2018高考数学（文）大一轮复习习题 第八章 解析几何 课时跟踪检测 （四十九） 抛物线 Word版含答案.doc
课时跟踪检测课时跟踪检测 ( (四十九四十九) ) 抛物线抛物线 一抓基础一抓基础，多练小题做到眼疾手快多练小题做到眼疾手快 1 1以以x x1 1 为准线的抛物线的标准方程为为准线的抛物线的标准方程为( ( ) ) A Ay y2 22 2x x B By y2 22 2x x C Cy y2 24 4x x D Dy y2 24 4x x 解析：选解析：选 D D 由准线由准线x x1 1 知知，抛物线方程为：抛物线方程为： y y2 22 2pxpx( (p p0)0)且且p p2 21 1，p p2 2， 抛物线的方程为抛物线的方程为y y2 24 4x x，故选故选 D D 2 2已知已知ABAB是抛物线是抛物线y y2 22 2x x的一条焦点弦的一条焦点弦，| |ABAB| |4 4，则则ABAB中点中点C C的横坐标是的横坐标是( ( ) ) A A2 2 B B1 12 2 C C3 32 2 D D5 52 2 解析：选解析：选 C C 设设A A( (x x1 1，y y1 1) )，B B( (x x2 2，y y2 2) )，则则| |ABAB| |x x1 1x x2 2p p4 4，又又p p1 1，所以所以x x1 1x x2 23 3，所以点所以点C C的横坐标是的横坐标是x x1 1x x2 22 23 32 2 3 3已知点已知点A A( (2,2,3)3)在抛物线在抛物线C C：y y2 22 2pxpx( (p p0)0)的准线上的准线上，记记C C的焦点为的焦点为F F，则直线则直线AFAF的斜率为的斜率为( ( ) ) A A4 43 3 B B1 1 C C3 34 4 D D1 12 2 解析：选解析：选 C C 由已知由已知，得准线方程为得准线方程为x x2 2，所以所以F F的坐标为的坐标为(2,(2,0 0) )又又A A( (2,2,3)3)，所所以直线以直线AFAF的斜率为的斜率为k k3 30 02 22 23 34 4 4 4已知点已知点P P在抛物线在抛物线y y2 24 4x x上上，且点且点P P到到y y轴的距离与其到焦点的距离之比为轴的距离与其到焦点的距离之比为1 12 2，则则点点P P到到x x轴的距离为轴的距离为_ 解析：设点解析：设点P P的坐标为的坐标为( (x xP P，y yP P) )，抛物线抛物线y y2 24 4x x的准线方程为的准线方程为x x1 1，根据抛物线的根据抛物线的定义定义，点点P P到焦点的距离等于点到焦点的距离等于点P P到准线的距离到准线的距离，故故x xP Px xP P1 12 2， 解得解得x xP P1 1， 所以所以y y2 2P P4 4，所所以以| |y yP P| |2 2 答案：答案：2 2 5 5一个顶点在原点一个顶点在原点，另外两点在抛物线另外两点在抛物线y y2 22 2x x上的正三角形的面积为上的正三角形的面积为_ 解析： 如图解析： 如图， 根据对称性：根据对称性：A A，B B关于关于x x轴对称轴对称， 故故AOxAOx3030 直线直线OAOA的方程的方程y y3 33 3x x， 代入代入y y2 22 2x x， 得得x x2 26 6x x0 0， 解得解得x x0 0 或或x x6 6 即得即得A A的坐标为的坐标为(6,(6,2 2 3 3) ) | |ABAB| |4 4 3 3，正三角形正三角形OABOAB的面积为的面积为1 12 244 3 3661212 3 3 答案：答案：1212 3 3 二保高考二保高考，全练题型做到高考达标全练题型做到高考达标 1 1抛物线抛物线y y4 4axax2 2( (a a0)0)的焦点坐标是的焦点坐标是( ( ) ) A A(0(0，a a) ) B B( (a,a,0)0) C C 0 0，1 11616a a D D 1 11616a a，0 0 解析：选解析：选 C C 将将y y4 4axax2 2( (a a0)0)化为标准方程得化为标准方程得x x2 21 14 4a ay y( (a a0)0)，所以焦点坐标为所以焦点坐标为 0 0，1 11616a a，所以选所以选 C C 2 2(2016(2016山西高三考前质量检测山西高三考前质量检测) )已知抛物线已知抛物线C C1 1：x x2 22 2pypy( (p p0)0)的准线与抛物线的准线与抛物线C C2 2：x x2 22 2pypy( (p p0)0)交于交于A A，B B两点两点，C C1 1的焦点为的焦点为F F， 若若FABFAB的面积等于的面积等于 1 1， 则则C C1 1的方程是的方程是( ( ) ) A Ax x2 22 2y y B Bx x2 2 2 2y y C Cx x2 2y y D Dx x2 22 22 2y y 解析：选解析：选 A A 由题意得由题意得， F F 0 0，p p2 2，不妨设不妨设A A p p，p p2 2，B B p p，p p2 2， S SFABFAB1 12 222p pp p1 1，则则p p1 1， 即抛物线即抛物线C C1 1的方程是的方程是x x2 22 2y y，故选故选 A A 3 3已知过抛物线已知过抛物线y y2 22 2pxpx( (p p0)0)的焦点的焦点F F且倾斜角为且倾斜角为 6060的直线的直线l l与抛物线在第一与抛物线在第一、四四象限分别交于象限分别交于A A，B B两点两点，则则| |AFAF| | |BFBF| |的值为的值为( ( ) ) A A5 5 B B4 4 C C3 3 D D2 2 解析：选解析：选 C C 设设A A( (x x1 1，y y1 1) )，B B( (x x2 2，y y2 2) )， 由题意知由题意知ABAB所在所在的直线方程为的直线方程为y y 3 3 x xp p2 2， 联立联立 y y2 22 2pxpx，y y 3 3 x xp p2 2. . 得：得：x x2 25 5p p3 3x xp p2 24 40 0， x x1 1x x2 25 5p p3 3，x x1 1x x2 2p p2 24 4， 所以所以x x1 13 3p p2 2，x x2 2p p6 6， 所以所以| |AFAF| | |BFBF| |3 32 2p pp p2 2p p2 2p p6 63 3 4 4 已知已知P P为抛物线为抛物线y y1 12 2x x2 2上的动点上的动点， 点点P P在在x x轴上的射影为点轴上的射影为点M M， 点点A A的坐标是的坐标是 6 6，17172 2，则则| |PAPA| | |PMPM| |的最小值是的最小值是( ( ) ) A A8 8 B B19192 2 C C10 10 D D21212 2 解析：选解析：选 B B 依题意可知焦点依题意可知焦点F F 0 0，1 12 2，准线方程为准线方程为y y1 12 2，延长延长PMPM交准线于点交准线于点H H( (图图略略) ) 则则| |PFPF| | |PHPH| |，| |PMPM| | |PFPF| |1 12 2， | |PMPM| | |PAPA| | |PFPF| | |PAPA| |1 12 2， 即求即求| |PFPF| | |PAPA| |的最小值的最小值 因为因为| |PFPF| | |PAPA|FAFA| |， 又又| |FAFA| | 6 62 2 17172 21 12 22 21010 所以所以| |PMPM| | |PAPA|10|101 12 219192 2，故选故选 B B 5 5如图如图，过抛物线过抛物线y y2 22 2pxpx( (p p0)0)的焦点的焦点F F的直线依次交抛物线的直线依次交抛物线及准线于点及准线于点A A，B B，C C，若若| |BCBC| |2|2|BFBF| |，且且| |AFAF| |3 3，则抛物线的方程则抛物线的方程为为( ( ) ) A Ay y2 23 32 2x x B By y2 23 3x x C Cy y2 29 92 2x x D Dy y2 29 9x x 解析：选解析：选 B B 如图如图，分别过点分别过点A A，B B作准线的垂线作准线的垂线，分别交准线于点分别交准线于点E E，D D， 设设| |BFBF| |a a，则则| |BCBC| |2 2a a， 由定义得：由定义得：| |BDBD| |a a，故故BCDBCD3030， 在直角三角形在直角三角形ACEACE中中，因为因为| |AFAF| |3 3，| |ACAC| |3 33 3a a， 所以所以 2|2|AEAE| | |ACAC| |， 所以所以 3 33 3a a6 6，从而得从而得a a1 1， 因为因为BDBDFGFG，所以所以1 1p p2 23 3，求得求得p p3 32 2， 因此抛物线方程为因此抛物线方程为y y2 23 3x x 6 6抛物线抛物线x x2 22 2pypy( (p p0)0)的焦点为的焦点为F F，其准线与双曲线其准线与双曲线x x2 23 3y y2 23 31 1 相交于相交于A A，B B两点两点，若若ABFABF为等边三角形为等边三角形，则则p p_ 解析解析：在等边三角形：在等边三角形ABFABF中中，ABAB边上的高为边上的高为p p，ABAB2 23 33 3p p， 所以所以B B 3 33 3p p，p p2 2 又因为点又因为点B B在双曲线上在双曲线上， 故故p p2 23 33 3p p2 24 43 31 1，解得解得p p6 6 答案：答案：6 6 7 7(2017(2017广西质检广西质检) )过点过点P P( (2,2,0)0)的直线与抛物线的直线与抛物线C C：y y2 24 4x x相交于相交于A A，B B两点两点，且且| |PAPA| |1 12 2| |ABAB| |，则点则点A A到抛物线到抛物线C C的焦点的距离为的焦点的距离为_ 解析：设解析：设A A( (x x1 1，y y1 1) )，B B( (x x2 2，y y2 2) )，分别过点分别过点A A，B B作直线作直线x x2 2 的垂线的垂线，垂足分别为垂足分别为D D，E E( (图略图略) )，| |PAPA| |1 12 2| |ABAB| |， x x1 1x x2 22 2，3 3y y1 1y y2 2，又又 y y2 21 14 4x x1 1，y y2 22 24 4x x2 2，得得x x1 12 23 3，则点则点A A到到抛物线抛物线C C的焦点的距离为的焦点的距离为 1 12 23 35 53 3 答案：答案：5 53 3 8 8如图是抛物线形拱桥如图是抛物线形拱桥，当水面在当水面在l l时时，拱顶离水面拱顶离水面 2 2 米米，水面宽水面宽 4 4 米水位下降米水位下降 1 1米后米后，水面宽为水面宽为_米米 解析：由题意解析：由题意，可设抛物线方程为可设抛物线方程为x x2 22 2pypy( (p p0)0) 点点(2(2，2)2)在抛物线上在抛物线上， p p1 1，即抛物线方程为即抛物线方程为x x2 22 2y y 当当y y3 3 时时，x x 6 6 水位下降水位下降 1 1 米后米后，水面宽为水面宽为 2 2 6 6米米 答案：答案：2 2 6 6 9 9已知抛物线已知抛物线y y2 22 2pxpx( (p p0)0)的焦点为的焦点为F F，A A是抛物线上横坐标为是抛物线上横坐标为 4 4，且位于且位于x x轴上方的轴上方的点点，A A到抛物线准线的距离等于到抛物线准线的距离等于 5 5，过过A A作作ABAB垂直于垂直于y y轴轴，垂足为垂足为B B，OBOB的中点为的中点为M M (1)(1)求抛物线的方程；求抛物线的方程； (2)(2)若过若过M M作作MNMNFAFA，垂足为垂足为N N，求点求点N N的坐标的坐标 解：解：(1)(1)抛物线抛物线y y2 22 2pxpx的准线为的准线为x xp p2 2， 于是于是 4 4p p2 25 5，p p2 2 抛物线方程为抛物线方程为y y2 24 4x x (2)(2)点点A A的坐标是的坐标是(4,(4,4)4)， 由题意得由题意得B B(0,(0,4)4)，M M(0,2)(0,2) 又又F F(1,0)(1,0)，k kFAFA4 43 3， MNMNFAFA，k kMNMN3 34 4 又又FAFA的方程为的方程为y y4 43 3( (x x1)1)， MNMN的方程为的方程为y y2 23 34 4x x， 联立联立，解得解得x x8 85 5，y y4 45 5， N N的坐标为的坐标为 8 85 5，4 45 5 1010 已知过抛物线已知过抛物线y y2 22 2pxpx( (p p0)0)的焦点的焦点， 斜率为斜率为 2 2 2 2的直线交抛物线于的直线交抛物线于A A( (x x1 1，y y1 1) )，B B( (x x2 2，y y2 2)()(x x1 1 0)0) 因为点因为点P P(1,2)(1,2)在抛物线上在抛物线上， 所以所以 2 22 22 2p p11， 解得解得p p2 2 故所求抛物线的方程是故所求抛物线的方程是y y2 24 4x x，准线方程是准线方程是x x1 1 (2)(2)设直线设直线PAPA的斜率为的斜率为k kPAPA，直线直线PBPB的斜率为的斜率为k kPBPB 则则k kPAPAy y1 12 2x x1 11 1( (x x1 11)1)，k kPBPBy y2 22 2x x2 21 1( (x x2 21)1)， 因为因为PAPA与与PBPB的斜率存在且倾斜角互补的斜率存在且倾斜角互补， 所以所以k kPAPAk kPBPB 由由A A( (x x1 1，y y1 1) )，B B( (x x2 2，y y2 2) )均在抛物线上均在抛物线上， 得得 y y2 21 14 4x x1 1， y y2 22 24 4x x2 2， 所以所以y y1 12 21 14 4y y2 21 11 1y y2 22 21 14 4y y2 22 21 1， 所以所以y y1 12 2( (y y2 22)2) 所以所以y y1 1y y2 24 4 由由得得，y y2 21 1y y2 22 24(4(x x1 1x x2 2) )， 所以所以k kABABy y1 1y y2 2x x1 1x x2 24 4y y1 1y y2 21(1(x x1 1x x2 2) )
