2021年高考数学（理）2月模拟评估卷（三）（全国1卷）（解析版）.docx
2021年高考数学（理）2月模拟评估卷（三）（全国1卷）本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分满分150分.考试时间120分钟第卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1若全集,集合,集合,则（ ）ABCD【答案】B【详解】由题意,集合或,集合,则,所以.故选B.2是虚数单位,若,则的值是（ ）ABC3D15【答案】C【解析】,故选C3已知,下列选项中,使成立的一个充分不必要条件是（ ）A或B且C,同号且不为D或【答案】B【解析】由得,同号且不为,对于A项,“或”不能推出,故A错误；对于B项,“且”可以推出,当不一定得出且,则“且”是 “”的一个充分不必要条件,故B正确；对于C项,“,同号且不为”等价于“”,即“,同号且不为”是“”的一个充分必要条件,故C错误；对于D项,或不一定得出,比如满足,但,故D错误；故选B4某地气象局把当地某月(共30天)每一天的最低气温作了统计,并绘制了如下图所示的统计图.记这组数据的众数为M,中位数为N,平均数为P,则（ ）ABCD【答案】A【解析】由统计图得：该月温度的中位数为,众数为,平均数为故选A5已知,则,的大小关系是（ ）ABCD【答案】B【解析】因为,故为与的图象的交点的横坐标,同理为与的图象的交点的横坐标,为与的图象的交点的横坐标,在平面直角坐标系中画出的图象,由图象可得,故选B.6已知为等边三角形,所在平面内的点满足,的最小值为（ ）ABCD【答案】C【解析】,所以,由平面向量模的三角不等式可得.当且仅当与方向相反时,等号成立.因此,的最小值为.故选C.7运行如图所示的程序框图,输出的结果为,则判断框中可以填（ ）A B C D【答案】D【解析】运行程序框图,此时输出.故选D.8为了让居民了解垃圾分类,养成垃圾分类的习惯,让绿色环保理念深入人心某市将垃圾分为四类可回收物,餐厨垃圾,有害垃圾和其他垃圾某班按此四类由9位同学组成四个宣传小组,其中可回收物宣传小组有3位同学,餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾宣传小组各有2位同学现从这9位同学中选派5人到某小区进行宣传活动,则每个宣传小组至少选派1人的概率为（ ）ABCD【答案】D【解析】某市将垃圾分为四类：可回收物、餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾.某班按此四类由位同学组成四个宣传小组,其中可回收物宣传小组有位同学,餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾宣传小组各有位同学.现从这位同学中选派人到某小区进行宣传活动,基本事件总数,每个宣传小组至少选派人包含的基本事件个数为,则每个宣传小组至少选派人的概率为.故选D.9在中,由角,所对的边分别为,且,则的最大值为（ ）ABC1D【答案】D【解析】因为在中,由正弦定理可得因为,可得,即,即,所以因为,可得,所以,当且仅当,即,时取“=”,所以,即的最大值为.故选D10如图,椭圆的右焦点为分别为椭圆的上下顶点,是椭圆上一点,记椭圆的离心率为,则（ ）ABCD【答案】B【解析】,则,所以直线,与椭圆方程联立,所以点的横坐标是,即,整理为：,两边同时除以得：,所以,得,或（舍）.故选B11已知,若,则下列结论一定成立的是（ ）ABCD【答案】D【解析】当时,则,所以,令,则,所以在上单调递增,所以,所以；当时,则,所以,不合题意；当时,则,所以,所以,所以,综上可得,故选D12已知函数,若,则的最小值为（ ）ABCD【答案】C【解析】由题意,得,即,又,得在上单调递增,综上知：,令,则,得；,得；故在上单调递减,在上单调递增.,故选C二.填空题:本大题共4小题,每小题5分13. 在平面直角坐标系中,以轴非负半轴为始边,角与角的终边关于轴对称,若,则的值为_.【答案】【解析】角与角的终边关于轴对称,故,.14已知,为偶函数,若曲线在点处的切线方程为,则_【答案】3【解析】当时,因为为偶函数,所以,所以时,因为曲线在点处的切线方程为,所以,所以,可得15已知点P是双曲线上的动点,分别为双曲线的左,右焦点,O为坐标原点.若点M是的角平分线上的一点,且,则_.【答案】2【解析】 延长交延长线于点,因为点是的角平分线上的一点,且,所以点为的中点,；又点为的中点,所以当点在右支时（如图1）,由双曲线的定义可得：,所以,当点P在左支时（如图2）,由双曲线的定义可得：,所以.16在棱长为的正方体中,棱,的中点分别为,点在平面内,作平面,垂足为当点在内（包含边界）运动时,点的轨迹所组成的图形的面积等于_【答案】【解析】由正方体性质可知平面平面,且平面,故点的轨迹所组成的图形与平面在平面正投影图形全等,又为正三棱锥,故正投影如图即再平面的正投影为,且,点的轨迹所组成的图形的面积为.三、解答题：共70分,解答应写出文字说明,证明过程和解题步骤.第17-21题为必考题.第22、23题为选考题.(一)、必考题：共60分17.(12分) 已知数列的前n项和为,满足,（1）求的通项公式；（2）设为数列的前n项和,求证：对任意,都有解：（1）,当时,解得, 当时,解得.当时,作差,可得,作差,(3分)当为偶数时,当为奇数时, ,经检验,也符合.综上,(6分)（2）由（1）知,（添项）,(12分)18.(12分) 如图,在三棱锥中,平面ABC,三角形是正三角形,点D、E、F分别为棱PA、PC、BC的中点,G为AD的中点（1）求证：平面BDE；（2）求二面角的余弦值（1）法一：连接PF交BE于点H,连接DH,见图1:E,F分别是PC,BC的中点,H是三角形的重心,由已知得,又平面BDE,平面BDE,平面BDE(5分)法二：取EC中点M,连接FM,GM,见图2:由已知得平面BDE,平面BDE,平面BDEM,F分别是EC,BC的中点,又平面BDE,平面BDE,平面BDE,平面平面BDE,又平面GFM,平面BDE(5分)法三：在平面ABC内,以垂直于AB的直线为x轴,AB所在的直线为y轴,AP所在的直线为z轴建立空间直角坐标系,见图3,设正三角形边长为（）则,设平面BDE的法向量为,则,可取又,即,又平面BDE,平面BDE(5分)（2）在平面ABC内,以垂直于AB的直线为x轴,AB所在的直线为y轴,AP所在的直线为z轴建立空间直角坐标系,见图3,设正三角形边长为则,由第（1）问方法三可知,平面BDE的法向量为设平面DEF的法向量为,又,可取,二面角为锐二面角,二面角的余弦值为(12分)19.(12分) 已知函数（1）求的单调区间；（2）设,在（1）的条件下,求证：（1）解：函数的定义域为由,得令即在上单调递减,在上单调递增,故,于是单调递增区间为,无递减区间.(5分)（2）证明：由（1）可知在上单调递增函数,又,当时,于是得证(12分)20.(12分) 已知动点到直线的距离比到点的距离大.（1）求动点所在的曲线的方程；（2）已知点,是曲线上的两个动点,如果直线的斜率与直线的斜率互为相反数,证明直线的斜率为定值,并求出这个定值；（3）已知点,是曲线上的两个动点,如果直线的斜率与直线的斜率之和为,证明：直线过定点.解：（1）已知动点到直线的距离比到点的距离大,等价于动点到直线的距离和到点的距离相等,由抛物线的定义可得曲线的轨迹时以为焦点,以直线为准线的方程,且,所以曲线的方程为.(3分)（2）设直线的斜率为,因为直线的斜率与直线的斜率互为相反数,所以直线的斜率为,则,联立方程组,整理得,即,可得联立方程组,整理得,即,可得所以,即直线的斜率为定值.(7分)（3）设直线的斜率为,所以直线的斜率为,则,两类方程组,整理得,即,可得,联立方程组,可得,即,可得所以,所以,整理得所以直线恒过.(12分)21.(12分) 射击是使用某种特定型号的枪支对各种预先设置的目标进行射击,以命中精确度计算成绩的一项体育运动.射击运动不仅能锻炼身体,而且可以培养细致、沉着、坚毅等优良品质,有益于身心健康.为了度过愉快的假期,感受体育运动的美好,法外狂徒张三来到私人靶场体验射击运动.（1）已知用于射击打靶的某型号步枪的弹夹中一共有发子弹,假设张三每次打靶的命中率均为,靶场主规定：一旦出现子弹脱靶或者子弹打光耗尽的现象便立刻停止射击.记标靶上的子弹数量为随机变量,求的分布列和数学期望.（2）张三在休息之余用手机逛站刷到了著名电视剧津门飞鹰中的经典桥段：中国队长燕双鹰和三合会何五姑玩起了俄罗斯轮盘.这让张三不由得想起了半人半鬼,神枪第一的那句家喻户晓的神话“我赌你的枪里没有子弹”.由此,在接下来的射击体验中,张三利用自己的人脉关系想办法找人更换了一把型号为M1917,弹容为6发的左轮手枪,弹巢中有发实弹,其余均为空包弹.现规定：每次射击后,都需要在下一次射击之前填充一发空包弹.假设每次射击相互独立且均随机.在进行次射击后,记弹巢中空包弹的发数.（）当时,探究数学期望和之间的关系；（）若无论取何值,当射击次数达到一定程度后都可近似认为枪中没有实弹（以弹巢中实弹的发数的数学期望为决策依据,当弹巢中实弹的发数的数学期望时可近似认为枪中没有实弹）,求该种情况下最小的射击次数.（参考数据：、）解：（1）由题意,的所有可能取值为：,因为张三每次打靶的命中率均为,则,所以的分布列为所以的数学期望为,令,则,所以可得,则；(5分)（2）（）第次射击后,可能包含两种情况：第次射出空包弹或第次射出实弹；因为第次射击前,剩余空包弹的期望为,若第次射出空包弹,则此时对应的概率为,因为射击后要填充一发空包弹,所以此时空包弹的数量为；若第次射出实弹,则此时对应的概率为,所以此时空包弹的数量为；综上,；(8分)（）因为当时,弹夹中有发空包弹,则；由（i）可知：,则,所以是首项为,公比为的等比数列,则,即,因此弹巢中实弹的发数的期望为,为使弹巢中实弹的发数的数学期望小于,只需,则,所以,为使恒成立,只需,而,又,所以最小的射击次数.(12分) (二)、选考题：共10分. 请考生从22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.22选修4-4：坐标系与参数方程 (10分) 在平面直角坐标系中,直线的参数方程为（为参数）,以为极点,轴的正半轴为极轴,建立坐标系,曲线极坐标方程为,且曲线与直线有且只有一个交点（1）求；（2）过点且倾斜角为的直线交直线于点,交曲线异于原点的一点,求的取值范围解：（1）消去参数可得直线的普通方程为,由可得,故,故曲线的普通方程为.因为曲线与直线有且只有一个交点,所以直线与曲线相切,所以圆心到直线的距离为到直线, 所以,解得或（舍去）. (5分)（2）直线的极坐标方程为,曲线极坐标方程为,则设点的极坐标为,点的极坐标为,. (10分)23选修4-5：不等式选讲 (10分)设函数,.（1）若,解不等式；（2）如果任意,都存在,使得,求实数的取值范围.解：（1）当时,当时,当时,所以的解集为 (5分)（2）由任意,都存在,使得得：又因为所以所以或(10分)
