2018高考数学（文）大一轮复习习题 选修4-5 不等式选讲 课时跟踪检测 （六十一）　不等式的证明 Word版含答案.doc

课时跟踪检测课时跟踪检测 ( (六六十十一一) ) 不等式的证明不等式的证明 1 1如果如果x x0 0，比较，比较( (x x1)1)2 2与与( (x x1)1)2 2的大小的大小 解：解：( (x x1)1)2 2( (x x1)1)2 2 4 4x x 因为因为x x0 0，所以，所以x x0 0，所以，所以4 4x x0 0， 所以所以( (x x1)1)2 2( (x x1)1)2 2 2 2设不等式设不等式|2|2x x1|1|1 1 的解集为的解集为M M (1)(1)求集合求集合M M (2)(2)若若a a，b bM M，试比较，试比较abab1 1 与与a ab b的大小的大小 解：解：(1)(1)由由|2|2x x1|1|1 1 得得1 12 2x x1 11 1， 解得解得 0 0 x x1 1 所以所以M M x x|0|0 x x11 (2)(2)由由(1)(1)和和a a，b bM M可知可知 0 0a a1,01,0b b1 1， 所以所以( (abab1)1)( (a ab b) )( (a a1)(1)(b b1)1)0 0 故故abab1 1a ab b 3 3(2017(2017重庆第一次适应性测试重庆第一次适应性测试) )设设a a，b b，c cR R且且a ab bc c1 1 (1)(1)求证：求证：2 2ababbcbccacac c2 22 21 12 2； (2)(2)求证：求证：a a2 2c c2 2b bb b2 2a a2 2c cc c2 2b b2 2a a22 证明：证明：( (1)1)因为因为 1 1( (a ab bc c) )2 2a a2 2b b2 2c c2 22 2abab2 2bcbc2 2caca44abab2 2bcbc2 2cacac c2 2， 所以所以 2 2ababbcbccacac c2 22 21 12 2(4(4abab2 2bcbc2 2cacac c2 2)1 12 2 (2)(2)因为因为a a2 2c c2 2b b2 2acacb b，b b2 2a a2 2c c2 2ababc c，c c2 2b b2 2a a2 2bcbca a， 所以所以a a2 2c c2 2b bb b2 2a a2 2c cc c2 2b b2 2a a acacb bababc c ababc cbcbca a acacb bbcbca aa a c cb bb bc cb b a ac cc ca ac c a ab bb ba a22a a2 2b b2 2c c2 2 4 4若若a a00，b b00，且，且1 1a a1 1b babab (1)(1)求求a a3 3b b3 3的最小值；的最小值； (2)(2)是否存在是否存在a a，b b，使得，使得 2 2a a3 3b b6 6？并说明理由？并说明理由 解：解：(1)(1)由由abab1 1a a1 1b b2 2abab， 得得abab22，且当，且当a ab b 2 2时等号成立时等号成立 故故a a3 3b b3 322a a3 3b b3 344 2 2， 且当且当a ab b 2 2时等号成立时等号成立 所以所以a a3 3b b3 3的最小值为的最小值为 4 4 2 2 (2)(2)由由(1)(1)知，知，2 2a a3 3b b22 6 6abab44 3 3 由于由于 4 4 3 366，从而不存在，从而不存在a a，b b，使得，使得 2 2a a3 3b b6 6 5 5已知定义在已知定义在 R R 上的函数上的函数f f( (x x) )| |x x1|1| |x x2|2|的最小值为的最小值为a a (1)(1)求求a a的值；的值； (2)(2)若若p p，q q，r r是正实数，且满足是正实数，且满足p pq qr ra a，求，求证：证：p p2 2q q2 2r r2 233 解：解：(1)(1)因为因为| |x x1|1| |x x2|(2|(x x1)1)( (x x2)|2)|3 3， 当且仅当当且仅当11x x22 时，等号成立，所以时，等号成立，所以f f( (x x) )的最小值等于的最小值等于 3 3，即，即a a3 3 (2)(2)证明：由证明：由(1)(1)知知p pq qr r3 3， 又因为又因为p p，q q，r r是正实数，是正实数， 所以所以( (p p2 2q q2 2r r2 2)(1)(12 21 12 21 12 2)()(p p11q q11r r1)1)2 2( (p pq qr r) )2 29 9，即，即p p2 2q q2 2r r2 233 6 6(2016(2016海口调研海口调研) )设函数设函数f f( (x x) )| |x xa a| | (1)(1)当当a a2 2 时，解不等式时，解不等式f f( (x x)7)7| |x x1|1|； (2)(2)若若f f( (x x)1)1 的解集为，的解集为，1 1m m1 12 2n na a( (m m0 0，n n0)0)，求证：，求证：m m4 4n n22 2 23 3 解：解：(1)(1)当当a a2 2 时，不等式为时，不等式为| |x x2|2| |x x1|71|7， x x1 1，2 2x x1 1x x77 或或 11x x22，2 2x xx x1717 或或 x x2 2，x x2 2x x1717， 解得解得x x2 2 或或x x55， 不等式的解集为不等式的解集为( (，22， a a1 10 0，a a1 12 2，解得解得a a1 1，1 1m m1 12 2n n1(1(m m0 0，n n0)0)， m m4 4n n( (m m4 4n n) ) 1 1m m1 12 2n n3 34 4n nm mm m2 2n n22 2 23(3(当且仅当当且仅当m m2 2 2 2n n时取等号时取等号) ) 7 7已知函数已知函数f f( (x x) )| |x x1|1| (1)(1)解不等式解不等式f f(2(2x x) )f f( (x x4)84)8； (2)(2)若若| |a a| |1 1，| |b b| |1 1，a a00，求证：，求证：f fabab| |a a| |f f b ba a 解：解：(1)(1)f f(2(2x x) )f f( (x x4)4)|2|2x x1|1| |x x3|3| 3 3x x2 2，x x3 3，x x4 4，33x x1 12 2，3 3x x2 2，x x1 12 2， 当当x x3 3 时，由时，由3 3x x2828，解得，解得x x1 10 03 3； 当当33x x1 12 2时，时，x x4848 无解；无解； 当当x x1 12 2时，由时，由 3 3x x2828，解得，解得x x22 所以不等式所以不等式f f(2(2x x) )f f( (x x4)84)8 的解集为的解集为 x x x x10103 3或或x x22 (2)(2)证明：证明：f fabab| |a a| |f f b ba a等价于等价于f f( (abab) )| |a a| |f f b ba a， 即即| |abab1|1| |a ab b| | 因为因为| |a a| |1 1，| |b b| |1 1， 所以所以| |abab1|1|2 2| |a ab b| |2 2 ( (a a2 2b b2 22 2abab1)1)( (a a2 22 2ababb b2 2) ) ( (a a2 21)(1)(b b2 21)1)0 0， 所以所以| |abab1|1| |a ab b| | 故所证不等式成立故所证不等式成立 8 8 设函数 设函数f f( (x x) )2|2|x x1|1|x x1 1，g g( (x x) )1616x x2 28 8x x1 1 记 记f f( (x x)1)1 的解集为的解集为M M，g g( (x x)4)4的解集为的解集为N N (1)(1)求求M M； (2)(2)当当x xM MN N时，证明：时，证明：x x2 2f f( (x x) )x x2 21 14 4 解：解：(1)(1)f f( (x x) ) 3 3x x3 3，x x11，1 1x x，x x， 当当x x11 时，由时，由f f( (x x) )3 3x x3131 得得x x4 43 3，故，故 11x x4 43 3； 当当x x1 1 时，由时，由f f( (x x) )1 1x x11 得得x x00，故，故 00 x x1 1 所以所以f f( (x x)1)1 的解集为的解集为M M x x 00 x x4 43 3 ( (2)2)证明：由证明：由g g( (x x) )1616x x2 28 8x x1414， 得得 1616 x x1 14 42 244， 解得解得1 14 4x x3 34 4 因此因此N N x x 1 14 4x x3 34 4， 故故M MN N x x 00 x x3 34 4 当当x xM MN N时，时，f f( (x x) )1 1x x， 于是于是x x2 2f f( (x x) )x x2 2 xfxf( (x x) ) x xf f( (x x) )x x(1(1x x) ) 1 14 4 x x1 12 22 21 14 4