2021届高三大题优练7 圆锥曲线中的探究性问题（文） 教师版.docx

圆锥曲线中的探究性问题大题优练7优选例题例1椭圆与椭圆有共同的焦点，且椭圆的离心率，点分别为椭圆的左顶点和右焦点，直线过点且交椭圆于两点，设直线的斜率分别为（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在直线，使得，若存在，求出直线方程；不存在，说明理由【答案】（1）；（2）存在直线，满足【解析】（1）由题意可知椭圆中，由离心率，可得，又知，所以椭圆的标准方程为（2）右焦点，右顶点，假设存在直线，满足，若直线斜率不存在时，不合题意，舍去；设直线的方程为，联立方程，化简得，由题意易知恒成立，设直线与椭圆的两个交点为，则，所以，即直线，化简得，综上可知，存在直线，满足例2已知椭圆，长轴为4，不过原点O且不平行于坐标轴的直线l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M，直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l过右焦点，问y轴上是否存在点D，使得三角形ABD为正三角形，若存在，求出点D；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）不存在这样的点D，理由见解析【解析】（1）由题意可知：，所以，设点，A，B在椭圆上， 因为，由-，得，即，所以，由得，椭圆C方程为（2）设直线，联立，得，假设存在点D，则MD的直线方程为，所以，若为等边三角形，则，即，方程无实数解，不存在这样的点D模拟优练1已知右焦点为的椭圆经过点（1）求椭圆的方程；（2）经过的直线与椭圆分别交于、（不与点重合），直线、分别与轴交于、，是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）存在，直线的方程为【解析】（1）因为椭圆经过点，且该椭圆的右焦点为所以，解得，因此，椭圆的标准方程为（2）存在直线，使得，理由如下：若直线与轴垂直，则直线过点，不合乎题意，由已知可设所在直线的方程为，代入椭圆的方程，得，设、，则，记直线、的斜率分别为、，欲使直线满足，只需因为、三点共线，所以，即即，由，即，可得所以存在直线，使得，此时直线的方程为，即2已知椭圆的左、右焦点分别为，上、下顶点分别为，椭圆经过点（1）求椭圆的方程；（2）设经过点的直线与椭圆交于，两点，试判断是否存在定点，使得若定点存在，求出该定点；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）存在，定点为【解析】（1），在中，椭圆方程可化为又椭圆经过点，解得，故椭圆的方程为（2）若直线的斜率存在，直线经过定点，不妨设直线的方程为，联立，消去整理得，设定点为，则，解得， 当斜率存在时，存在定点，使得；若直线的斜率不存在时，不妨令交点，点显然满足，综上，存在定点，使得3已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为，椭圆上的点到点的距离之和等于4（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在过点的直线与椭圆相交于不同的两点，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）存在直线满足条件，其方程为【解析】（1）由题意得，所以，故椭圆的标准方程为（2）若存在满足条件的直线，则直线的斜率存在，设其方程为，代入椭圆的方程得设，两点的坐标分别为，所以，所以，且，因为，即，所以，即所以，解得又因为，所以所以存在直线满足条件，其方程为4已知椭圆的离心率，并且经过定点（1）求椭圆E的方程；（2）问是否存在直线，使直线与椭圆交于A，B两点，满足，若存在求m值；若不存在说明理由【答案】（1）；（2）【解析】（1）将代入椭圆方程，可得，又，解得，即有椭圆的方程为（2）设，由，所以，由，得，解得，又方程要有两个不等实根，所以，的值符合上面条件，所以5已知椭圆的离心率是，是椭圆的左、右焦点，点为椭圆的右顶点，点为椭圆的上顶点，且（1）求椭圆的方程；（2）若直线过右焦点且交椭圆于两点，点是直线上的任意一点，直线的斜率分别为，问是否存在常数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）【解析】（1），则，即，又，代入上式中得到，于是，故椭圆的方程为（2）由（1）知的坐标为设，当直线的斜率不为零时，设的方程为联立消去，得，又，；当直线的斜率为零时，显然有，仍成立，综上知，存在，使得成立