2021届高考二轮精品专题十一 不等式（理） 教师版.docx

专题 11××不等式命题趋势不等式在高考当中的考查主要是作为选考内容，考查的重点为不等式的证明，绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式的应用，恒成立问题，利用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明不等式，柯西不等式的应用等，有时也会作为工具应用在解题当中，总体而言难度不大考点清单知识点1含绝对值不等式的解法1绝对值三角不等式（1）定理1：如果a，b是实数，则|a+b|a|+|b|，当且仅当ab0时，等号成立；（2）性质：|a|-|b|a±b|a|+|b|；（3）定理2：如果a，b，c是实数，则|a-c|a-b|+|b-c|，当且仅当(a-b)(b-c)0时，等号成立2绝对值不等式的解法（1）含绝对值不等式|x|<a，|x|>a的解法不等式a>0a=0a<0|x|<ax|-a<x<a|x|>ax|x>a或x<-ax|xR，且x0R（2）|ax+b|c(c>0)和|ax+b|c(c>0)型不等式的解法|ax+b|c-cax+bc；|ax+b|cax+bc或ax+b-c（3）|x-a|+|x-b|c(c>0)和|x-a|+|x-b|c(c>0)型不等式的解法解法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；解法二：利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想；解法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现函数与方程的思想知识点2：不等式的证明方法1基本不等式定理一：设a，bR，则a2+b22ab，当且仅当a=b时，等号成立定理二：如果a，b为正数，则，当且仅当a=b时，等号成立定理三：如果a，b，c为正数，则，当且仅当a=b=c时，等号成立2不等式的证明方法（1）比较法作差比较：a>ba-b>0，a<ba-b<0；作商比较：，（2）分析法：从待证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式；（3）综合法：从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理证明，推导出所要证明的不等式成立；（4）反证法作出与所证不等式相反的假设；从条件出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而证明原不等式成立（5）放缩法：要证a<b，可寻找合适的中间量c有a<c，c<b，从而证得a<b 精题集训（70分钟）经典训练题一、选择题1若a，bR，则“a+b>4”是“a，b至少有一个大于2”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当a+b>4时，假设a，b都不大于2，即a2，b2，则a+b4，这与a+b>4矛盾，所以“a+b>4”是“a，b至少有一个大于2”的充分条件；但是，当a，b至少有一个大于2，如a=3，b=1，a+b=4，所以“a+b>4”不是“a，b至少有一个大于2”的必要条件，故选A【点评】本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若是q的必要不充分条件，则q对应集合是对应集合的真子集；（2）若是q的充分不必要条件，则对应集合是q对应集合的真子集；（3）若是q的充分必要条件，则对应集合与q对应集合相等；（4）若是q的既不充分又不必要条件，则对的集合与q对应集合互不包含2（多选）若0<x<y<1，则下列结论正确的是（ ）ABC，D【答案】ABC【解析】因为0<x<y<1，所以0<xy<1，所以，所以，故A正确；因为0<x<y<1，所以x>0>x-y，所以ex>ex-y，故B正确；因为0<x<y<1，所以0<xn<yn<1，nN*，故C正确；因为0<x<y<1，所以0<logxy<logxx=1，logyx>logyy=1，所以logxy<1<logyx，故D错误，故选ABC【点评】本题主要考了均值不等式的使用条件，属于基础题二、填空题3若x，y满足约束条件，则的最大值为_【答案】14【解析】由线性约束条件作出可行域如图，由可得，作直线，沿可行域的方向平移可知过点A时，取得最大值，由，可得，所以，所以，故答案为14【点评】线性规划求最值的常见类型（1）线性目标函数求最值：转化为直线的截距问题，结合图形求解；（2）分式型目标函数最值：转化为平面区域内的点与定点连线的斜率问题，结合图形求解；（3）平方型目标函数求最值；转为两点间的距离问题，结合图形求解三、解答题4已知函数f(x)=|2x|+|x-1|，xR（1）求的解集；（2）若f(x)=kx有2个不同的实数根，求实数k的取值范围【答案】（1）或；（2）2<k<3【解析】（I），得或或，解得或，所以的解集是或（2）问题转化为与有两个交点，由图易知：，koA<k<kOB，即2<k<3【点评】本题考查根据方程实数根的个数求参数的取值范围，一般可采用1直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻找“临界”情况，特别注意边界值的取舍5已知函数f(x)=|x+a|+|2x-3|（1）当时，求f(x)的最小值；（2）当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围【答案】（1）最小值为；（2）【解析】（1）当时，由解析式可知，f(x)在-，-1和上单调递减，且在x=-1处连续，在上单调递增，故f(x)在处取得最小值，且，所以f(x)的最小值为（2）xa，2a-2，2a-2>a，a>2，又xa，2a-2，2x-3>0，x+5>0，f(x)x+5|x+a|+|2x-3|x+5x+a+2x-3x+5即a-2x+8在xa，2a-2上恒成立，令y=-2x+8在xa，2a-2上单调递减，a-4a+12，解得，综上，a的取值范围为【点评】本题考查分类讨论解绝对值不等式，含有绝对值的不等式的恒成立问题，不等式恒成立问题常见方法：分离参数afx恒成立(afxmax即可)或afx恒成立（afxmin即可）；数形结合(图象在y=gx上方即可)；讨论最值fxmin或fxmax恒成立6已知函数，记f(x)最小值为k（1）求k的值；（2）若a，b，c为正数，且求证：【答案】（1）2；（2）证明见解析【解析】（1）当时，；当时，；当时，所以f(x)最小值为（2）由题得a2+b2+c2=4，【点评】不等式的证明常用的方法有：（1）比较法；（2）综合法；（3）分析法；（4）反证法；（5）数学归纳法；（6）放缩法要根据已知条件灵活选择合适的方法证明7设不等式|x+1|-|x-1|<2的解集为A（1）求集合A；（2）若a，b，cA，证明：【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）由题意得，令，由|f(x)|<2，得，即（2）要证，只需证1-abc>|ab-c，只需，只需证1-a2b2>c21-a2b2，只需证1-a2b21-c2>0由a，b，cA，得a2b2<1，c2<1，所以1-a2b21-c2>0恒成立，综上，【点评】本题第二问考查分析法证明不等式，关键是将不等式转化为1-abc>|ab-c，两边平方后，分解因式，再利用（1）的结论证明8已知函数f(x)=2x+1+4x-5的最小值为M（1）求M；（2）若正实数a，b，c满足a+b+c=2M，求：(a+1)2+(b-2)2+(c-3)2的最小值【答案】（1）；（2）3【解析】（1），如图所示：，（2）由（1）知a+b+c=7，(a+1)+(b-2)+(c-3)2=(a+1)2+(b-2)2+(c-3)2+2(a+1)(b-2)+2(a+1)(c-3)+2(b-2)(c-3)，(a+b+c)-423(a+1)2+(b-2)2+(c-3)2，7-423(a+1)2+(b-2)2+(c-3)2，(a+1)2+(b-2)2+(c-3)23，当且仅当a=0，b=3c=4时值最小，(a+1)2+(b-2)2+(c-3)2的最小值为3【点评】本题考查绝对值函数及平方平均数与算数平均数的大小关系，属于基础题9已知函数（1）解不等式；（2）若f(x)的最大值为m，且a+2b+c=m，其中a0，b0，c>3，求(a+1)(b+1)(c-3)的最大值【答案】（1）；（2）4【解析】（1），故或或，故不等式的解集为（2）由题意知f(x)的最大值为6，故a+2b+c=6，c>3，a+1>0，2b+2>0，c-3>0，当且仅当a+1=2b+2=c-3，即，b=0，c=5时等号成立，的最大值为4【点评】本题考查了绝对值不等式的解法和利用基本不等式求最值，考查了分类讨论思想和转化思想，属于中档题高频易错题一、填空题1已知正项等比数列an（nN*）满足a7=a6+2a5，若存在两项am，an使得aman=4a1，则的最小值为_【答案】【解析】正项等比数列an满足：a7=a6+2a5，a1q6=a1q5+2a1q4，又a10，q0，解得q=2，存在两项am，an使得aman=4a1，a12qm+n-2=16a12，即，当且仅当，即取等号，但此时，又m+n=6，当，即m=1，n=5时，当，即时，则的最小值为，故答案为【点评】本题考查等比数列的通项和基本不等式，实际上应用基本不等式是本题的重点和难点，关键注意当两个数字的和是定值，要求两个变量的倒数之和的最小值时，要乘以两个数字之和，是中档题二、解答题2已知a+b=1，a，b0，+，恒成立（1）若a>0，b>0，求的最小值；（2）求x的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为，取等号时，即，所以的最小值为3（2）因为a，b0，+，恒成立，所以恒成立，即2x-2+x+13，当x<-1时，2-2x-x-13，此时无解；当x>1时，2x-2+x+13，解得；当-1x1时，2-2x+x+13，解得0x1，综上可知：x的取值范围为【点评】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方精准预测题一、选择题1已知x，y满足约束条件，则目标函数z=x2+y2的最小值为（ ）ABCD【答案】B【解析】画出所表示的可行域如下图所示：目标函数z=x2+y2代表的几何意义是原点到区域内的点的距离的平方，由图可知：原点到直线x+y-1=0的距离OP最短，又原点到x+y-1=0距离 ，故选B【点评】线性规划求最值的常见类型（1）线性目标函数求最值：转化为直线的截距问题，结合图形求解；（2）分式型目标函数最值：转化为平面区域内的点与定点连线的斜率问题，结合图形求解；（3）平方型目标函数求最值；转为两点间的距离问题，结合图形求解2关于x的不等式的解为（ ）A0<x<2B0<x<1Cx<2Dx>1【答案】B【解析】根据对数式有意义，可得x>0，不等式等价于xlog2x<0，所以log2x<0，解得0<x<1，故选B【点评】该题考查的是有关求不等式的解集的问题，在解题的过程中，注意到xlog2x<0是解题的关键二、解答题3已知函数fx=x+1（1）解不等式f(x)<4-2x-1；（2）已知，若，求证【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）f(x)<4-2x-1等价于x+1<4-2x-1，当x<-1时，原不等式化为-(x+1)<4+(2x-1)，即，；当时，原不等式化为x+1<4+2x-1，即x>-2，；当时，原不等式化为x+1<4-2x+1，即，综上可得，原不等式的解集为（2）证明：|x+a|-f(x)=x+a-x+1(x+a)-(x+1)=a-1，-2a-12，即a-12，x+a-fx2，【点评】本题主要考查了绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，基本不等式的应用，属于中档题4已知函数fx=x2-ax-1-1，aR（1）当a=2时，解不等式fx+f20；（2）对任意的，fxax+1恒成立，求实数a的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】（1）当a=2时，fx=x2-2x-1-1，f2=1，则不等式fx+f20为x2-2x-10，当x1时，x2-2x-10为恒成立，x1；当x<1时，x2-2x-10为，解得x-1-3或x-1+3，x-1-3或-1+3x<1，综上，不等式fx+f20的解集为（2）不等式fxax+1等价于x2-ax-1-1ax+1，即对任意的恒成立，即对任意的恒成立，函数在区间上单调递增，最小值为，故实数a的取值范围是【点评】解绝对值不等式的常用方法：（1）基本性质法：a为正实数，x<a-a<x<a，x>ax<-a或x>a；（2）平方法：两边平方去掉绝对值，适用于x-a<x-b或x-a>x-b型的不等式的求解；（3）分类讨论法(零点分区间法)：含有两个或两个以上绝对值的不等式，可用分类讨论法去掉绝对值，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式求解；（4）几何法：利用绝对值不等式的几何意义，画出数轴，将绝对值问题转化为数轴上两点的距离问题求解；（5）数形结合法：在直角坐标系中，作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解5已知函数f(x)=x-2+x+2（1）求不等式f(x)2x+4的解集；（2）若f(x)的最小值为k，且实数a，b，c，满足a(b+c)=k，求证：2a2+b2+c28【答案】（1）(-，0；（2）证明见解析【解析】（1）当x<-2时，不等式即为-2x2x+4，解得x-1，x<-2；当-2x2时，不等式即为42x+4，x0，-2x0；当x>2时，不等式即为2x2x+4，综上，不等式f(x)2x+4的解集为(-，0（2）由绝对值不等式的性质可得：|x-2|+|x+2|(x-2)-(x+2)|=4，当-2x2时，f(x)取最小值4，即k=4，a(b+c)=4，即ab+ac=4，2a2+b2+c2=a2+b2+a2+c22ab+2ac=8，当且仅当a=b=c=±2时等号成立【点评】证明不等式常用的方法有：（1）比较法；（2）综合法；（3）分析法；（4）放缩法；（5）数学归纳法；（6）反证法要根据已知条件灵活选择方法证明6已知函数f(x)=|x-4|+|1-x|，（1）解不等式：f(x)5；（2）记f(x)的最小值为M，若实数a，b满足a2+b2=M，试证明：【答案】（1）x0x5，（2）证明见解析【解析】（1），因为f(x)5，所以或1x4或，所以4<x5或1x4或0x<1，所以，所以不等式的解集为x0x5（2）证明：因为f(x)=|x-4|+|1-x|(x-4)+(1-x)=3，当且仅当1x4时取等号，所以f(x)的最小值为M=3，所以a2+b2=3，所以，当且仅当，即a2=1，b2=2时取等号【点评】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方维权 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