所在直线的斜率为当两条弦中一条弦所在直线的斜率为 0 0 时时，另一条弦所在直线的斜率不存在时另一条弦所在直线的斜率不存在时，由题意知由题意知| |ABAB| | |CDCD| |7 7，不满足条件不满足条件 当两条弦所在直线的斜率均存在且不为当两条弦所在直线的斜率均存在且不为 0 0 时时， 设直线设直线ABAB的方程为的方程为y yk k( (x x1)1)，A A( (x x1 1，y y1 1) )，B B( (x x2 2，y y2 2) )， 则直线则直线CDCD的方程为的方程为y y1 1k k( (x x1)1) 将直线将直线ABAB方程代入椭圆方程中并整理方程代入椭圆方程中并整理， 得得(3(34 4k k2 2) )x x2 28 8k k2 2x x4 4k k2 212120 0， 则则x x1 1x x2 28 8k k2 23 34 4k k2 2，x x1 1x x2 24 4k k2 212123 34 4k k2 2， 所以所以| |ABAB| |k k2 21 1| |x x1 1x x2 2| | k k2 21 1x x1 1x x2 22 24 4x x1 1x x2 2k k2 23 34 4k k2 2 同理同理，| |CDCD| |1212 1 1k k2 21 13 34 4k k2 2k k2 23 3k k2 24 4 所以所以| |ABAB| | |CDCD| |k k2 23 34 4k k2 2k k2 23 3k k2 24 4 k k2 22 24 4k k2 2k k2 248487 7，解得解得k k11， 所以直线所以直线ABAB的方程为的方程为x xy y1 10 0 或或x xy y1 10 0 1010(2016(2016北京高考北京高考) )已知椭圆已知椭圆C C：x x2 2a a2 2y y2 2b b2 21(1(a a b b 0)0)的离心率为的离心率为3 32 2，A A( (a,a,0)0)，B B(0(0，b b) )，O O(0,0)(0,0)，OABOAB的面积为的面积为 1 1 (1)(1)求椭圆求椭圆C C的方程；的方程； (2)(2)设设P P是椭圆是椭圆C C上一点上一点，直线直线PAPA与与y y轴交于点轴交于点M M，直线直线PBPB与与x x轴交于点轴交于点N N求证：求证：| |ANAN|BMBM| |为定值为定值 解：解：(1)(1)由题意得由题意得 c ca a3 32 2，1 12 2abab1 1，a a2 2b b2 2c c2 2，解得解得 a a2 2，b b1 1，c c 3 3. . 所以椭圆所以椭圆C C的方程为的方程为x x2 24 4y y2 21 1 (2)(2)证明：由证明：由(1)(1)知知，A A(2,0)(2,0)，B B(0,1)(0,1) 设设P P( (x x0 0，y y0 0) )，则则x x2 20 04 4y y2 20 04 4 当当x x0 000 时时， 直线直线PAPA的方程为的方程为y yy y0 0 x x0 02 2( (x x2)2) 令令x x0 0，得得y yM M2 2y y0 0 x x0 02 2， 从而从而| |BMBM| |1|1y yM M| | 1 12 2y y0 0 x x0 02 2 直线直线PBPB的方程为的方程为y yy y0 01 1x x0 0 x x1 1 令令y y0 0，得得x xN Nx x0 0y y0 01 1， 从而从而| |ANAN| |2|2x xN N| | 2 2x x0 0y y0 01 1 所以所以| |ANAN|BMBM| | 2 2x x0 0y y0 01 1 1 12 2y y0 0 x x0 02 2 x x2 20 04 4y y2 20 04 4x x0 0y y0 04 4x x0 08 8y y0 04 4x x0 0y y0 0 x x0 02 2y y0 02 2 4 4x x0 0y y0 04 4x x0 08 8y y0 08 8x x0 0y y0 0 x x0 02 2y y0 02 2 4 4 当当x x0 00 0 时时，y y0 01 1，| |BMBM| |2 2，| |ANAN| |2 2， 所以所以| |ANAN|BMBM| |4 4 综上综上，| |ANAN|BMBM| |为定值为定值 二上台阶二上台阶，自主选做志在冲刺名校自主选做志在冲刺名校 1 1(2017(2017海口调研海口调研) )已知椭圆已知椭圆C C：x x2 2a a2 2y y2 2b b2 21(1(a a b b0)0)的左的左，右顶点分别为右顶点分别为A A，B B，其离其离心率心率e e1 12 2，点点M M为椭圆上的一个动点为椭圆上的一个动点，MABMAB面积的最大值是面积的最大值是 2 2 3 3 (1)(1)求椭圆的方程；求椭圆的方程； (2)(2)若过椭圆若过椭圆C C右顶点右顶点B B的直线的直线l l与椭圆的另一个交点为与椭圆的另一个交点为D D，线段线段BDBD的垂直平分线与的垂直平分线与y y轴交于点轴交于点P P，当当PBPB PDPD 0 0 时时，求点求点P P的坐标的坐标 解：解：(1)(1)由题意可知由题意可知 e ec ca a1 12 2，1 12 222abab2 2 3 3，a a2 2b b2 2c c2 2， 解得解得a a2 2，b b 3 3， 所以椭圆方程是所以椭圆方程是x x2 24 4y y2 23 31 1 (2)(2)由由(1)(1)知知B B(2,(2,0)0)，设直线设直线BDBD的方程为的方程为y yk k( (x x2 2) )，D D( (x x1 1，y y1 1) )， 把把y yk k( (x x2)2)代入椭圆方程代入椭圆方程x x2 24 4y y2 23 31 1， 整理得整理得(3(34 4k k2 2) )x x2 21616k k2 2x x1616k k2 212120 0， 所以所以 2 2x x1 11616k k2 23 34 4k k2 2x x1 18 8k k2 26 63 34 4k k2 2，则则D D 8 8k k2 26 63 34 4k k2 2，1212k k3 34 4k k2 2， 所以所以BDBD中点的坐标为中点的坐标为 8 8k k2 23 34 4k k2 2，6 6k k3 34 4k k2 2， 则直线则直线BDBD的垂直平分线方程为的垂直平分线方程为y y6 6k k3 34 4k k2 21 1k k x x8 8k k2 23 34 4k k2 2， 得得P P 0 0，2 2k k3 34 4k k2 2 又又PBPB PDPD 0 0， 即即 2 2，2 2k k3 34 4k k2 2 8 8k k2 26 63 34 4k k2 2，1414k k3 34 4k k2 20 0， 化简得化简得6464k k4 42828k k2 236364 4k k2 22 20 06464k k4 42828k k2 236360 0， 解得解得k k3 34 4 故故P P 0 0，2 27 7或或 0 0，2 27 7 2 2如图如图，椭圆椭圆C C：x x2 2a a2 2y y2 2b b2 21(1(a a b b0)0)经过点经过点P P 1 1，3 32 2，离心率离心率e e1 12 2，直线直线l l的方程为的方程为x x4 4 (1)(1)求椭圆求椭圆C C的方程的方程 (2)(2)ABAB是经过右焦点是经过右焦点F F的任一弦的任一弦( (不经过点不经过点P P) )，设直线设直线ABAB与直线与直线l l相交于点相交于点M M，记记PAPA，PBPB，PMPM的斜率分别为的斜率分别为k k1 1，k k2 2，k k3 3问：是否存在常数问：是否存在常数，使得使得k k1 1k k2 2kk3 3？若存在若存在，求求的值；若不存在的值；若不存在，说明理由说明理由 解：解：(1)(1)由由P P 1 1，3 32 2在椭圆上得在椭圆上得，1 1a a2 29 94 4b b2 21 1， 依题设知依题设知a a2 2c c，则则a a2 24 4c c2 2，b b2 23 3c c2 2， 将将代入代入得得c c2 21 1，a a2 24 4，b b2 23 3 故椭圆故椭圆C C的方程为的方程为x x2 24 4y y2 23 31 1 (2)(2)存在理由如下：存在理由如下： 由题意可设由题意可设ABAB的斜率为的斜率为k k， 则直线则直线ABAB的方程为的方程为y yk k( (x x1)1)， 代入椭圆方程并整理得代入椭圆方程并整理得(4(4k k2 23)3)x x2 28 8k k2 2x x4(4(k k2 23)3)0 0 设设A A( (x x1 1，y y1 1) )，B B( (x x2 2，y y2 2) )， 则有则有x x1 1x x2 28 8k k2 24 4k k2 23 3，x x1 1x x2 2k k2 24 4k k2 23 3， 在方程在方程中令中令x x4 4，得得M M(4,(4,3 3k k) ) 从而从而k k1 1y y1 13 32 2x x1 11 1，k k2 2y y2 23 32 2x x2 21 1，k k3 33 3k k3 32 24 41 1k k1 12 2 因为因为A A，F F，B B三点共线三点共线，则有则有k kk kAFAFk kBFBF， 即即y y1 1x x1 11 1y y2 2x x2 21 1k k 所以所以k k1 1k k2 2y y1 13 32 2x x1 11 1y y2 23 32 2x x2 21 1 y y1 1x x1 11 1y y2 2x x2 21 13 32 2 1 1x x1 11 11 1x x2 21 1 2 2k k3 32 2x x1 1x x2 22 2x x1 1x x2 2x x1 1x x2 21 1， 将将代入代入得得k k1 1k k2 22 2k k3 32 28 8k k2 24 4k k2 23 32 2k k2 24 4k k2 23 38 8k k2 24 4k k2 23 31 12 2k k1 1 又又k k3 3k k1 12 2，所以所以k k1 1k k2 22 2k k3 3 故存在常数故存在常数2 2 符合题意符合题意
