2022届高三数学一轮复习（原卷版）课后限时集训39 基本不等式 作业.doc

1 基本不等式 建议用时：45 分钟 一、选择题 1(多选题)下列不等式证明过程正确的是( ) A若 a，bR，则baab2baab2 B若 x1，y1，则 lg xlg y2lg xlg y C若 x0，则 x4x2x4x4 D若 x0，则 2x2x2 2x 2x2 BD A 错误，a、b 不满足同号，故不能用基本不等式；B 正确，lg x和 lg y 一定是正实数，故可用基本不等式； C 错误，x 和4x不是正实数，故不能直接利用基本不等式； D 正确， 2x和 2x都是正实数， 故 2x2x2 2x2x2 成立，当且仅当 2x2x相等时(即 x0 时)，等号成立，故选 BD. 2设 0 x2，则函数 yx（42x）的最大值为( ) A2 B.22 C. 3 D. 2 D 0 x2，42x0， x(42x)122x(42x)122x42x221242. 当且仅当 2x42x，即 x1 时等号成立 即函数 y x（42x）的最大值为 2. 3若正数 m，n 满足 2mn1，则1m1n的最小值为( ) A32 2 B3 2 C22 2 D3 A 因为 2mn1， 2 所以1m1n1m1n(2mn)3nm2mn32nm2mn32 2，当且仅当nm2mn， 即 n 2m 时等号成立，所以1m1n的最小值为 32 2，故选 A. 4(2019 长沙模拟)若 a0，b0，abab，则 ab 的最小值为( ) A2 B4 C6 D8 B 法一：(直接法)由于 abab（ab）24，因此 ab4，当且仅当 ab2 时取等号，故选 B. 法二：(常数代换法)由题意，得1a1b1，所以 ab(ab)1a1b2abba224，当且仅当 ab2 时取等号，故选 B. 5.几何原本卷 2 的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明 现有如图所示图形， 点 F 在半圆 O 上， 点 C 在直径 AB 上， 且 OFAB，设 ACa，BCb，则该图形可以完成的无字证明为( ) A.ab2 ab(a0，b0) Ba2b22 ab(a0，b0) C.2abab ab(a0，b0) D.ab2a2b22(a0，b0) D 由 ACa，BCb，可得圆 O 的半径 rab2，又 OCOBBCab2bab2， 则 FC2OC2OF2（ab）24（ab）24a2b22， 再根据题图知 FOFC，即ab2a2b22，当且仅当 ab 时取等号故3 选 D. 二、填空题 6若对任意 x0，xx23x1a 恒成立，则 a 的取值范围是_ 15， 对任意 x0，xx23x1a 恒成立， 对 x(0，)，axx23x1max， 而对 x(0，)，xx23x11x1x312x1x315， 当且仅当 x1x时等号成立， a15. 7如图， 已知正方形 OABC，其中 OAa(a1)，函数 y3x2交 BC 于点 P，函数 yx12交 AB 于点 Q，当|AQ|CP|最小时，则 a 的值为_ 3 由题意得：P 点坐标为a3，a ，Q 点坐标为a，1a，|AQ|CP|a31a213， 当且仅当 a 3时，取最小值 8(2019 天津高考)设 x0，y0，x2y4，则（x1）（2y1）xy的最小值为_ 92 （x1）（2y1）xy2xy2yx1xy2xy5xy25xy. 因为 x0，y0，x2y4， 所以 x2y42x2y， 即 2xy2，0 xy2，当且仅当 x2y2 时等号成立 4 所以 25xy251292， 所以（x1）（2y1）xy的最小值为92. 三、解答题 9已知 x0，y0，且 2x8yxy0，求： (1)xy 的最小值； (2)xy 的最小值 解 (1)由 2x8yxy0，得8x2y1，又 x0，y0， 则 18x2y2 8x2y8xy，得 xy64， 当且仅当 x4y，即 x16，y4 时等号成立 故 xy 的最小值为 64. (2)法一：(消元法)由 2x8yxy0，得 x8yy2， 因为 x0，y0，所以 y2， 则 xyy8yy2(y2)16y21018， 当且仅当 y216y2，即 y6，x12 时等号成立 故 xy 的最小值为 18. 法二：(常数代换法)由 2x8yxy0，得8x2y1， 则 xy8x2y(xy) 102xy8yx 102 2xy8yx18， 当且仅当 y6，x12 时等号成立， 故 xy 的最小值为 18. 10某厂家拟在 2020 年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即5 该厂的年产量)x 万件与年促销费用 m 万元(m0)满足 x3km1(k 为常数)， 如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是 1 万件已知 2020 年生产该产品的固定投入为 8 万元，每生产 1 万件该产品需要再投入 16 万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的 1.5 倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金) (1)将 2020 年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用 m 万元的函数； (2)该厂家 2020 年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 解 (1)由题意知，当 m0 时，x1， 13k，k2， x32m1， 每万件产品的销售价格为 1.5816xx(万元)， 2020 年的利润 y1.5x816xx816xm48xm4832m1m16m1（m1）29(m0) (2)m0 时，16m1(m1)2 168， y82921， 当且仅当16m1m1，即 m3(万元)时，ymax21(万元) 故该厂家 2020 年的促销费用投入 3 万元时，厂家的利润最大为 21 万元 1已知函数 f(x)ax2bx(a0，b0)的图象在点(1，f(1)处的切线的斜率为2，则8abab的最小值是( ) A10 B9 C8 D3 2 B 由函数 f(x)ax2bx，得 f(x)2axb， 由函数 f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线斜率为 2， 所以 f(1)2ab2， 6 所以8abab1a8b121a8b(2ab) 1210ba16ab12102ba16ab12(108)9， 当且仅当ba16ab，即 a13，b43时等号成立， 所以8abab的最小值为 9，故选 B. 2在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若2acbcos Ccos B，b4，则ABC 面积的最大值为( ) A4 3 B2 3 C3 3 D. 3 A 2acbcos Ccos B， (2ac)cos Bbcos C， 由正弦定理得(2sin Asin C)cos Bsin Bcos C， 2sin Acos Bsin Ccos Bsin Bcos C sin(BC)sin A. 又 sin A0，cos B12. 0B3，y3) (2)S1 8083x831 800 x 1 8083x4 800 x1 80823x4 800 x 1 8082401 568， 当且仅当 3x4 800 x，即 x40 时等号成立，S 取得最大值，此时 y1 800 x45， 所以当 x40，y45 时，S 取得最大值 8 1在ABC 中，点 P 满足BP2PC，过点 P 的直线与 AB，AC 所在直线分别交于点 M， N， 若AMmAB， ANnAC(m0， n0)， 则 m2n 的最小值为( ) A3 B4 C.83 D.103 A APABBP AB23(ACAB) 13AB23AC13mAM23nAN， M，P，N 三点共线，13m23n1， m2n(m2n)13m23n 13432n3m2m3n5322n3m2m3n53433， 当且仅当 mn1 时等号成立 2(2019 定州期中)已知函数 f(x)log2( x21x)，若对任意的正数 a，b，满足 f(a)f(3b1)0，则3a1b的最小值为( ) A6 B8 C12 D24 C 易知函数 f(x)log2( x21x)的定义域为 R， 又 f(x)log2( x21x)log21x21x， 所以 f(x)为 R 上的减函数 又 f(x)log2( x21x)，所以 f(x)f(x)， 即 f(x)为奇函数， 因为 f(a)f(3b1)0，所以 f(a)f(13b)， 所以 a13b，即 a3b1， 9 所以3a1b3a1b(a3b)9baab6， 因为9baab29baab6， 所以3a1b3a1b(a3b)9baab612(当且仅当 a12，b16时，等号成立)，故选 C.