2022届高三数学一轮复习（原卷版）课后限时集训27 正弦定理、余弦定理 作业.doc

1 正弦定理、余弦定理 建议用时：45 分钟 一、选择题 1已知ABC 中，A6，B4，a1，则 b 等于( ) A2 B1 C. 3 D. 2 D 由正弦定理asin Absin B，得1sin 6bsin 4，所以112b22，所以 b 2. 2(2019 成都模拟)在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若asin Bcos Ccsin Bcos A12b，且 ab，则 B( ) A.6 B.3 C.23 D.56 A 由正弦定理得， sin Asin Bcos Csin Csin Bcos A12sin B， 因为 sin B0，所以 sin Acos Csin Ccos A12，即 sin(AC)12，所以 sin B12.已知 ab，所以 B 不是最大角，所以 B6. 3在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若b3cos Basin A，则 cos B 等于( ) A12 B.12 C32 D.32 B 由正弦定理知sin B3cos Bsin Asin A1，即 tan B 3， 由 B(0，)，所以 B3，所以 cos Bcos 312，故选 B. 4 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c.若ABC 的面积为a2b2c24，则 C( ) 2 A.2 B.3 C.4 D.6 C 由题可知 SABC12absin Ca2b2c24，所以 a2b2c22absin C，由余弦定理 a2b2c22abcos C，所以 sin Ccos C因为 C(0，)，所以 C4.故选 C. 5在ABC 中，若bcos Cccos B1cos 2C1cos 2B，则ABC 的形状是( ) A等腰三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形 D等腰三角形或直角三角形 D 由已知1cos 2C1cos 2B2cos2C2cos2Bcos2Ccos2Bbcos Cccos B，所以cos Ccos Bbc或cos Ccos B0，即 C90或cos Ccos Bbc.当 C90时，ABC 为直角三角形当cos Ccos Bbc时，由正弦定理，得bcsin Bsin C，所以cos Ccos Bsin Bsin C，即 sin Ccos Csin Bcos B，即 sin 2Csin 2B.因为 B，C 均为ABC 的内角，所以 2C2B 或 2C2B180，所以BC 或 BC90，所以ABC 为等腰三角形或直角三角形，故选 D. 二、填空题 6在锐角ABC 中，角 A，B 所对的边分别为 a，b，若 2asin B 3b，则角 A_ 3 因为 2asin B 3b，所以 2sin Asin B 3sin B，得 sin A32，所以 A3或 A23.因为ABC 为锐角三角形，所以 A3. 7ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 cos A45，cos C513，a1，则 b_ 2113 在ABC 中，由 cos A45，cos C513，可得 sin A35，sin C1213，sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C6365，由正弦定理得 basin Bsin A2113. 3 8ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 b2，B6，C4，则ABC 的面积为_ 31 b2，B6，C4， 由正弦定理bsin Bcsin C， 得 cbsin Csin B222122 2，A(64)712， sin Asin(43)sin 4cos 3cos 4sin 36 24. 则 SABC12bcsin A1222 26 24 31. 三、解答题 9(2019 北京高考)在ABC 中，a3，bc2，cos B12. (1)求 b，c 的值； (2)求 sin(BC)的值 解 (1)由余弦定理 b2a2c22accos B，得 b232c223c(12) 因为 bc2，所以(c2)232c223c(12) 解得 c5.所以 b7. (2)由 cos B12得 sin B32. 由正弦定理得 sin Ccbsin B5 314. 在ABC 中，B 是钝角，所以C 为锐角 所以 cos C 1sin2C1114. 所以 sin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C4 37. 4 10 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 已知ABC 的面积为a23sin A. (1)求 sin Bsin C； (2)若 6cos Bcos C1，a3，求ABC 的周长 解 (1)由题设得12acsin Ba23sin A， 即12csin Ba3sin A. 由正弦定理，得12sin Csin Bsin A3sin A， 故 sin Bsin C23. (2)由题设及(1)，得 cos Bcos Csin Bsin C12， 即 cos(BC)12.所以 BC23，故 A3. 由题意得12bcsin Aa23sin A，a3，所以 bc8. 由余弦定理，得 b2c2bc9， 即(bc)23bc9.由 bc8，得 bc 33. 故ABC 的周长为 3 33. 1在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 acos Bcb20，a272bc，bc，则bc( ) A.32 B2 C3 D.52 B 由余弦定理 b2a2c22accos B 可得 acos Ba2c2b22c，又 acos Bcb20，a272bc，所以 cb272bcc2b22c，即 2b25bc2c20，所以有(b2c) (2bc)0.所以 b2c 或 c2b，又 bc，所以bc2.故选 B. 2 在ABC 中， B30， AC2 5， D 是 AB 边上的一点， CD2， 若ACD5 为锐角，ACD 的面积为 4，则 sin A_，BC_ 55 4 依题意得 SACD12CDACsinACD2 5sinACD4，解得 sinACD2 55.又ACD 是锐角，所以 cosACD55.在ACD 中，ADCD2AC22CD AC cosACD4.由正弦定理得，ADsinACDCDsin A，即 sin ACDsinACDAD55.在ABC 中，ACsin BBCsin A，即 BCAC sin Asin B4. 3(2019 西安质检)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，面积为 S，已知 2acos2C22ccos2A252b. (1)求证：2(ac)3b； (2)若 cos B14，S 15，求 b. 解 (1)证明：由已知得， a(1cos C)c(1cos A)52b. 在ABC 中，过 B 作 BDAC，垂足为 D， 则 acos Cccos Ab. 所以 ac32b，即 2(ac)3b. (2)因为 cos B14，所以 sin B154. 因为 S12acsin B158ac 15， 所以 ac8. 又 b2a2c22accos B(ac)22ac(1cos B)，2(ac)3b， 所以 b29b2416(114)，所以 b4. 1在ABC 中，三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 SABC2 3，ab6，acos Bbcos Ac2cos C，则 c 等于( ) 6 A2 7 B4 C2 3 D3 3 C acos Bbcos Ac2cos C， 由正弦定理， 得 sin Acos Bcos Asin B2sin Ccos C， sin(AB)sin C2sin Ccos C， 由于 0C，sin C0，cos C12，C3， SABC2 312absin C34ab，ab8， 又 ab6，解得a2，b4或a4，b2， c2a2b22abcos C416812， c2 3，故选 C. 2 在ABC 中， 角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 且 a2(bc)2(2 3)bc，sin Asin Bcos2C2，BC 边上的中线 AM 的长为 7. (1)求角 A 和角 B 的大小； (2)求ABC 的面积 解 (1)由 a2(bc)2(2 3)bc， 得 a2b2c2 3bc，cos Ab2c2a22bc32， 又 0A，A6. 由 sin Asin Bcos2C2， 得12sin B1cos C2，即 sin B1cos C， 则 cos C0，即 C 为钝角， B 为锐角，且 BC56， 则 sin(56C)1cos C，化简得 cos(C3)1， 7 解得 C23，B6. (2)由(1)知，ab，在ACM 中， 由余弦定理得 AM2b2(a2)22ba2cos Cb2b24b22( 7)2， 解得 b2， 故 SABC12absin C122232 3.